Modelo Arrow-Debreu

Modelo económico

En economía matemática , el modelo Arrow-Debreu es un modelo teórico de equilibrio general . Postula que bajo ciertos supuestos económicos ( preferencias convexas , competencia perfecta e independencia de la demanda) debe haber un conjunto de precios tal que la oferta agregada sea igual a la demanda agregada de cada bien de la economía. ^[1]

El modelo es fundamental para la teoría del equilibrio (económico) general y a menudo se utiliza como referencia general para otros modelos microeconómicos. Fue propuesto por Kenneth Arrow , Gérard Debreu en 1954, ^[1] y Lionel W. McKenzie de forma independiente en 1954, ^[2] con mejoras posteriores en 1959. ^{[3] [4]}

El modelo AD es uno de los modelos más generales de economía competitiva y es una parte crucial de la teoría del equilibrio general , ya que puede usarse para probar la existencia del equilibrio general (o equilibrio walrasiano ) de una economía. En general, puede haber muchos equilibrios.

Arrow (1972) y Debreu (1983) recibieron por separado el Premio Nobel de Economía por su desarrollo del modelo. McKenzie, sin embargo, no fue premiado. ^[5]

Conceptos preliminares

Conjuntos convexos y puntos fijos.

Un cuarto de vuelta del disco unitario convexo deja el punto  (0,0) fijo pero mueve todos los puntos del círculo unitario no convexo .

En 1954, McKenzie y la pareja Arrow y Debreu demostraron de forma independiente la existencia de equilibrios generales invocando el teorema del punto fijo de Kakutani sobre los puntos fijos de una función continua de un conjunto compacto y convexo en sí mismo. En el enfoque de Arrow-Debreu, la convexidad es esencial, porque estos teoremas del punto fijo no son aplicables a conjuntos no convexos. Por ejemplo, la rotación del círculo unitario de 90 grados carece de puntos fijos, aunque esta rotación es una transformación continua de un conjunto compacto en sí mismo; aunque compacto, el círculo unitario no es convexo. En cambio, la misma rotación aplicada a la cáscara convexa del círculo unitario deja fijo el punto  (0,0) . Observe que el teorema de Kakutani no afirma que exista exactamente un punto fijo. Reflejar el disco unitario a través del eje y deja fijo un segmento vertical, de modo que esta reflexión tiene un número infinito de puntos fijos.

No convexidad en las grandes economías

El supuesto de convexidad excluía muchas aplicaciones, que fueron discutidas en el Journal of Political Economy de 1959 a 1961 por Francis M. Bator, M. J. Farrell , Tjalling Koopmans y Thomas J. Rothenberg. ^[6] Ross M. Starr  (1969) demostró la existencia de equilibrios económicos cuando algunas preferencias de los consumidores no tienen por qué ser convexas . ^[6] En su artículo, Starr demostró que una economía "convexificada" tiene equilibrios generales que se aproximan estrechamente a los "cuasi-equilibrios" de la economía original; La prueba de Starr utilizó el teorema de Shapley-Folkman . ^[7]

Declaración formal

El contenido de ambos teoremas [teoremas fundamentales de la economía del bienestar] son ​​viejas creencias en economía. Arrow y Debreu han tratado recientemente esta cuestión con técnicas que permiten pruebas.

—  Gérard Debreu, Equilibrio de valoración y óptimo de Pareto (1954)

Esta afirmación es precisamente correcta; Una vez hubo creencias, ahora había conocimiento. Pero había más en juego. Los grandes eruditos cambian la forma en que pensamos sobre el mundo y sobre qué y quiénes somos. El modelo Arrow-Debreu, tal como se presenta en la Teoría del valor, cambió el pensamiento básico y rápidamente se convirtió en el modelo estándar de la teoría de los precios. Es el modelo “de referencia” en Finanzas, Comercio Internacional, Finanzas Públicas, Transporte e incluso macroeconomía... En bastante poco tiempo ya no era “como es” en Marshall, Hicks y Samuelson; más bien se convirtió en “tal como es” en la Teoría del Valor.

—  Hugo Sonnenschein, comentarios en la conferencia de Debreu, Berkeley, 2005

Esta sección sigue la presentación en ^[8] que se basa en. ^[9]

Descripción intuitiva del modelo Arrow-Debreu

El modelo Arrow-Debreu modela una economía como una combinación de tres tipos de agentes: los hogares, los productores y el mercado. Los hogares y los productores realizan transacciones con el mercado, pero no entre sí directamente.

Los hogares poseen dotaciones (paquetes de bienes con los que comienzan), que se pueden considerar como "herencia". En aras de la claridad matemática, todos los hogares deben vender toda su dotación al mercado al principio. Si desean conservar parte de la dotación, tendrían que recomprarla en el mercado más adelante. Las dotaciones pueden ser jornadas de trabajo, uso de la tierra, toneladas de maíz, etc.

Los hogares poseen propiedad proporcional de los productores, que pueden considerarse sociedades anónimas . La ganancia obtenida por el productor se divide entre los hogares en proporción a la cantidad de existencias que cada hogar tiene para el productor . La propiedad se impone al principio y los hogares no pueden venderlos, comprarlos, crearlos ni desecharlos. ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle j}$

Los hogares reciben un presupuesto, como la suma de los ingresos por la venta de dotaciones y el dividendo de las ganancias de los productores.

Los hogares poseen preferencias sobre paquetes de productos básicos, lo que, según los supuestos dados, los convierte en maximizadores de utilidad . Los hogares eligen el plan de consumo con mayor utilidad que pueden permitirse con su presupuesto.

Los productores son capaces de transformar paquetes de mercancías en otros paquetes de mercancías. Los productores no tienen funciones de utilidad separadas. Más bien, todos ellos son puramente maximizadores de beneficios.

El mercado sólo es capaz de "elegir" un vector de precios de mercado, que es una lista de precios para cada producto básico, que cada productor y hogar toma (no existe un comportamiento de negociación: cada productor y hogar es un tomador de precios ). El mercado no tiene utilidad ni beneficio. En cambio, el mercado pretende elegir un vector de precios de mercado tal que, aunque cada hogar y productor maximice su propia utilidad y beneficio, sus planes de consumo y producción "armonicen". Es decir, " el mercado se aclara ". En otras palabras, el mercado desempeña el papel de un " subastador walrasiano ".

Configuración de notación

En general, escribimos índices de agentes como superíndices y índices de coordenadas vectoriales como subíndices.

notaciones útiles para vectores reales

• ${\displaystyle x\succeq y}$si ${\displaystyle \forall n,x_{n}\geq y_{n}}$
• ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{N}}$es el conjunto de tales que ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\succeq 0}$
• ${\displaystyle \mathbb {R} _{++}^{N}}$es el conjunto de tales que ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\succ 0}$
• ${\displaystyle \Delta _{N}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{N}:x_{1},...,x_{N}\geq 0,\sum _{n\in 1:N}x_{n}=1\right\}}$es el N-símplex . A menudo lo llamamos precio simplex , ya que a veces escalamos el vector de precios para que se encuentre en él.

mercado

• Los productos están indexados como . Aquí está la cantidad de productos básicos que existe en la economía. Es un número finito. ${\displaystyle n\in 1:N}$ ${\displaystyle N}$
• El vector de precio es un vector de longitud , siendo cada coordenada el precio de un bien. Los precios pueden ser cero o positivos. ${\displaystyle p=(p_{1},...,p_{N})\in \mathbb {R} _{++}^{N}}$ ${\displaystyle N}$

hogares

• Los hogares están indexados como . ${\displaystyle i\in I}$
• Cada hogar comienza con una dotación de mercancías . ${\displaystyle r^{i}\in \mathbb {R} _{+}^{N}}$
• Cada hogar comienza con una tupla de propiedades de los productores . Las propiedades satisfacen . ${\displaystyle \alpha ^{i,j}\geq 0}$ ${\displaystyle \sum _{i\in I}\alpha ^{i,j}=1\quad \forall j\in J}$
• El presupuesto que recibe el hogar es la suma de sus ingresos por la venta de dotaciones al precio de mercado, más las ganancias por la propiedad de los productores:
  $${\displaystyle M^{i}(p)=\langle p,r^{i}\rangle +\sum _{j\in J}\alpha ^{i,j}\Pi ^{j}(p)}$$
  ( significa dinero ) ${\displaystyle M}$
• Cada hogar tiene un Conjunto de Posibilidades de Consumo . ${\displaystyle CPS^{i}\subset \mathbb {R} _{+}^{N}}$
• Cada hogar tiene una relación de preferencia sobre . ${\displaystyle \succeq ^{i}}$ ${\displaystyle CPS^{i}}$
• Con los supuestos establecidos (que se dan en la siguiente sección), cada relación de preferencia es representable mediante una función de utilidad mediante los teoremas de Debreu . Así, en lugar de maximizar la preferencia, podemos afirmar de manera equivalente que el hogar está maximizando su utilidad. ${\displaystyle \succeq ^{i}}$ ${\displaystyle u^{i}:CPS^{i}\to [0,1]}$
• Un plan de consumo es un vector en , escrito como . ${\displaystyle CPS^{i}}$ ${\displaystyle x^{i}}$
• ${\displaystyle U_{+}^{i}(x^{i})}$es el conjunto de planes de consumo al menos tan preferible como . ${\displaystyle x^{i}}$
• El conjunto de presupuesto es el conjunto de planes de consumo que puede permitirse:
  $${\displaystyle B^{i}(p)=\{x^{i}\in CPS^{i}:\langle p,x^{i}\rangle \leq M^{i}(p)\}}$$
  .
• Para cada vector de precios , el hogar tiene un vector de demanda de productos básicos, como . Esta función se define como la solución a un problema de maximización de restricciones. Depende tanto de la economía como de la distribución inicial. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle D^{i}(p)\in \mathbb {R} _{+}^{N}}$
  $${\displaystyle D^{i}(p):=\arg \max _{x^{i}\in B^{i}(p)}u^{i}(x^{i})}$$
  Puede que no esté bien definido para todos . Sin embargo, utilizaremos suficientes supuestos para que esté bien definido en los vectores de precios de equilibrio. ${\displaystyle p\in \mathbb {R} _{++}^{N}}$

productores

• Los productores están indexados como . ${\displaystyle j\in J}$
• Cada productor tiene un Conjunto de Posibilidades de Producción . Tenga en cuenta que el vector de oferta puede tener coordenadas tanto positivas como negativas. Por ejemplo, indica un plan de producción que utiliza 1 unidad del bien 1 para producir 1 unidad del bien 2. ${\displaystyle PPS^{j}}$ ${\displaystyle (-1,1,0)}$
• Un plan de producción es un vector en , escrito como . ${\displaystyle PPS^{j}}$ ${\displaystyle y^{j}}$
• Para cada vector de precios , el productor tiene un vector de oferta de mercancías, como . Esta función se definirá como la solución a un problema de maximización de restricciones. Depende tanto de la economía como de la distribución inicial. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle S^{j}(p)\in \mathbb {R} ^{N}}$
  $${\displaystyle S^{j}(p):=\arg \max _{y^{j}\in PPS^{j}}\langle p,y^{j}\rangle }$$
  Puede que no esté bien definido para todos . Sin embargo, utilizaremos suficientes supuestos para que esté bien definido en los vectores de precios de equilibrio. ${\displaystyle p\in \mathbb {R} _{++}^{N}}$
• La ganancia es
  $${\displaystyle \Pi ^{j}(p):=\langle p,S^{j}(p)\rangle =\max _{y^{j}\in PPS^{j}}\langle p,y^{j}\rangle }$$

agregados

• Conjunto de posibilidades de consumo agregado . ${\displaystyle CPS=\sum _{i\in I}CPS^{i}}$
• conjunto de posibilidades de producción agregada . ${\displaystyle PPS=\sum _{j\in J}PPS^{j}}$
• dotación agregada ${\displaystyle r=\sum _{i}r^{i}}$
• la demanda agregada ${\displaystyle D(p):=\sum _{i}D^{i}(p)}$
• oferta agregada ${\displaystyle S(p):=\sum _{j}S^{j}(p)}$
• exceso de demanda ${\displaystyle Z(p)=D(p)-S(p)-r}$

toda la economía

• Una economía es una tupla . Es decir, es una tupla que especifica las mercancías, las preferencias de los consumidores, los conjuntos de posibilidades de consumo y los conjuntos de posibilidades de producción de los productores. ${\displaystyle (N,I,J,CPS^{i},\succeq ^{i},PPS^{j})}$
• Una economía con distribución inicial es una economía, junto con una tupla de distribución inicial para la economía. ${\displaystyle (r^{i},\alpha ^{i,j})_{i\in I,j\in J}}$
• Un estado de la economía es una tupla de precios, planes de consumo y planes de producción para cada hogar y productor: . ${\displaystyle ((p_{n})_{n\in 1:N},(x^{i})_{i\in I},(y^{j})_{j\in J})}$
• Un estado es factible si y sólo si cada , cada , y . ${\displaystyle x^{i}\in CPS^{i}}$ ${\displaystyle y^{j}\in PPS^{j}}$ ${\displaystyle \sum _{i\in I}x^{i}\preceq \sum _{j\in J}y^{j}+r}$
• El conjunto de posibilidades factibles de producción, dada la dotación , es . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle PPS_{r}:=\{y\in PPS:y+r\succeq 0\}}$
• Dada una economía con distribución, el estado correspondiente a un vector de precios es . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (p,(D^{i}(p))_{i\in I},(S^{j}(p))_{j\in J})}$
• Dada una economía con distribución, un vector de precios es un vector de precios de equilibrio para la economía con distribución inicial, si y solo ${\displaystyle p}$
  $${\displaystyle Z(p)_{n}{\begin{cases}\leq 0{\text{ if }}p_{n}=0\\=0{\text{ if }}p_{n}>0\end{cases}}}$$
  Es decir, si un bien no es gratuito, entonces la oferta es exactamente igual a la demanda, y si un bien es libre, entonces la oferta es igual o mayor que la demanda (permitimos que haya un exceso de oferta de bienes libres).
• Un estado es un estado de equilibrio si y sólo si es el estado correspondiente a un vector de precios de equilibrio.

Suposiciones

Imponer una restricción artificial

Las funciones no están necesariamente bien definidas para todos los vectores de precios . Por ejemplo, si el productor 1 es capaz de transformar unidades del bien 1 en unidades del bien 2, y tenemos , entonces el productor puede crear planes con ganancias infinitas, por lo tanto , y no está definido. ${\displaystyle D^{i}(p),S^{j}(p)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\sqrt {(t+1)^{2}-1}}}$ ${\displaystyle p_{1}/p_{2}<1}$ ${\displaystyle \Pi ^{j}(p)=+\infty }$ ${\displaystyle S^{j}(p)}$

En consecuencia, definimos " mercado restringido " como el mismo mercado, excepto que hay un límite superior universal , de modo que cada productor debe utilizar un plan de producción y cada hogar debe utilizar un plan de consumo . Indique con tilde las cantidades correspondientes en el mercado restringido. Así es, por ejemplo, la función de exceso de demanda en el mercado restringido. ^[10] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \|y^{j}\|\leq C}$ ${\displaystyle \|x^{i}\|\leq C}$ ${\displaystyle {\tilde {Z}}(p)}$

${\displaystyle C}$se elige para que sea "suficientemente grande" para la economía, de modo que la restricción no entre en vigor en condiciones de equilibrio (ver la siguiente sección). En detalle, se elige que sea lo suficientemente grande como para que: ${\displaystyle C}$

• Para cualquier plan de consumo como , el plan es tan "extravagante" que incluso si todos los productores se coordinaran, todavía no alcanzarían a satisfacer la demanda. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\succeq 0,\|x\|=C}$
• Para cualquier lista de planes de producción para la economía , si , entonces para cada uno . En otras palabras, para cualquier plan de producción alcanzable bajo la dotación dada , el plan de producción individual de cada productor debe estar estrictamente dentro de la restricción. ${\displaystyle (y^{j}\in PPS^{j})_{j\in J}}$ ${\displaystyle \sum _{j\in J}y^{j}+r\succeq 0}$ ${\displaystyle \|y^{j}\|<C}$ ${\displaystyle j\in J}$ ${\displaystyle r}$

Cada requisito es satisfactoria.

• Defina el conjunto de planes de producción agregada alcanzables como , luego, según los supuestos para los productores dados anteriormente (especialmente el supuesto de "no hay almuerzo gratis arbitrariamente grande"), está limitado para cualquiera (prueba omitida). Por tanto, el primer requisito es satisfactoria. ${\displaystyle PPS_{r}=\left\{\sum _{j\in J}y^{j}:y^{j}\in PPS^{j}{\text{ for each }}j\in J,{\text{ and }}\sum _{j\in J}y^{j}+r\succeq 0\right\}}$ ${\displaystyle PPS_{r}}$ ${\displaystyle r\succeq 0}$
• Definir el conjunto de planes de producción individuales alcanzables que se deben cumplir bajo los supuestos para los productores dados anteriormente (especialmente el supuesto de "no haber transformaciones arbitrariamente grandes"), está limitado para cualquiera (prueba omitida). Por tanto, el segundo requisito es satisfactoria. ${\displaystyle PPS_{r}^{j}:=\{y^{j}\in PPS^{j}:y^{j}{\text{ is a part of some attainable production plan under endowment }}r\}}$ ${\displaystyle PPS_{r}^{j}}$ ${\displaystyle j\in J,r\succeq 0}$

Los dos requisitos juntos implican que la restricción no es una restricción real cuando los planes de producción y los planes de consumo están " interiores " a la restricción.

• En cualquier vector de precios , si , entonces existe y es igual a . En otras palabras, si el plan de producción de un productor restringido es interior a la restricción artificial, entonces el productor no restringido elegiría el mismo plan de producción. Esto se demuestra aprovechando el segundo requisito en . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \|{\tilde {S}}^{j}(p)\|<C}$ ${\displaystyle S^{j}(p)}$ ${\displaystyle {\tilde {S}}^{j}(p)}$ ${\displaystyle C}$
• Si todos , entonces los hogares restringidos y no restringidos tienen el mismo presupuesto. Ahora, si también tenemos , entonces existe y es igual a . En otras palabras, si el plan de consumo de un hogar restringido está interior a la restricción artificial, entonces el hogar no restringido elegiría el mismo plan de consumo. Esto se demuestra explotando el primer requisito en . ${\displaystyle S^{j}(p)={\tilde {S}}^{j}(p)}$ ${\displaystyle \|{\tilde {D}}^{i}(p)\|<C}$ ${\displaystyle D^{i}(p)}$ ${\displaystyle {\tilde {D}}^{i}(p)}$ ${\displaystyle C}$

Estas dos proposiciones implican que los equilibrios del mercado restringido son equilibrios del mercado no restringido:

Teorema  :  si es un vector de precios de equilibrio para el mercado restringido, entonces también es un vector de precios de equilibrio para el mercado no restringido. Además, tenemos . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\tilde {D}}^{i}(p)=D^{i}(p),{\tilde {S}}^{j}(p)=S^{j}(p)}$

Existencia de equilibrio general

Como última pieza de la construcción, definimos la ley de Walras :

• El mercado sin restricciones satisface la ley de Walras si todos están definidos y , es decir, ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle S^{j}(p),D^{i}(p)}$ ${\displaystyle \langle p,Z(p)\rangle =0}$
  $${\displaystyle \sum _{j\in J}\langle p,S^{j}(p)\rangle +\langle p,r\rangle =\sum _{i\in I}\langle p,D^{i}(p)\rangle }$$
• El mercado restringido satisface la ley de Walras en iff . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \langle p,{\tilde {Z}}(p)\rangle =0}$

La ley de Walras se puede interpretar en ambos lados:

• Por el lado de los hogares, significa que el gasto agregado de los hogares es igual a la ganancia agregada y al ingreso agregado proveniente de la venta de dotaciones. En otras palabras, cada hogar gasta todo su presupuesto.
• Del lado de los productores, se dice que la ganancia agregada más el costo agregado es igual al ingreso agregado.

Teorema  :  satisface la ley de Walras débil : para todos , ${\displaystyle {\tilde {Z}}}$ ${\displaystyle p\in \mathbb {R} _{++}^{N}}$

$${\displaystyle \langle p,{\tilde {Z}}(p)\rangle \leq 0}$$

y si , entonces para algunos . ${\displaystyle \langle p,{\tilde {Z}}(p)\rangle <0}$ ${\displaystyle {\tilde {Z}}(p)_{n}>0}$ ${\displaystyle n}$

Bosquejo de prueba

Si el valor total del exceso de demanda es exactamente cero, entonces cada hogar ha gastado todo su presupuesto. De lo contrario, algunos hogares se ven obligados a gastar sólo una parte de su presupuesto. Por lo tanto, la cesta de consumo de ese hogar está en el límite de la restricción, es decir, . Hemos elegido (en la sección anterior) que sea tan grande que incluso si todos los productores se coordinaran, todavía no alcanzarían a satisfacer la demanda. En consecuencia, existe alguna mercancía tal que ${\displaystyle \|{\tilde {D}}^{i}(p)\|=C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\tilde {D}}^{i}(p)_{n}>{\tilde {S}}(p)_{n}+r_{n}}$

Teorema  :  existe un vector de precios de equilibrio para el mercado restringido, momento en el cual el mercado restringido satisface la ley de Walras.

Bosquejo de prueba

Por definición de equilibrio, si es un vector de precios de equilibrio para el mercado restringido, entonces, en ese punto, el mercado restringido satisface la ley de Walras. ${\displaystyle p}$

${\displaystyle {\tilde {Z}}}$es continuo ya que todos son continuos. ${\displaystyle {\tilde {S}}^{j},{\tilde {D}}^{i}}$

Definir una función

$${\displaystyle f(p)={\frac {\max(0,p+\gamma {\tilde {Z}}(p))}{\sum _{n}\max(0,p_{n}+\gamma {\tilde {Z}}(p)_{n})}}}$$

sobre el precio simplex, donde es una constante positiva fija. ${\displaystyle \gamma }$

Según la débil ley de Walras, esta función está bien definida. Según el teorema del punto fijo de Brouwer, tiene un punto fijo. Según la débil ley de Walras, este punto fijo es un equilibrio de mercado.

Tenga en cuenta que la prueba anterior no proporciona un algoritmo iterativo para encontrar ningún equilibrio, ya que no hay garantía de que la función sea una contracción . Esto no es sorprendente, ya que no hay garantía (sin más supuestos) de que cualquier equilibrio de mercado sea estable. ${\displaystyle f}$

Corolario  :  existe un vector de precios de equilibrio para el mercado sin restricciones, punto en el que el mercado sin restricciones satisface la ley de Walras.

Teorema de equivalencia de Uzawa

( Uzawa , 1962) ^[11] demostró que la existencia de equilibrio general en una economía caracterizada por una función de exceso de demanda continua que cumple la Ley de Walras es equivalente al teorema del punto fijo de Brouwer. Por tanto, el uso del teorema del punto fijo de Brouwer es esencial para demostrar que el equilibrio existe en general. ^[12]

Teoremas fundamentales de la economía del bienestar

En la economía del bienestar, una posible preocupación es encontrar un plan Pareto óptimo para la economía.

Intuitivamente, uno puede considerar que el problema de la economía del bienestar es el problema que enfrenta un planificador maestro para toda la economía: dada la dotación inicial para toda la sociedad, el planificador debe elegir un plan maestro factible de planes de producción y consumo . El planificador maestro tiene una amplia libertad para elegir el plan maestro, pero cualquier planificador razonable debería estar de acuerdo en que, si se puede aumentar la utilidad de alguien, mientras que la de todos los demás no disminuye, entonces es un plan mejor. Es decir, se debe seguir el orden de Pareto. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle ((x^{i})_{i\in I},(y^{j})_{j\in J})}$

Defina el orden de Pareto en el conjunto de todos los planes mediante sif para todos . ${\displaystyle ((x^{i})_{i\in I},(y^{j})_{j\in J})}$ ${\displaystyle ((x^{i})_{i\in I},(y^{j})_{j\in J})\succeq ((x'^{i})_{i\in I},(y'^{j})_{j\in J})}$ ${\displaystyle x^{i}\succeq ^{i}x'^{i}}$ ${\displaystyle i\in I}$

Entonces, decimos que un plan es Pareto-eficiente con respecto a una dotación inicial , si es factible, y no existe otro plan factible que sea estrictamente mejor en el orden de Pareto. ${\displaystyle r}$

En general, existe todo un continuo de planes Pareto-eficientes para cada dotación inicial . ${\displaystyle r}$

Con la configuración, tenemos dos teoremas fundamentales de la economía del bienestar: ^[13]

Primer teorema fundamental de la economía del bienestar  :  cualquier estado de equilibrio de mercado es eficiente en el sentido de Pareto.

Bosquejo de prueba

El hiperplano de precios separa las producciones alcanzables y los consumos mejores en Pareto. Es decir, el hiperplano separa y , donde está el conjunto de todos , tal que , y . Es decir, es el conjunto de agregados de todos los planes de consumo posibles que son estrictamente mejores en términos de Pareto. ${\displaystyle \langle p^{*},q\rangle =\langle p^{*},D(p^{*})\rangle }$ ${\displaystyle r+PPS_{r}}$ ${\displaystyle U_{++}}$ ${\displaystyle U_{++}}$ ${\displaystyle \sum _{i\in I}x'^{i}}$ ${\displaystyle \forall i\in I,x'^{i}\in CPS^{i},x'^{i}\succeq ^{i}x^{i}}$ ${\displaystyle \exists i\in I,x'^{i}\succ ^{i}x^{i}}$

Las producciones alcanzables están en el lado inferior del hiperplano de precios, mientras que los consumos mejores según Pareto están estrictamente en el lado superior del hiperplano de precios. Por lo tanto, cualquier plan Pareto mejor no es alcanzable.

• Cualquier plan de consumo Pareto mejor debe costar al menos lo mismo para cada hogar y costar más para al menos un hogar.
• Cualquier plan de producción viable debe generar como máximo beneficios para cada productor.

Segundo teorema fundamental de la economía del bienestar  :  para cualquier dotación total y cualquier estado Pareto eficiente que se pueda lograr utilizando esa dotación, existe una distribución de las dotaciones y las propiedades privadas de los productores, de modo que el estado dado es un estado de equilibrio de mercado para algún vector de precios. . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \{r^{i}\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle \{\alpha ^{i,j}\}_{i\in I,j\in J}}$ ${\displaystyle p\in \mathbb {R} _{++}^{N}}$

Idea de prueba: cualquier plan de consumo óptimo de Pareto está separado por un hiperplano del conjunto de planes de consumo alcanzables. La pendiente del hiperplano serían los precios de equilibrio. Verifique que bajo tales precios, cada productor y hogar encontraría óptimo el estado dado. Verifique que se cumple la ley de Walras y que los gastos coinciden con los ingresos más las ganancias y que es posible proporcionar a cada hogar exactamente el presupuesto necesario.

Prueba

Dado que el estado es alcanzable, tenemos . La igualdad no necesariamente se cumple, por lo que definimos el conjunto de consumos agregados alcanzables . Cualquier paquete de consumo agregado dentro es alcanzable y cualquier paquete exterior no lo es. ${\displaystyle \sum _{i\in I}x^{i}\preceq \sum _{j\in J}y^{j}+r}$ ${\displaystyle V:=\{r+y-z:y\in PPS,z\succeq 0\}}$ ${\displaystyle V}$

Encuentre el precio de mercado . ${\displaystyle p}$

Defina como el conjunto de todos , tal que , y . Es decir, es el conjunto de agregados de todos los planes de consumo posibles que son estrictamente mejores en términos de Pareto. Como cada una es convexa y cada preferencia es convexa, el conjunto también es convexo. ${\displaystyle U_{++}}$ ${\displaystyle \sum _{i\in I}x'^{i}}$ ${\displaystyle \forall i\in I,x'^{i}\in CPS^{i},x'^{i}\succeq ^{i}x^{i}}$ ${\displaystyle \exists i\in I,x'^{i}\succ ^{i}x^{i}}$ ${\displaystyle CPS^{i}}$ ${\displaystyle U_{++}}$

Ahora bien, dado que el estado es óptimo de Pareto, el conjunto debe ser inalcanzable con la dotación dada. Es decir, es disjunto de . Dado que ambos conjuntos son convexos, existe un hiperplano de separación entre ellos. ${\displaystyle U_{++}}$ ${\displaystyle U_{++}}$ ${\displaystyle V}$

Dejemos que el hiperplano esté definido por , donde y . El signo se elige tal que y . ${\displaystyle \langle p,q\rangle =c}$ ${\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{N},p\neq 0}$ ${\displaystyle c=\sum _{i\in I}\langle p,x^{i}\rangle }$ ${\displaystyle \langle p,U_{++}\rangle \geq c}$ ${\displaystyle \langle p,r+PPS\rangle \leq c}$

Afirmar: . ${\displaystyle p\succ 0}$

Supongamos que no, entonces existe algo así . Entonces si es bastante grande, pero también tenemos su contradicción. ${\displaystyle n\in 1:N}$ ${\displaystyle p_{n}<0}$ ${\displaystyle \langle p,r+0-ke_{n}\rangle >c}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle r+0-ke_{n}\in V}$

Tenemos por construcción , y . Ahora reclamamos: . ${\displaystyle \langle p,\sum _{i\in I}x^{i}\rangle =c}$ ${\displaystyle \langle p,V\rangle \leq c}$ ${\displaystyle \langle p,U_{++}\rangle >c}$

Para cada hogar , sea el conjunto de planes de consumo que son al menos tan buenos como , y el conjunto de planes de consumo que son estrictamente mejores que . ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle U_{+}^{i}(x^{i})}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle x^{i}}$ ${\displaystyle U_{++}^{i}(x^{i})}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle x^{i}}$

Por no saciedad local de , el medio espacio cerrado contiene . ${\displaystyle \succeq ^{i}}$ ${\displaystyle \langle p,q\rangle \geq \langle p,x^{i}\rangle }$ ${\displaystyle U_{+}^{i}(x^{i})}$

Por continuidad de , el semiespacio abierto contiene . ${\displaystyle \succeq ^{i}}$ ${\displaystyle \langle p,q\rangle >\langle p,x^{i}\rangle }$ ${\displaystyle U_{++}^{i}(x^{i})}$

Sumándolos, encontramos que el medio espacio abierto contiene . ${\displaystyle \langle p,q\rangle >c}$ ${\displaystyle U_{++}}$

Reclamación (ley de Walras): ${\displaystyle \langle p,r+\sum _{j}y^{j}\rangle =c=\langle p,\sum _{i}x^{i}\rangle }$

Como la producción es alcanzable, tenemos y como tenemos . ${\displaystyle r+\sum _{j}y^{j}\succeq \sum _{i}x^{i}}$ ${\displaystyle p\succ 0}$ ${\displaystyle \langle p,r+\sum _{j}y^{j}\rangle \geq \langle p,\sum _{i}x^{i}\rangle }$

Por construcción del hiperplano de separación, también tenemos , por lo tanto tenemos una igualdad. ${\displaystyle \langle p,r+\sum _{j}y^{j}\rangle \leq c=\langle p,\sum _{i}x^{i}\rangle }$

Afirmación: al precio , cada productor maximiza sus ganancias en , ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle y^{j}}$

Si existe algún plan de producción tal que un productor pueda alcanzar mayores ganancias , entonces ${\displaystyle y'^{j}}$ ${\displaystyle \langle p,y'^{j}\rangle >\langle p,y^{j}\rangle }$

$${\displaystyle \langle p,r\rangle +\sum _{j\in J}\langle p,y'^{j}\rangle >\langle p,r\rangle +\sum _{j\in J}\langle p,y^{j}\rangle =c}$$

pero entonces tendríamos un punto al otro lado del hiperplano de separación, violando nuestra construcción. ${\displaystyle r+PPS}$

Afirmación: a precio y presupuesto , el hogar maximiza su utilidad en . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \langle p,x^{i}\rangle }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle x^{i}}$

De lo contrario, existe algo así y . Luego, considere la cesta de consumo agregado . Está de moda , pero también satisface . Pero esto contradice la afirmación anterior de que . ${\displaystyle x'^{i}}$ ${\displaystyle x'^{i}\succ ^{i}x^{i}}$ ${\displaystyle \langle p,x'^{i}\rangle \leq \langle p,x^{i}\rangle }$ ${\displaystyle q':=\sum _{i'\in I,i'\neq i}x^{i}+x'^{i}}$ ${\displaystyle U_{++}}$ ${\displaystyle \langle p,q'\rangle \leq \sum \langle p,x^{i}\rangle =c}$ ${\displaystyle \langle p,U_{++}\rangle >c}$

Según la ley de Walras, los ingresos y beneficios agregados de la dotación son exactamente iguales al gasto agregado. Queda por distribuirlos de manera que cada hogar obtenga exactamente lo que le corresponde en su presupuesto. Esto es trivial. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \langle p,x^{i}\rangle }$

Aquí hay un algoritmo codicioso para hacerlo: primero distribuya toda la dotación del bien 1 al hogar 1. Si el hogar 1 puede alcanzar su presupuesto antes de distribuirlo todo, luego continúe con el hogar 2. De lo contrario, comience a distribuir toda la dotación del bien 2. etc. Lo mismo ocurre con las propiedades de los productores.

Convexidad versus convexidad estricta

Los supuestos de convexidad estricta se pueden relajar a la convexidad. Esta modificación cambia las funciones de oferta y demanda de funciones con valores puntuales a funciones con valores establecidos (o "correspondencias"), y la aplicación del teorema del punto fijo de Brouwer al teorema del punto fijo de Kakutani.

Esta modificación es similar a la generalización del teorema minimax a la existencia de equilibrios de Nash .

Los dos teoremas fundamentales de la economía del bienestar se mantienen sin modificaciones.

Equilibrio versus "cuasi-equilibrio"

La definición de equilibrio de mercado supone que cada hogar maximiza su utilidad, sujeto a restricciones presupuestarias. Eso es,

$${\displaystyle {\begin{cases}\max _{x^{i}}u^{i}(x^{i})\\\langle p,x^{i}\rangle \leq M^{i}(p)\end{cases}}}$$

$${\displaystyle {\begin{cases}u^{i}(x^{i})\geq u_{0}^{i}\\\min _{x^{i}}\langle p,x^{i}\rangle \end{cases}}}$$

brecha de dualidad^[14][15][15] ${\displaystyle u_{0}^{i}}$

Extensiones

Contabilización de la negociación estratégica

En el modelo, todos los productores y hogares son " tomadores de precios ", lo que significa que simplemente realizan transacciones con el mercado utilizando el vector de precios . En particular, no se modelan comportamientos como cárteles, monopolios, coaliciones de consumidores, etc. El teorema del límite de Edgeworth muestra que, bajo ciertos supuestos más sólidos, los hogares no pueden lograr nada mejor que la toma de precios en el límite de una economía infinitamente grande. ${\displaystyle p}$

Configuración

En detalle, continuamos con el modelo económico de los hogares y los productores, pero consideramos un método diferente para diseñar la producción y distribución de mercancías que la economía de mercado. Puede interpretarse como un modelo de economía "socialista".

• No hay dinero, mercado ni propiedad privada de los productores.
• Dado que hemos abolido la propiedad privada, el dinero y el afán de lucro, no tiene sentido distinguir a un productor de otro. En consecuencia, en lugar de que cada productor planifique individualmente , es como si toda la sociedad tuviera un gran productor produciendo . ${\displaystyle y^{j}\in PPS^{j}}$ ${\displaystyle y\in PPS}$
• Los hogares siguen teniendo las mismas preferencias y dotaciones, pero ya no tienen presupuestos.
• Los productores no producen para maximizar las ganancias, ya que no hay ganancias. Todos los hogares se unen para formar un estado (un plan de producción y consumo para toda la economía) con las siguientes restricciones: ${\displaystyle ((x_{i})_{i\in I},y)}$
  $${\displaystyle x^{i}\in CPS^{i},y\in PPS,y\succeq \sum _{i}(x^{i}-r^{i})}$$
• Cualquier subconjunto no vacío de hogares puede eliminar a todos los demás hogares, manteniendo al mismo tiempo el control de los productores.

Esta economía es, por tanto, un juego cooperativo en el que cada hogar es un jugador, y tenemos los siguientes conceptos de la teoría de juegos cooperativos:

• Una coalición de bloqueo es un subconjunto no vacío de hogares, de modo que existe un plan estrictamente Pareto mejor incluso si eliminan a todos los demás hogares.
• Un estado es un estado central si no hay coaliciones de bloqueo.
• El núcleo de una economía es el conjunto de estados centrales.

Como asumimos que cualquier subconjunto no vacío de hogares puede eliminar a todos los demás hogares, manteniendo al mismo tiempo el control de los productores, los únicos estados que pueden ejecutarse son los estados centrales. Un estado que no sea un estado central sería inmediatamente objetado por una coalición de hogares.

Necesitamos una suposición más sobre que es un cono , es decir, para cualquiera . Este supuesto descarta dos formas en que la economía se vuelve trivial. ${\displaystyle PPS}$ ${\displaystyle k\cdot PPS\subset PPS}$ ${\displaystyle k\geq 0}$

• La maldición del almuerzo gratis: en este modelo, el todo está disponible para cualquier coalición no vacía, incluso una coalición de uno solo. En consecuencia, si nadie tiene ninguna dotación y, sin embargo, contiene algo de "almuerzo gratis" , entonces (suponiendo que las preferencias sean monótonas) a cada hogar le gustaría quedarse con todo para sí y, en consecuencia, *no* existe un estado central. Intuitivamente, la imagen del mundo es la de un comité de gente egoísta, que veta cualquier plan que no le dé a sí mismo todo el almuerzo gratis. ${\displaystyle PPS}$ ${\displaystyle PPS}$ ${\displaystyle y\succ 0}$ ${\displaystyle y}$
• El límite del crecimiento: considere una sociedad con 2 mercancías. Uno es "trabajo" y otro es "comida". Los hogares sólo tienen como dotación mano de obra, pero sólo consumen alimentos. Parece una rampa con una parte superior plana. Entonces, dedicar de 0 a 1.000 horas de trabajo produce de 0 a 1.000 kg de alimentos, de forma lineal, pero más trabajo no produce alimentos. Supongamos ahora que cada hogar cuenta con mil horas de trabajo. Está claro que cada hogar bloquearía inmediatamente a todos los demás, ya que siempre es mejor que uno use todo para sí mismo. ${\displaystyle PPS}$ ${\displaystyle PPS}$

Principales resultados (Debreu y Bufanda, 1963)

Proposición  :  Los equilibrios del mercado son estados centrales.

Prueba

Definir el hiperplano de precios . Dado que es un hiperplano de soporte de y es un cono convexo, el hiperplano de precios pasa por el origen. De este modo . ${\displaystyle \langle p,q\rangle =\langle p,\sum _{j}y^{j}\rangle }$ ${\displaystyle PPS}$ ${\displaystyle PPS}$ ${\displaystyle \langle p,\sum _{j}y^{j}\rangle =\langle p,\sum _{i}x^{i}-r^{i}\rangle =0}$

Dado que es la ganancia total, y cada productor puede al menos obtener una ganancia cero (es decir, ), esto significa que la ganancia es exactamente cero para cada productor. En consecuencia, el presupuesto de cada hogar proviene exactamente de la venta de fondos patrimoniales. ${\displaystyle \sum _{j}\langle p,y^{j}\rangle }$ ${\displaystyle 0\in PPS^{j}}$

$${\displaystyle \langle p,x^{i}\rangle =\langle p,r^{i}\rangle }$$

Mediante la maximización de la utilidad, cada hogar ya está haciendo todo lo que puede. En consecuencia, tenemos . ${\displaystyle \langle p,U_{++}^{i}(x^{i})\rangle >\langle p,r^{i}\rangle }$

En particular, para cualquier coalición y cualquier plan de producción que sea mejor en términos de Pareto, tenemos ${\displaystyle I'\subset I}$ ${\displaystyle x'^{i}}$

$${\displaystyle \sum _{i\in I'}\langle p,x'^{i}\rangle >\sum _{i\in I'}\langle p,r^{i}\rangle }$$

y en consecuencia, el punto se encuentra por encima del hiperplano de precios, lo que lo hace inalcanzable. ${\displaystyle \sum _{i\in I'}x'^{i}-r^{i}}$

En el artículo de Debreu y Bufanda, definieron una forma particular de abordar una economía infinitamente grande, mediante la "replicación de hogares". Es decir, para cualquier número entero positivo , defina una economía donde hay hogares que tienen exactamente el mismo conjunto de posibilidades y preferencias de consumo que el hogar . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle i}$

Representemos el plan de consumo de la -ésima réplica del hogar . Defina un plan que sea equitativo si y solo para cualquiera y . ${\displaystyle x^{i,k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle x^{i,k}\sim ^{i}x^{i,k'}}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle k,k'\in K}$

En general, un estado sería bastante complejo y trataría cada réplica de manera diferente. Sin embargo, los estados centrales son significativamente más simples: son equitativos y tratan a todas las réplicas por igual.

Proposición  :  cualquier estado central es equitativo.

Prueba

Utilizamos la "coalición de los desvalidos".

Consideremos un estado central . Definir distribuciones promedio . ${\displaystyle x^{i,k}}$ ${\displaystyle {\bar {x}}^{i}:={\frac {1}{K}}\sum _{k\in K}x^{i,k}}$

Es alcanzable, por eso tenemos ${\displaystyle K\sum _{i}({\bar {x}}^{i}-r^{i})\in PPS}$

Supongamos que existe alguna desigualdad, es decir, alguna , entonces por convexidad de preferencias tenemos , donde está el hogar de tipo peor tratado . ${\displaystyle x^{i,k}\succ ^{i}x^{i,k'}}$ ${\displaystyle {\bar {x}}^{i}\succ ^{i}x^{i,k'}}$ ${\displaystyle k'}$ ${\displaystyle i}$

Ahora definen la "coalición de los desvalidos", formada por los hogares peor tratados de cada tipo, y proponen distribuirla según . Esto es mejor en el sentido de Pareto para la coalición y, como es cónico, también tenemos , por lo que el plan es realizable. Contradicción. ${\displaystyle {\bar {x}}^{i}}$ ${\displaystyle PP}$ ${\displaystyle \sum _{i}({\bar {x}}^{i}-r^{i})\in PPS}$

En consecuencia, al estudiar los estados centrales, basta con considerar un plan de consumo para cada tipo de hogar. Ahora, definimos como el conjunto de todos los estados centrales de la economía con réplicas por hogar. Está claro que así podemos definir el conjunto límite de estados centrales . ${\displaystyle C_{K}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle C_{1}\supset C_{2}\supset \cdots }$ ${\displaystyle C:=\cap _{K=1}^{\infty }C_{K}}$

Hemos visto que contiene el conjunto de equilibrios de mercado para la economía original. Lo contrario es cierto bajo suposiciones adicionales menores: ^[16] ${\displaystyle C}$

(Debreu y Bufanda, 1963)  —  Si es un cono poligonal, o si cada uno tiene un interior no vacío con respecto a , entonces es el conjunto de equilibrios de mercado para la economía original. ${\displaystyle PPS}$ ${\displaystyle CPS^{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{N}}$ ${\displaystyle C}$

La suposición de que es un cono poligonal, o que cada uno tiene un interior no vacío, es necesaria para evitar la cuestión técnica del "cuasi-equilibrio". Sin el supuesto, sólo podemos demostrar que está contenido en el conjunto de cuasiequilibrios. ${\displaystyle PPS}$ ${\displaystyle CPS^{i}}$ ${\displaystyle C}$

Contabilización de la no convexidad

El supuesto de que los conjuntos de posibilidades de producción son convexos es una restricción fuerte, ya que implica que no hay economía de escala. De manera similar, podemos considerar conjuntos de posibilidades de consumo y preferencias no convexas. En tales casos, las funciones de oferta y demanda pueden ser discontinuas con respecto al vector de precios, por lo que puede no existir un equilibrio general. ${\displaystyle S^{j}(p),D^{i}(p)}$

Sin embargo, podemos "convexificar" la economía, encontrar un equilibrio para ella y luego, según el teorema de Shapley-Folkman-Starr , es un equilibrio aproximado para la economía original.

En detalle, dada cualquier economía que satisfaga todos los supuestos dados, excepto la convexidad de y , definimos la "economía convexa" como la misma economía, excepto que ${\displaystyle PPS^{j},CPS^{i}}$ ${\displaystyle \succeq ^{i}}$

• ${\displaystyle PPS'^{j}=\mathrm {Conv} (PPS^{j})}$
• ${\displaystyle CPS'^{i}=\mathrm {Conv} (CPS^{i})}$
• ${\displaystyle x\succeq '^{i}y}$sif . ${\displaystyle \forall z\in CPS^{i},y\in \mathrm {Conv} (U_{+}^{i}(z))\implies x\in \mathrm {Conv} (U_{+}^{i}(z))}$

donde denota el casco convexo . ${\displaystyle \mathrm {Conv} }$

Con esto, cualquier equilibrio general para la economía convexificada es también un equilibrio aproximado para la economía original. Es decir, si es un vector de precios de equilibrio para la economía convexificada, entonces ^[17] ${\displaystyle p^{*}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}d(D'(p^{*})-S'(p^{*}),D(p^{*})-S(p^{*}))&\leq N{\sqrt {L}}\\d(r,D(p^{*})-S(p^{*}))&\leq N{\sqrt {L}}\end{aligned}}}$$

${\displaystyle d(\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle PPS^{j},CPS^{i}}$

La economía convexificada puede no satisfacer los supuestos. Por ejemplo, el conjunto es cerrado, pero su casco convexo no lo es. Imponiendo el supuesto adicional de que la economía convexificada también satisface los supuestos, encontramos que la economía original siempre tiene un equilibrio aproximado. ${\displaystyle \{(x,0):x\geq 0\}\cup \{(x,y):xy=1,x>0\}}$

Contabilización del tiempo, el espacio y la incertidumbre.

Las mercancías del modelo Arrow-Debreu son enteramente abstractas. Por lo tanto, aunque normalmente se representa como un mercado estático, se puede utilizar para modelar el tiempo, el espacio y la incertidumbre dividiendo un bien en varios, cada uno de los cuales depende de un determinado tiempo, lugar y estado del mundo. Por ejemplo, "manzanas" se pueden dividir en "manzanas en Nueva York en septiembre si hay naranjas disponibles" y "manzanas en Chicago en junio si no hay naranjas disponibles".

Dadas algunas mercancías básicas, el mercado completo de Arrow-Debreu es un mercado en el que hay una mercancía separada para cada momento futuro, para cada lugar de entrega, para cada estado del mundo considerado, para cada mercancía base.

En economía financiera, el término "Arrow-Debreu" se refiere más comúnmente a un valor Arrow-Debreu . Un valor canónico de Arrow-Debreu es un valor que paga una unidad de numerario si se alcanza un estado particular del mundo y cero en caso contrario (el precio de dicho valor es el llamado " precio estatal "). Como tal, cualquier contrato de derivados cuyo valor de liquidación sea una función de un subyacente cuyo valor sea incierto en la fecha del contrato puede descomponerse como una combinación lineal de valores Arrow-Debreu.

Desde el trabajo de Breeden y Lizenberger en 1978, ^[18] un gran número de investigadores han utilizado opciones para extraer los precios Arrow-Debreu para una variedad de aplicaciones en economía financiera . ^[19]

Contabilización de la existencia del dinero.

Aquí no se ofrece ninguna teoría del dinero y se supone que la economía funciona sin la ayuda de un bien que sirva como medio de intercambio.

—  Gérard Debreu, Teoría del valor: un análisis axiomático del equilibrio económico (1959)

Para el teórico puro, en la coyuntura actual el aspecto más interesante y desafiante del dinero es que no puede encontrar lugar en una economía Arrow-Debreu. Esta circunstancia también debería ser de considerable importancia para los macroeconomistas, pero rara vez lo es.

—  Frank Hahn , Los fundamentos de la teoría monetaria (1987)

Normalmente, los economistas consideran que las funciones del dinero son las de unidad de cuenta, depósito de valor, medio de cambio y estándar de pago diferido. Sin embargo, esto es incompatible con el mercado completo Arrow-Debreu descrito anteriormente. En el mercado completo, sólo hay una transacción única en el mercado "al principio de los tiempos". Después de eso, los hogares y los productores simplemente ejecutan sus producciones, consumos y entregas de mercancías planificadas hasta el fin de los tiempos. En consecuencia, no sirve de nada almacenar valor o medio de intercambio. Esto se aplica no sólo al mercado completo Arrow-Debreu, sino también a modelos (como aquellos con mercados de productos contingentes y contratos de seguro Arrow) que difieren en la forma, pero son matemáticamente equivalentes. ^[20]

Calcular equilibrios generales

Bufanda (1967) ^[21] fue el primer algoritmo que calcula el equilibrio general. Consulte Bufanda (2018) ^[22] y Kubler (2012) ^[23] para obtener reseñas.

Número de equilibrios

Ciertas economías en ciertos vectores de dotación pueden tener vectores de precios infinitamente equilibrados. Sin embargo, "genéricamente", una economía sólo tiene un número finito de vectores de precios de equilibrio. Aquí, "genéricamente" significa "en todos los puntos, excepto en un conjunto cerrado de medida cero de Lebesgue", como en el teorema de Sard . ^{[24] [25]}

Existen muchos teoremas de genericidad de este tipo. Un ejemplo es el siguiente: ^{[26] [27]}

Genericidad  :  para cualquier distribución de dotación estrictamente positiva y cualquier vector de precios estrictamente positivo , defina el exceso de demanda como antes. ${\displaystyle r^{1},...,r^{I}\in \mathbb {R} _{++}^{N}}$ ${\displaystyle p\in \mathbb {R} _{++}^{N}}$ ${\displaystyle Z(p,r^{1},...,r^{I})}$

Si en todos , ${\displaystyle p,r^{1},...,r^{I}\in \mathbb {R} _{++}^{N}}$

• ${\displaystyle Z(p,r^{1},...,r^{I})}$está bien definido,
• ${\displaystyle Z}$es diferenciable,
• ${\displaystyle \nabla _{p}Z}$tiene , ${\displaystyle (N-1)}$

entonces, para cualquier distribución genérica de dotación , sólo hay un número finito de equilibrios . ${\displaystyle r^{1},...,r^{I}\in \mathbb {R} _{++}^{N}}$ ${\displaystyle p^{*}\in \mathbb {R} _{++}^{N}}$

Prueba (boceto)

Defina la "variedad de equilibrio" como el conjunto de soluciones de . Según la ley de Walras, una de las restricciones es redundante. Según los supuestos de que tiene rango , no hay más restricciones redundantes. Así, la variedad de equilibrio tiene una dimensión que es igual al espacio de todas las distribuciones de dotaciones estrictamente positivas . ${\displaystyle Z=0}$ ${\displaystyle \nabla _{p}Z}$ ${\displaystyle (N-1)}$ ${\displaystyle N\times I}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{++}^{N\times I}}$

Por continuidad de , la proyección está cerrada. Así, según el teorema de Sard, la proyección desde la variedad de equilibrio a es crítica sólo en un conjunto de medida 0. Queda por comprobar que la preimagen de la proyección es genéricamente no sólo discreta, sino también finita. ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{++}^{N\times I}}$

Ver también

• Modelo (economía)
• Mercados incompletos
• Mercado de pescadores : un modelo de mercado más simple, en el que se da la cantidad total de cada producto y cada comprador viene solo con un presupuesto monetario.
• Lista de artículos sobre fijación de precios de activos
• Economía financiera § Economía subyacente

Referencias

1. Flecha, KJ; Debreu, G. (1954). "Existencia de un equilibrio para una economía competitiva". Econométrica . 22 (3): 265–290. doi :10.2307/1907353. JSTOR  1907353.
2. McKenzie, Lionel W. (1954). "Sobre el equilibrio en el modelo de comercio mundial y otros sistemas competitivos de Graham". Econométrica . 22 (2): 147–161. doi :10.2307/1907539. JSTOR  1907539.
3. McKenzie, Lionel W. (1959). "Sobre la existencia de un equilibrio general para una economía competitiva". Econométrica . 27 (1): 54–71. doi :10.2307/1907777. JSTOR  1907777.
4. Para una exposición de la prueba, consulte Takayama, Akira (1985). Economía Matemática (2ª ed.). Londres: Cambridge University Press. págs. 265–274. ISBN 978-0-521-31498-5.
5. Düppe, hasta; Weintraub, E. Roy (31 de diciembre de 2014). Encontrar el equilibrio. Princeton: Prensa de la Universidad de Princeton. doi :10.1515/9781400850129. ISBN 978-1-4008-5012-9.
6. Starr, Ross M. (1969), "Cuasi-equilibrios en mercados con preferencias no convexas (Apéndice 2: El teorema de Shapley-Folkman, págs. 35-37)", Econometrica , 37 (1): 25-38 , CiteSeerX 10.1.1.297.8498 , doi :10.2307/1909201, JSTOR  1909201 .
7. Starr, Ross M. (2008). "Teorema de Shapley-Folkman". En Durlauf, Steven N.; Blume, Lawrence E. (eds.). El Diccionario de Economía New Palgrave . vol. 4 (Segunda ed.). Palgrave Macmillan. págs. 317–318. doi :10.1057/9780230226203.1518. ISBN 978-0-333-78676-5.
8. Starr, Ross M. (2011). Teoría del equilibrio general: una introducción (2 ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0521533867.
9. Flecha, KJ (1962). "Conferencias sobre la teoría del equilibrio competitivo". Notas inéditas de conferencias presentadas en la Universidad Northwestern.
10. La técnica del mercado restringido se describe en (Starr 2011), Sección 18.2. La técnica se utilizó en la publicación original Arrow y Debreu (1954).
11. Uzawa, Hirofumi (1962). "Teorema de existencia de Walras y teorema del punto fijo de Brouwer".季刊 理論経済学. 13 (1): 59–62. doi :10.11398/economía1950.13.1_59.
12. (Starr 2011), Sección 18.4
13. (Starr 2011), Capítulo 19
14. Debreu, Gerard (1 de enero de 1959). Teoría del valor: un análisis axiomático del equilibrio económico. Prensa de la Universidad de Yale. ISBN 978-0-300-01559-1.
15. Flecha, Kenneth J. (2007). Análisis competitivo general. Holanda del Norte. ISBN 978-0-444-85497-1. OCLC  817224321.
16. (Starr 2011) Teorema 22.2
17. (Starr 2011), Teorema 25.1
18. Criar, Douglas T.; Litzenberger, Robert H. (1978). "Precios de créditos contingentes al Estado implícitos en los precios de las opciones". Revista de Negocios . 51 (4): 621–651. doi :10.1086/296025. JSTOR  2352653. S2CID  153841737.
19. Almeida, Caio; Vicente, José (2008). "¿Son importantes las opciones sobre tipos de interés para la evaluación del riesgo de interés?" (PDF) . Serie Documentos de Trabajo N. 179, Banco Central de Brasil .
20. (Starr 2011) Ejercicio 20.15
21. Bufanda, Herbert (septiembre de 1967). "La aproximación de puntos fijos de un mapeo continuo". Revista SIAM de Matemática Aplicada . 15 (5): 1328-1343. doi :10.1137/0115116. ISSN  0036-1399.
22. Bufanda, Herbert E. (2018), "Cálculo de equilibrios generales", Diccionario de economía New Palgrave , Londres: Palgrave Macmillan Reino Unido, págs. 1973-1984, doi :10.1057/978-1-349-95189-5_451, ISBN 978-1-349-95188-8, recuperado el 6 de enero de 2023
23. Kubler, Felix (2012), "Cálculo de equilibrios generales (nuevos desarrollos)", Diccionario de economía New Palgrave, versión 2012 , Basingstoke: Palgrave Macmillan, doi :10.1057/9781137336583.0296, ISBN 9781137336583, recuperado el 6 de enero de 2023
24. Debreu, Gérard (junio de 2000), "Stephen Smale and the Economic Theory of General Equilibrium", The Collected Papers of Stephen Smale , World Scientific Publishing Company, págs. 243-258, doi :10.1142/9789812792815_0025, ISBN 978-981-02-4991-5, recuperado el 6 de enero de 2023
25. Smale, Steve (1 de enero de 1981), "Capítulo 8 Economía y análisis global", Manual de economía matemática , Elsevier, vol. 1, págs. 331–370 , consultado el 6 de enero de 2023
26. Debreu, Gérard (diciembre de 1984). "Teoría Económica en el Modo Matemático". La Revista Escandinava de Economía . 86 (4): 393–410. doi :10.2307/3439651. ISSN  0347-0520. JSTOR  3439651.
27. (Starr 2011) Sección 26.3

Otras lecturas

• Athreya, Kartik B. (2013). "El enfoque macroeconómico moderno y el modelo Arrow-Debreu-McKenzie". Grandes ideas en macroeconomía: una visión no técnica . Cambridge: Prensa del MIT. págs. 11–46. ISBN 978-0-262-01973-6.
• Geanakoplos, John (1987). "Modelo de equilibrio general de Arrow-Debreu". El nuevo Palgrave: un diccionario de economía . vol. 1. págs. 116-124.
• Takayama, Akira (1985). Economía Matemática (2ª ed.). Londres: Cambridge University Press. págs. 255–284. ISBN 978-0-521-31498-5.
• Düppe, hasta (2012). "Arrow y Debreu deshomogeneizados". Revista de Historia del Pensamiento Económico . 34 (4): 491–514. CiteSeerX  10.1.1.416.2120 . doi :10.1017/s1053837212000491. S2CID  15771197.

enlaces externos

• Notas sobre el modelo de economía Arrow-Debreu-McKenzie, Prof. Kim C. Border California Institute of Technology
• "El Teorema Fundamental" de las Finanzas; Parte II. Prof. Mark Rubinstein , Escuela de Negocios Haas ^{[ enlace muerto ]}