polígono de newton

En matemáticas , el polígono de Newton es una herramienta para comprender el comportamiento de polinomios sobre campos locales , o más generalmente, sobre campos ultramétricos. En el caso original, el campo local de interés era esencialmente el campo de la serie formal de Laurent en el X indeterminado , es decir, el campo de fracciones del anillo de la serie de potencias formal , sobre , donde estaba el campo de número real o número complejo . Esto sigue siendo de considerable utilidad con respecto a las ampliaciones de Puiseux . El polígono de Newton es un dispositivo eficaz para comprender los términos principales de las soluciones de expansión en serie de potencias de ecuaciones donde es un polinomio con coeficientes en el anillo polinomial ; es decir, funciones algebraicas definidas implícitamente . Los exponentes aquí son ciertos números racionales , dependiendo de la rama elegida; y las soluciones en sí son series de potencias para un denominador correspondiente a la rama. El polígono de Newton ofrece un enfoque algorítmico eficaz para calcular . ${\displaystyle K[[X]]}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle aX^{r}}$ ${\displaystyle P(F(X))=0}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle K[X]}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle K[[Y]]}$ ${\displaystyle Y=X^{\frac {1}{d}}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$

Después de la introducción de los números p-ádicos , se demostró que el polígono de Newton es igualmente útil en cuestiones de ramificación de campos locales y, por tanto, en la teoría algebraica de números . Los polígonos de Newton también han sido útiles en el estudio de curvas elípticas .

Definición

Construcción del polígono de Newton del polinomio 1 + 5 X + 1/5 X ² + 35 X ³ + 25 X ⁵ + 625 X ⁶ con respecto a la valoración de 5 ádicos.

A priori, dado un polinomio sobre un cuerpo, el comportamiento de las raíces (suponiendo que tenga raíces) será desconocido. Los polígonos de Newton proporcionan una técnica para el estudio del comportamiento de las raíces.

Sea un campo dotado de una valoración no arquimediana , y sea ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle v_{K}:K\to \mathbb {R} \cup \{\infty \}}$

${\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+\cdots +a_{1}x+a_{0}\in K[x],}$

con . Entonces el polígono de Newton se define como el límite inferior del casco convexo del conjunto de puntos ignorando los puntos con . ${\displaystyle a_{0}a_{n}\neq 0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle P_{i}=\left(i,v_{K}(a_{i})\right),}$ ${\displaystyle a_{i}=0}$

Reformulado geométricamente, trace todos estos puntos P _i en el plano xy . Supongamos que los índices de puntos aumentan de izquierda a derecha ( P ₀ es el punto más a la izquierda, P _n es el punto más a la derecha). Luego, comenzando en P ₀ , dibuje un rayo hacia abajo paralelo al eje y y gire este rayo en el sentido contrario a las agujas del reloj hasta que llegue al punto P _{k 1} (no necesariamente P ₁ ). Rompe el rayo aquí. Ahora dibuja un segundo rayo desde P _{k 1} hacia abajo paralelo al eje y , y gira este rayo en el sentido contrario a las agujas del reloj hasta que llegue al punto P _{k 2} . Continuar hasta que el proceso llegue al punto P _n ; el polígono resultante (que contiene los puntos P ₀ , P _{k 1} , P _{k 2 ,} ..., P _km , P _n ) es el polígono de Newton.

Otra forma, quizás más intuitiva, de ver este proceso es la siguiente: considere una banda elástica que rodea todos los puntos P ₀ , ..., P _n . Estire la banda hacia arriba, de modo que la banda quede pegada en su parte inferior por algunos de los puntos (los puntos actúan como clavos, parcialmente clavados en el plano xy). Los vértices del polígono de Newton son exactamente esos puntos.

Para ver un diagrama claro de esto, consulte el Capítulo 6 §3 de "Local Fields" de JWS Cassels, LMS Student Texts 3, CUP 1986. Está en la página 99 de la edición de bolsillo de 1986.

Teorema principal

Con las notaciones del apartado anterior, el principal resultado respecto al polígono de Newton es el siguiente teorema, ^[1] que establece que la valoración de las raíces de están enteramente determinadas por su polígono de Newton: ${\displaystyle f}$

Sean las pendientes de los segmentos de línea del polígono de Newton de (como se definió anteriormente) dispuestas en orden creciente, y sean las longitudes correspondientes de los segmentos de línea proyectados sobre el eje x (es decir, si tenemos un segmento de línea que se extiende entre los puntos y luego la longitud es ). ${\displaystyle \mu _{1},\mu _{2},\ldots ,\mu _{r}}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{r}}$ ${\displaystyle P_{i}}$ ${\displaystyle P_{j}}$ ${\displaystyle j-i}$

• Son distintos; ${\displaystyle \mu _{i}}$
• ${\displaystyle \sum _{i}\lambda _{i}=n}$;
• si es raíz de in , ; ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle v(\alpha )\in \{-\mu _{1},\ldots ,-\mu _{r}\}}$
• para cada , el número de raíces cuyas valoraciones son iguales a (contando multiplicidades) es como máximo , con igualdad si se divide en el producto de factores lineales sobre . ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle -\mu _{i}}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle K}$

Corolarios y aplicaciones

Con la notación de las secciones anteriores, denotamos, en lo que sigue, por el campo de división de over y por una extensión de to . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle v_{L}}$ ${\displaystyle v_{K}}$ ${\displaystyle L}$

El teorema del polígono de Newton se utiliza a menudo para mostrar la irreducibilidad de polinomios, como en el siguiente corolario, por ejemplo:

• Supongamos que la valoración es discreta y normalizada, y que el polinomio de Newton contiene solo un segmento cuya pendiente es y la proyección en el eje x es . Si , con coprimo a , entonces es irreducible sobre . En particular, dado que el polígono de Newton de un polinomio de Eisenstein consta de un único segmento de pendiente que conecta y , se sigue el criterio de Eisenstein . ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu =a/n}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle -{\frac {1}{n}}}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle (n,0)}$

De hecho, según el teorema principal, si es una raíz de , si no fuera irreducible sobre , entonces el grado de sería , y se mantendría . Pero esto es imposible ya que con coprime . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle v_{L}(\alpha )=-a/n.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle <n}$ ${\displaystyle v_{L}(\alpha )\in {1 \over d}\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle v_{L}(\alpha )=-a/n}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle n}$

Otro corolario simple es el siguiente:

• Supongamos que es henseliano . Si el polígono de Newton cumple para algunos , entonces tiene raíz en . ${\displaystyle (K,v_{K})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \lambda _{i}=1}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle K}$

Demostración: Según el teorema principal, debe tener una raíz única cuya valoración sea En particular, es separable sobre . Si no pertenece a , tiene un conjugado de Galois distinto sobre , con , ^[2] y es raíz de , una contradicción. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle v_{L}(\alpha )=-\mu _{i}.}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha '}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle v_{L}(\alpha ')=v_{L}(\alpha )}$ ${\displaystyle \alpha '}$ ${\displaystyle f}$

De manera más general, se cumple el siguiente teorema de factorización:

• Supongamos que es henseliano . Entonces , donde , es mónico para cada , las raíces de son de valoración , y . ${\displaystyle (K,v_{K})}$ ${\displaystyle f=A\,f_{1}\,f_{2}\cdots f_{r},}$ ${\displaystyle A\in K}$ ${\displaystyle f_{i}\in K[X]}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle -\mu _{i}}$ ${\displaystyle \deg(f_{i})=\lambda _{i}}$^[3]

Además, y si es coprimo con , es irreducible sobre . ${\displaystyle \mu _{i}=v_{K}(f_{i}(0))/\lambda _{i}}$ ${\displaystyle v_{K}(f_{i}(0))}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle K}$

Prueba: Para cada , denota por el producto de los monomios tales que es raíz de y . También denotamos la factorización de in en factores mónicos primos . Sea una raíz de . Podemos suponer que es el polinomio mínimo de over . Si es una raíz de , existe un automorfismo K de que envía a , y tenemos que desde entonces es henseliano. Por tanto también es raíz de . Además, cada raíz de de multiplicidad es claramente una raíz de de multiplicidad , ya que las raíces repetidas comparten obviamente la misma valoración. Esto muestra que divide a Let . Elija una raíz de . Observe que las raíces de son distintas de las raíces de . Repita el argumento anterior con el polinomio mínimo de over , suponiendo que wlg sea , para mostrar que divide . Continuando este proceso hasta agotar todas las raíces de, finalmente se llega a , con . Esto demuestra que , monic. Pero son coprimes ya que sus raíces tienen valoraciones distintas. De ahí que se muestre claramente el argumento principal. El hecho que se sigue del teorema principal, y también el hecho de que , al observar que el polígono de Newton de puede tener solo un segmento que se une a . La condición para la irreductibilidad de se desprende del corolario anterior. (qed) ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle (X-\alpha )}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle v_{L}(\alpha )=-\mu _{i}}$ ${\displaystyle f=AP_{1}^{k_{1}}P_{2}^{k_{2}}\cdots P_{s}^{k_{s}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle K[X]}$ ${\displaystyle (A\in K).}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \alpha '}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha '}$ ${\displaystyle v_{L}(\sigma \alpha )=v_{L}(\alpha )}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \alpha '}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle k_{1}\nu }$ ${\displaystyle P_{1}^{k_{1}}}$ ${\displaystyle f_{i}.}$ ${\displaystyle g_{i}=f_{i}/P_{1}^{k_{1}}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle g_{i}}$ ${\displaystyle g_{i}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle P_{2}^{k_{2}}}$ ${\displaystyle g_{i}}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle f_{i}=P_{1}^{k_{1}}\cdots P_{m}^{k_{m}}}$ ${\displaystyle m\leq s}$ ${\displaystyle f_{i}\in K[X]}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle f=Af_{1}\cdot f_{2}\cdots f_{r}}$ ${\displaystyle \lambda _{i}=\deg(f_{i})}$ ${\displaystyle \mu _{i}=v_{K}(f_{i}(0))/\lambda _{i}}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle (0,v_{K}(f_{i}(0))}$ ${\displaystyle (\lambda _{i},0=v_{K}(1))}$ ${\displaystyle f_{i}}$

El siguiente es un corolario inmediato de la factorización anterior y constituye una prueba de la reducibilidad de polinomios sobre campos henselianos:

• Supongamos que es henseliano . Si el polígono de Newton no se reduce a un solo segmento, entonces es reducible . ${\displaystyle (K,v_{K})}$ ${\displaystyle (\mu ,\lambda ),}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle K}$

Otras aplicaciones del polígono de Newton provienen del hecho de que un polígono de Newton es a veces un caso especial de un politopo de Newton y puede usarse para construir soluciones asintóticas de ecuaciones polinómicas de dos variables como ${\displaystyle 3x^{2}y^{3}-xy^{2}+2x^{2}y^{2}-x^{3}y=0.}$

Este diagrama muestra el polígono de Newton para P ( x , y ) = 3 x ² y ³ − xy ² + 2 x ² y ² − x ³ y , con monomios positivos en rojo y monomios negativos en cian. Las caras están etiquetadas con los términos limitantes a los que corresponden.

Explicación de la función simétrica

En el contexto de una valoración, se nos proporciona cierta información en forma de valoraciones de funciones simétricas elementales de las raíces de un polinomio, y requerimos información sobre las valoraciones de las raíces reales, en un cierre algebraico . Esto tiene aspectos tanto de la teoría de la ramificación como de la teoría de la singularidad . Las inferencias válidas posibles son las valoraciones de sumas de potencias , mediante las identidades de Newton .

Historia

Los polígonos de Newton llevan el nombre de Isaac Newton , quien los describió por primera vez y algunos de sus usos en correspondencia del año 1676 dirigida a Henry Oldenburg . ^[4]

Ver también

• cristal F
• El criterio de Eisenstein.
• Cuerpo de Newton-Okounkov
• Politopo de Newton

Referencias

1. Para ver una demostración interesante basada en hipercampos, consulte Matthew Baker, Oliver Lorscheid, (2021). Regla de los signos de Descartes, polígonos de Newton y polinomios sobre hipercampos . Journal of Algebra, Volumen 569, p. 416-441.
2. Recuerde que en los anillos henselianos, cualquier valoración se extiende únicamente a cada extensión algebraica del campo base. Por lo tanto se extiende únicamente a . Pero es una extensión de para cada automorfismo de , por lo tanto ${\displaystyle v_{K}}$ ${\displaystyle v_{L}}$ ${\displaystyle v_{L}\circ \sigma }$ ${\displaystyle v_{K}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle v_{L}(\alpha ')=v_{L}\circ \sigma (\alpha )=v_{L}(\alpha ).}$
3. JWS Cassels, campos locales, cap. 6, thm. 3.1.
4. Egbert Brieskorn , Horst Knörrer (1986). Curvas algebraicas planas , págs. 370–383.

• Goss, David (1996), Estructuras básicas de la aritmética de campos de funciones , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Resultados en Matemáticas y áreas afines (3)], vol. 35, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-3-642-61480-4, ISBN 978-3-540-61087-8, SEÑOR  1423131
• Gouvêa, Fernando : Números p-ádicos: Una introducción. Springer Verlag 1993. pág. 199.

enlaces externos

• Applet dibujando un polígono de Newton