En geometría computacional , una forma alfa , o forma α , es una familia de curvas simples lineales por partes en el plano euclidiano asociadas con la forma de un conjunto finito de puntos. Fueron definidas por primera vez por Edelsbrunner, Kirkpatrick y Seidel (1983). La forma alfa asociada con un conjunto de puntos es una generalización del concepto de envoltura convexa , es decir, toda envoltura convexa es una forma alfa, pero no toda forma alfa es una envoltura convexa.
Para cada número real α , defina el concepto de disco generalizado de radio 1/ α de la siguiente manera:
Entonces se dibuja un borde de la forma alfa entre dos miembros del conjunto de puntos finitos siempre que exista un disco generalizado de radio 1/ α que tenga los dos puntos en su límite y que no contenga ninguno del conjunto de puntos en su interior .
Si α = 0, entonces la forma alfa asociada con el conjunto de puntos finitos es su envoltura convexa ordinaria.
Las formas alfa están estrechamente relacionadas con los complejos alfa, subcomplejos de la triangulación de Delaunay del conjunto de puntos.
Cada arista o triángulo de la triangulación de Delaunay puede estar asociado a un radio característico, el radio del círculo vacío más pequeño que contiene la arista o triángulo. Para cada número real α , el α -complejo del conjunto de puntos dado es el complejo simplicial formado por el conjunto de aristas y triángulos cuyos radios son como máximo 1/ α .
El complejo α también es un subcomplejo del complejo de Čech , pero computacionalmente más eficiente si el espacio ambiental tiene dimensión 2 o 3. [1] [2]
La unión de los bordes y triángulos en el complejo α forma una forma muy similar a la forma α ; sin embargo, difiere en que tiene bordes poligonales en lugar de bordes formados por arcos de círculos. Más específicamente, Edelsbrunner (1995) demostró que las dos formas son homotópicamente equivalentes . (En este trabajo posterior, Edelsbrunner utilizó el nombre " forma α " para referirse a la unión de las células en el complejo α , y en su lugar llamó a la forma curvilínea relacionada un cuerpo α ).
Esta técnica puede emplearse para reconstruir una superficie de Fermi a partir de la función espectral electrónica de Bloch evaluada en el nivel de Fermi , obtenida a partir de la función de Green en un estudio generalizado ab-initio del problema. La superficie de Fermi se define entonces como el conjunto de puntos del espacio recíproco dentro de la primera zona de Brillouin , donde la señal es más alta. La definición tiene la ventaja de cubrir también casos de varias formas de desorden.
