En estadística y geometría computacional , la profundidad de Tukey [1] es una medida de la profundidad de un punto en un conjunto fijo de puntos. El concepto lleva el nombre de su inventor, John Tukey . Dado un conjunto de n puntos en un espacio d -dimensional, la profundidad de Tukey de un punto x es la fracción (o número) más pequeña de puntos en cualquier semiespacio cerrado que contenga x .
La profundidad de Tukey mide qué tan extremo es un punto con respecto a una nube de puntos. Se utiliza para definir el diagrama de bolsa , una generalización bivariada del diagrama de caja .
Por ejemplo, para cualquier punto extremo del casco convexo siempre hay un semiespacio (cerrado) que contiene sólo ese punto y, por tanto, su profundidad de Tukey como fracción es 1/n.
Definiciones
Profundidad de Tukey de un punto x con respecto a una nube de puntos. La región azul ilustra un medio espacio que contiene x en el límite. El semiespacio también es el más extremo, por lo que contiene x pero la menor cantidad posible de observaciones en la nube de puntos. Por tanto, la proporción de puntos contenidos en este medio espacio se convierte en el valor de la profundidad de Tukey para x.
La profundidad del punto x de Tukey de muestra , o la profundidad de x de Tukey con respecto a la nube de puntos , se define como
¿Dónde está la función indicadora que es igual a 1 si su argumento es verdadero o 0 en caso contrario?
La profundidad de población de Tukey de x wrt a una distribución es
donde X es una variable aleatoria que sigue una distribución .
Media de Tukey y relación con el punto central
Un punto central c de un conjunto de puntos de tamaño n no es más que un punto de profundidad de Tukey de al menos n /( d + 1).
