Differentiable curve

Estudio de curvas desde un punto de vista diferencial

Differential geometry of curves is the branch of geometry that deals with smooth curves in the plane and the Euclidean space by methods of differential and integral calculus.

Many specific curves have been thoroughly investigated using the synthetic approach. Differential geometry takes another path: curves are represented in a parametrized form, and their geometric properties and various quantities associated with them, such as the curvature and the arc length, are expressed via derivatives and integrals using vector calculus. One of the most important tools used to analyze a curve is the Frenet frame, a moving frame that provides a coordinate system at each point of the curve that is "best adapted" to the curve near that point.

The theory of curves is much simpler and narrower in scope than the theory of surfaces and its higher-dimensional generalizations because a regular curve in a Euclidean space has no intrinsic geometry. Any regular curve may be parametrized by the arc length (the natural parametrization). From the point of view of a theoretical point particle on the curve that does not know anything about the ambient space, all curves would appear the same. Different space curves are only distinguished by how they bend and twist. Quantitatively, this is measured by the differential-geometric invariants called the curvature and the torsion of a curve. The fundamental theorem of curves asserts that the knowledge of these invariants completely determines the curve.

Definitions

A parametric C^r-curve or a C^r-parametrization is a vector-valued function

$${\displaystyle \gamma :I\to \mathbb {R} ^{n}}$$

rcontinuamente diferenciableγI es un intervaloimagenγγ [ I ]tγ ( t ) representa el tiempo y γtrayectoriaI[ a , b ]γ ( a )γ ( b )γγ ( a ) = γ ( b )γcurva cerradabucleC ^rγrγ ^{( k )} ( a ) = γ ^{( k )} ( b )0 ≤ k ≤ r ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle r\in \mathbb {N} \cup \{\infty \}}$ ${\displaystyle \gamma [I]\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

La curva paramétrica es simple si

$${\displaystyle \gamma |_{(a,b)}:(a,b)\to \mathbb {R} ^{n}}$$

inyectivoanalíticaγfunción analíticaC ^ω

La curva γ es regular de orden m (donde m ≤ r ) si, para cada t ∈ I ,

$${\displaystyle \left\{\gamma '(t),\gamma ''(t),\ldots ,{\gamma ^{(m)}}(t)\right\}}$$

linealmente independienteC ¹ γregularγ ′ ( t ) ≠ 0t ∈ I ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Reparametrización y relación de equivalencia.

Dada la imagen de una curva paramétrica, existen varias parametrizaciones diferentes de la curva paramétrica. La geometría diferencial tiene como objetivo describir las propiedades de curvas paramétricas que son invariantes bajo ciertas reparametrizaciones. Se debe definir una relación de equivalencia adecuada sobre el conjunto de todas las curvas paramétricas. Las propiedades geométricas diferenciales de una curva paramétrica (como su longitud, su marco de Frenet y su curvatura generalizada) son invariantes bajo reparametrización y, por lo tanto, son propiedades de la clase de equivalencia misma. Las clases de equivalencia se denominan curvas C ^r y son objetos centrales de estudio en la geometría diferencial de curvas.

Se dice que dos curvas paramétricas C ^r , y , son equivalentes si y sólo si existe un mapa biyectivo C ^r φ  : I ₁ → I ₂ tal que ${\displaystyle \gamma _{1}:I_{1}\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \gamma _{2}:I_{2}\to \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle \forall t\in I_{1}:\quad \varphi '(t)\neq 0}$$

$${\displaystyle \forall t\in I_{1}:\quad \gamma _{2}{\bigl (}\varphi (t){\bigr )}=\gamma _{1}(t).}$$

Entonces se dice que γ ₂ reparametrización γ ₁

La reparametrización define una relación de equivalencia en el conjunto de todas las curvas paramétricas C ^r de clase C ^r . La clase de equivalencia de esta relación es simplemente una curva C ^r .

Se puede definir una relación de equivalencia aún más fina de curvas C ^r paramétricas orientadas exigiendo que φ satisfaga φ ′ ( t ) > 0 .

Las curvas C ^r paramétricas equivalentes tienen la misma imagen, y las curvas C ^r paramétricas orientadas equivalentes incluso atraviesan la imagen en la misma dirección.

Longitud y parametrización natural.

La longitud l de una curva paramétrica C ¹ se define como ${\displaystyle \gamma :[a,b]\to \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle l~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\int _{a}^{b}\left\|\gamma '(t)\right\|\,\mathrm {d} {t}.}$$

Para cada curva paramétrica regular C ^r , donde r ≥ 1 , la función se define ${\displaystyle \gamma :[a,b]\to \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle \forall t\in [a,b]:\quad s(t)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\int _{a}^{t}\left\|\gamma '(x)\right\|\,\mathrm {d} {x}.}$$

γ (s) = γ ( t ( s ))t ( s )s ( t )γγparametrización de longitud de arcoparametrización naturalparametrización de velocidad unitaria s ( t )parámetro naturalγ

Se prefiere esta parametrización porque el parámetro natural s ( t ) atraviesa la imagen de γ a una velocidad unitaria, de modo que

$${\displaystyle \forall t\in I:\quad \left\|{\overline {\gamma }}'{\bigl (}s(t){\bigr )}\right\|=1.}$$

Para una curva paramétrica dada γ , la parametrización natural es única hasta un cambio de parámetro.

La cantidad

$${\displaystyle E(\gamma )~{\stackrel {\text{def}}{=}}~{\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}\left\|\gamma '(t)\right\|^{2}~\mathrm {d} {t}}$$

energíaaccióngeodésicasecuaciones de movimiento de Euler-Lagrange

Marco de frenet

Una ilustración del marco de Frenet para un punto en una curva espacial. T es la unidad tangente, P la unidad normal y B la unidad binormal.

Un marco de Frenet es un marco de referencia en movimiento de n vectores ortonormales e _i ( t ) que se utilizan para describir una curva localmente en cada punto γ ( t ) . Es la herramienta principal en el tratamiento geométrico diferencial de curvas porque es mucho más fácil y natural describir propiedades locales (por ejemplo, curvatura, torsión) en términos de un sistema de referencia local que usar uno global como las coordenadas euclidianas.

Dada una curva C ^{n + 1} γ en la que es regular de orden n, el marco de Frenet para la curva es el conjunto de vectores ortonormales ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle \mathbf {e} _{1}(t),\ldots ,\mathbf {e} _{n}(t)}$$

vectores de Frenetγ ( t )algoritmo de ortogonalización de Gram-Schmidt

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} _{1}(t)&={\frac {{\boldsymbol {\gamma }}'(t)}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|}}\\[1ex]\mathbf {e} _{j}(t)&={\frac {{\overline {\mathbf {e} _{j}}}(t)}{\left\|{\overline {\mathbf {e} _{j}}}(t)\right\|}},&{\overline {\mathbf {e} _{j}}}(t)&={\boldsymbol {\gamma }}^{(j)}(t)-\sum _{i=1}^{j-1}\left\langle {\boldsymbol {\gamma }}^{(j)}(t),\,\mathbf {e} _{i}(t)\right\rangle \,\mathbf {e} _{i}(t){\vphantom {\Bigg \langle }}\end{aligned}}}$$

Las funciones de valor real χ _i ( t ) se denominan curvaturas generalizadas y se definen como

$${\displaystyle \chi _{i}(t)={\frac {{\bigl \langle }\mathbf {e} _{i}'(t),\mathbf {e} _{i+1}(t){\bigr \rangle }}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}^{'}(t)\right\|}}}$$

El marco de Frenet y las curvaturas generalizadas son invariantes bajo reparametrización y, por tanto, son propiedades geométricas diferenciales de la curva. Para curvas, in es la curvatura y es la torsión. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \chi _{1}(t)}$ ${\displaystyle \chi _{2}(t)}$

curva de Bertrand

Una curva de Bertrand es una curva regular con la propiedad adicional de que hay una segunda curva de manera que los principales vectores normales a estas dos curvas son idénticos en cada punto correspondiente. En otras palabras, si γ ₁ ( t ) y γ ₂ ( t ) son dos curvas de modo que para cualquier t , las dos normales principales N ₁ ( t ), N ₂ (t) son iguales, entonces γ ₁ y γ ₂ son curvas de Bertrand y γ ₂ se llama mate de Bertrand de γ ₁ . Podemos escribir γ ₂ ( t ) = γ ₁ ( t ) + r N ₁ ( t ) para alguna constante r . ^[1] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Según el problema 25 de "Curvas de geometría diferencial – Superficies – Múltiples” de Kühnel, también es cierto que dos curvas de Bertrand que no se encuentran en el mismo plano bidimensional se caracterizan por la existencia de una relación lineal a κ ( t ) + b τ ( t ) = 1 donde κ ( t ) y τ ( t ) son la curvatura y torsión de γ ₁ ( t ) y a y b son constantes reales con a ≠ 0 . ^[2] Además, el producto de las torsiones de un par de curvas de Bertrand es constante. ^[3] Si γ ₁ tiene más de un compañero de Bertrand, entonces tiene infinitos. Esto sólo ocurre cuando γ ₁ es una hélice circular. ^[1]

Vectores especiales de Frenet y curvaturas generalizadas.

Los primeros tres vectores de Frenet y las curvaturas generalizadas se pueden visualizar en un espacio tridimensional. Tienen nombres adicionales y más información semántica adjunta.

Vector tangente

Si una curva γ representa la trayectoria de una partícula, entonces la velocidad instantánea de la partícula en un punto dado P se expresa mediante un vector , llamado vector tangente a la curva en P. Matemáticamente, dada una curva C ¹ parametrizada γ = γ ( t ) , para cada valor t = t ₀ del parámetro, el vector

$${\displaystyle \gamma '(t_{0})=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\boldsymbol {\gamma }}(t)\right|_{t=t_{0}}}$$

P = γ ( t ₀ )cero

$${\displaystyle \left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t_{0})\right\|}$$

t ₀

El primer vector de Frenet e ₁ ( t ) es el vector unitario tangente en la misma dirección, definido en cada punto regular de γ :

$${\displaystyle \mathbf {e} _{1}(t)={\frac {{\boldsymbol {\gamma }}'(t)}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|}}.}$$

t = s

$${\displaystyle \mathbf {e} _{1}(s)={\boldsymbol {\gamma }}'(s).}$$

imagen esférica

Vector normal o vector de curvatura

Un vector normal de curva , a veces llamado vector de curvatura , indica la desviación de la curva de ser una línea recta. Se define como

$${\displaystyle {\overline {\mathbf {e} _{2}}}(t)={\boldsymbol {\gamma }}''(t)-{\bigl \langle }{\boldsymbol {\gamma }}''(t),\mathbf {e} _{1}(t){\bigr \rangle }\,\mathbf {e} _{1}(t).}$$

Su forma normalizada, el vector normal unitario, es el segundo vector de Frenet e ₂ ( t ) y se define como

$${\displaystyle \mathbf {e} _{2}(t)={\frac {{\overline {\mathbf {e} _{2}}}(t)}{\left\|{\overline {\mathbf {e} _{2}}}(t)\right\|}}.}$$

La tangente y el vector normal en el punto t definen el plano osculador en el punto t .

Se puede demostrar que ē ₂ ( t ) ∝ e ′ ₁ ( t ) . Por lo tanto,

$${\displaystyle \mathbf {e} _{2}(t)={\frac {\mathbf {e} _{1}'(t)}{\left\|\mathbf {e} _{1}'(t)\right\|}}.}$$

Curvatura

La primera curvatura generalizada χ ₁ ( t ) se llama curvatura y mide la desviación de γ de ser una línea recta con respecto al plano osculador. Se define como

$${\displaystyle \kappa (t)=\chi _{1}(t)={\frac {{\bigl \langle }\mathbf {e} _{1}'(t),\mathbf {e} _{2}(t){\bigr \rangle }}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|}}}$$

curvaturaγt

$${\displaystyle \kappa (t)={\frac {\left\|\mathbf {e} _{1}'(t)\right\|}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|}}.}$$

El recíproco de la curvatura.

$${\displaystyle {\frac {1}{\kappa (t)}}}$$

radio de curvatura

Un círculo con radio r tiene una curvatura constante de

$${\displaystyle \kappa (t)={\frac {1}{r}}}$$

vector binormal

El vector unitario binormal es el tercer vector de Frenet e ₃ ( t ) . Siempre es ortogonal a los vectores unitarios tangentes y normales en t . Se define como

$${\displaystyle \mathbf {e} _{3}(t)={\frac {{\overline {\mathbf {e} _{3}}}(t)}{\left\|{\overline {\mathbf {e} _{3}}}(t)\right\|}},\quad {\overline {\mathbf {e} _{3}}}(t)={\boldsymbol {\gamma }}'''(t)-{\bigr \langle }{\boldsymbol {\gamma }}'''(t),\mathbf {e} _{1}(t){\bigr \rangle }\,\mathbf {e} _{1}(t)-{\bigl \langle }{\boldsymbol {\gamma }}'''(t),\mathbf {e} _{2}(t){\bigr \rangle }\,\mathbf {e} _{2}(t)}$$

En el espacio tridimensional, la ecuación se simplifica a

$${\displaystyle \mathbf {e} _{3}(t)=\mathbf {e} _{1}(t)\times \mathbf {e} _{2}(t)}$$

$${\displaystyle \mathbf {e} _{3}(t)=-\mathbf {e} _{1}(t)\times \mathbf {e} _{2}(t),}$$

Torsión

La segunda curvatura generalizada χ ₂ ( t ) se llama torsión y mide la desviación de γ respecto de ser una curva plana . En otras palabras, si la torsión es cero, la curva se encuentra completamente en el mismo plano osculador (sólo hay un plano osculador para cada punto t ). Se define como

$${\displaystyle \tau (t)=\chi _{2}(t)={\frac {{\bigl \langle }\mathbf {e} _{2}'(t),\mathbf {e} _{3}(t){\bigr \rangle }}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|}}}$$

torsiónγt

aberración

La tercera derivada se puede utilizar para definir la aberración , una métrica de no circularidad de una curva. ^{[4] [5] [6]}

Teorema principal de la teoría de curvas.

Dadas n − 1 funciones:

$${\displaystyle \chi _{i}\in C^{n-i}([a,b],\mathbb {R} ^{n}),\quad \chi _{i}(t)>0,\quad 1\leq i\leq n-1}$$

grupo euclidianoC ^{n + 1}γn

$${\displaystyle {\begin{aligned}\|\gamma '(t)\|&=1&t\in [a,b]\\\chi _{i}(t)&={\frac {\langle \mathbf {e} _{i}'(t),\mathbf {e} _{i+1}(t)\rangle }{\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\|}}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle \mathbf {e} _{1}(t),\ldots ,\mathbf {e} _{n}(t)}$$

Al proporcionar adicionalmente un inicio t ₀ en I , un punto de partida p ₀ in y un marco de Frenet ortonormal positivo inicial { e ₁ , ..., e _{n − 1} } con ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\gamma }}(t_{0})&=\mathbf {p} _{0}\\\mathbf {e} _{i}(t_{0})&=\mathbf {e} _{i},\quad 1\leq i\leq n-1\end{aligned}}}$$

γ

Fórmulas de Frenet-Serret

Las fórmulas de Frenet-Serret son un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. La solución es el conjunto de vectores de Frenet que describen la curva especificada por las funciones de curvatura generalizadas χ _i .

2 dimensiones

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}'(t)\\\mathbf {e} _{2}'(t)\end{bmatrix}}=\left\Vert \gamma '(t)\right\Vert {\begin{bmatrix}0&\kappa (t)\\-\kappa (t)&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}(t)\\\mathbf {e} _{2}(t)\end{bmatrix}}}$$

3 dimensiones

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}'(t)\\[0.75ex]\mathbf {e} _{2}'(t)\\[0.75ex]\mathbf {e} _{3}'(t)\end{bmatrix}}=\left\Vert \gamma '(t)\right\Vert {\begin{bmatrix}0&\kappa (t)&0\\[1ex]-\kappa (t)&0&\tau (t)\\[1ex]0&-\tau (t)&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}(t)\\[1ex]\mathbf {e} _{2}(t)\\[1ex]\mathbf {e} _{3}(t)\end{bmatrix}}}$$

n dimensiones (fórmula general)

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}'(t)\\[1ex]\mathbf {e} _{2}'(t)\\[1ex]\vdots \\[1ex]\mathbf {e} _{n-1}'(t)\\[1ex]\mathbf {e} _{n}'(t)\\[1ex]\end{bmatrix}}=\left\Vert \gamma '(t)\right\Vert {\begin{bmatrix}0&\chi _{1}(t)&\cdots &0&0\\[1ex]-\chi _{1}(t)&0&\cdots &0&0\\[1ex]\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\[1ex]0&0&\cdots &0&\chi _{n-1}(t)\\[1ex]0&0&\cdots &-\chi _{n-1}(t)&0\\[1ex]\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}(t)\\[1ex]\mathbf {e} _{2}(t)\\[1ex]\vdots \\[1ex]\mathbf {e} _{n-1}(t)\\[1ex]\mathbf {e} _{n}(t)\\[1ex]\end{bmatrix}}}$$

Ver también

• Lista de temas de curvas.

Referencias

1. do Carmo, Manfredo P. (2016). Geometría diferencial de curvas y superficies (segunda ed. revisada y actualizada). Mineola, Nueva York: Dover Publications, Inc. págs. ISBN 978-0-486-80699-0.
2. Kühnel, Wolfgang (2005). Geometría diferencial: curvas, superficies, variedades . Providencia: AMS. pag. 53.ISBN​ 0-8218-3988-8.
3. Weisstein, Eric W. "Curvas de Bertrand". mathworld.wolfram.com .
4. Schot, Stephen (noviembre de 1978). "Aberración: geometría de la tercera derivada". Revista Matemáticas . 5. 51 (5): 259–275. doi :10.2307/2690245. JSTOR  2690245.
5. Cameron Byerley; Russell a. Gordon (2007). "Medidas de aberración". Intercambio de análisis real . 32 (1). Prensa de la Universidad Estatal de Michigan: 233. doi : 10.14321/realanalexch.32.1.0233 . ISSN  0147-1937.
6. Gordon, Russell A. (2004). "La aberración de las curvas planas". La Gaceta Matemática . 89 (516). Prensa de la Universidad de Cambridge (CUP): 424–436. doi :10.1017/s0025557200178271. ISSN  0025-5572. S2CID  118533002.

Otras lecturas

• Kreyszig, Erwin (1991). Geometría diferencial . Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 0-486-66721-9.El Capítulo II es un tratamiento clásico de la Teoría de Curvas en 3 dimensiones.