En estadística y geometría computacional , la profundidad de Tukey [1] es una medida de la profundidad de un punto en un conjunto fijo de puntos. El concepto recibe su nombre de su inventor, John Tukey . Dado un conjunto de n puntos en un espacio de dimensión d , la profundidad de Tukey de un punto x es la fracción (o número) más pequeña de puntos en cualquier semiespacio cerrado que contenga x .
La profundidad de Tukey mide qué tan extremo es un punto con respecto a una nube de puntos. Se utiliza para definir el gráfico de bolsas , una generalización bivariada del gráfico de cajas .
Por ejemplo, para cualquier punto extremo de la envoltura convexa siempre hay un semiespacio (cerrado) que contiene sólo ese punto y, por lo tanto, su profundidad de Tukey como fracción es 1/n.
Definiciones
Profundidad de Tukey de un punto x con respecto a una nube de puntos. La región azul ilustra un semiespacio que contiene x en el límite. El semiespacio también es el más extremo, de modo que contiene x pero la menor cantidad posible de observaciones en la nube de puntos. Por lo tanto, la proporción de puntos contenidos en este semiespacio se convierte en el valor de la profundidad de Tukey para x.
La profundidad de Tukey del punto x de muestra , o la profundidad de Tukey de x con respecto a la nube de puntos , se define como
¿Dónde está la función indicadora que es igual a 1 si su argumento es verdadero o 0 en caso contrario?
La profundidad de Tukey de la población x con respecto a una distribución es
donde X es una variable aleatoria que sigue la distribución .
Media de Tukey y relación con el punto central
Un punto central c de un conjunto de puntos de tamaño n no es otra cosa que un punto de profundidad de Tukey de al menos n /( d + 1).
