Función con valores vectoriales

Función valorada en un espacio vectorial; típicamente real o complejo

Una función con valores vectoriales , también denominada función vectorial , es una función matemática de una o más variables cuyo rango es un conjunto de vectores multidimensionales o vectores de dimensiones infinitas . La entrada de una función con valores vectoriales podría ser un escalar o un vector (es decir, la dimensión del dominio podría ser 1 o mayor que 1); la dimensión del dominio de la función no tiene relación con la dimensión de su rango.

Ejemplo: hélice

Una gráfica de la función con valores vectoriales r ( z ) = ⟨2 cos  z , 4 sin  z , z ⟩ que indica un rango de soluciones y el vector cuando se evalúa cerca de z = 19,5

Un ejemplo común de una función con valores vectoriales es aquella que depende de un único parámetro real t , que a menudo representa el tiempo , produciendo un vector v ( t ) como resultado. En términos de los vectores unitarios estándar i , j , k del espacio tridimensional cartesiano , estos tipos específicos de funciones con valores vectoriales vienen dados por expresiones como

$${\displaystyle \mathbf {r} (t)=f(t)\mathbf {i} +g(t)\mathbf {j} +h(t)\mathbf {k} }$$

ftgthtfunciones de coordenadastintersecciónfgh

$${\displaystyle \mathbf {r} (t)=\langle f(t),g(t),h(t)\rangle }$$

rt

El vector que se muestra en el gráfico de la derecha es la evaluación de la función cerca de t  = 19,5 (entre 6π y 6,5π; es decir, algo más de 3 rotaciones). La hélice es el camino trazado por la punta del vector cuando t aumenta desde cero hasta 8 π . ${\displaystyle \langle 2\cos t,\,4\sin t,\,t\rangle }$

En 2D, podemos hablar de manera análoga sobre funciones con valores vectoriales como

$${\displaystyle \mathbf {r} (t)=f(t)\mathbf {i} +g(t)\mathbf {j} }$$

$${\displaystyle \mathbf {r} (t)=\langle f(t),g(t)\rangle }$$

Caso lineal

En el caso lineal la función se puede expresar en términos de matrices :

${\displaystyle y=Ax,}$

donde y es un  vector de salida n × 1, x es un  vector de entradas k × 1 y A es una matriz de parámetros n  ×  k . Estrechamente relacionado está el caso afín (lineal hasta una traducción ) donde la función toma la forma

${\displaystyle y=Ax+b,}$

donde además b es un  vector de parámetros n × 1.

El caso lineal surge a menudo, por ejemplo en regresión múltiple ^{[ se necesita aclaración ]} , donde por ejemplo el vector n  × 1 de valores predichos de una variable dependiente se expresa linealmente en términos de un  vector k × 1 ( k < n ) de valores estimados de parámetros del modelo: ${\displaystyle {\hat {y}}}$ ${\displaystyle {\hat {\beta }}}$

${\displaystyle {\hat {y}}=X{\hat {\beta }},}$

en el que X (que desempeña el papel de A en la forma genérica anterior) es una matriz n  ×  k de números fijos (con base empírica).

Representación paramétrica de una superficie.

Una superficie es un conjunto bidimensional de puntos incrustados en (más comúnmente) un espacio tridimensional. Una forma de representar una superficie es con ecuaciones paramétricas , en las que dos parámetros s y t determinan las tres coordenadas cartesianas de cualquier punto de la superficie:

${\displaystyle (x,y,z)=(f(s,t),g(s,t),h(s,t))\equiv F(s,t).}$

Aquí F es una función con valores vectoriales. Para una superficie incrustada en un espacio n -dimensional, se tiene de manera similar la representación

${\displaystyle (x_{1},x_{2},...,x_{n})=(f_{1}(s,t),f_{2}(s,t),...,f_{n}(s,t))\equiv F(s,t).}$

Derivada de una función vectorial tridimensional

Muchas funciones con valores vectoriales, como las funciones con valores escalares , se pueden diferenciar simplemente diferenciando los componentes en el sistema de coordenadas cartesiano. Así, si

$${\displaystyle \mathbf {r} (t)=f(t)\mathbf {i} +g(t)\mathbf {j} +h(t)\mathbf {k} }$$

$${\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=f'(t)\mathbf {i} +g'(t)\mathbf {j} +h'(t)\mathbf {k} .}$$

rtposiciónvelocidad

$${\displaystyle \mathbf {v} (t)={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}.}$$

aceleración.

$${\displaystyle {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=\mathbf {a} (t).}$$

Derivada parcial

La derivada parcial de una función vectorial a con respecto a una variable escalar q se define como ^[1]

$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {a} }{\partial q}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial a_{i}}{\partial q}}\mathbf {e} _{i}}$$

a _icomponente escalarae _icoseno directorae _iproducto escalare ₁e ₂e ₃base ortonormalsistema de referencia

Derivado ordinario

Si a se considera una función vectorial de una sola variable escalar, como el tiempo t , entonces la ecuación anterior se reduce a la primera derivada de tiempo ordinaria de a con respecto a t , ^[1]

$${\displaystyle {\frac {d\mathbf {a} }{dt}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {da_{i}}{dt}}\mathbf {e} _{i}.}$$

Derivado total

Si el vector a es función de un número n de variables escalares q _r ( r  = 1, ..., n ), y cada q _r es sólo función del tiempo t , entonces la derivada ordinaria de a con respecto a t se puede expresar, en una forma conocida como derivada total , como ^[1]

$${\displaystyle {\frac {d\mathbf {a} }{dt}}=\sum _{r=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {a} }{\partial q_{r}}}{\frac {dq_{r}}{dt}}+{\frac {\partial \mathbf {a} }{\partial t}}.}$$

Algunos autores prefieren utilizar D mayúscula para indicar el operador total del derivado, como en D / Dt . La derivada total difiere de la derivada temporal parcial en que la derivada total tiene en cuenta los cambios en a debido a la variación temporal de las variables q _r .

Marcos de referencia

Mientras que para las funciones con valores escalares solo hay un único sistema de referencia posible , para tomar la derivada de una función con valores vectoriales se requiere la elección de un sistema de referencia (al menos cuando un sistema de coordenadas cartesiano fijo no está implícito como tal). Una vez que se ha elegido un marco de referencia, la derivada de una función con valores vectoriales se puede calcular utilizando técnicas similares a las que se utilizan para calcular las derivadas de funciones con valores escalares. Una elección diferente de sistema de referencia producirá, en general, una función derivada diferente. Las funciones derivadas en diferentes sistemas de referencia tienen una relación cinemática específica.

Derivada de una función vectorial con bases no fijas

Las fórmulas anteriores para la derivada de una función vectorial se basan en el supuesto de que los vectores base e ₁ , e ₂ , e ₃ son constantes, es decir, fijos en el sistema de referencia en el que se toma la derivada de a , y por lo tanto la e ₁ , e ₂ , e ₃ cada uno tiene una derivada idénticamente cero. Esto suele ser cierto para problemas que tratan con campos vectoriales en un sistema de coordenadas fijo, o para problemas simples de física . Sin embargo, muchos problemas complejos implican la derivada de una función vectorial en múltiples sistemas de referencia en movimiento, lo que significa que los vectores base no serán necesariamente constantes. En el caso de que los vectores base e ₁ , e ₂ , e ₃ estén fijos en el sistema de referencia E, pero no en el sistema de referencia N, la fórmula más general para la derivada temporal ordinaria de un vector en el sistema de referencia N es ^[1]

$${\displaystyle {\frac {{}^{\mathrm {N} }d\mathbf {a} }{dt}}=\sum _{i=1}^{3}{\frac {da_{i}}{dt}}\mathbf {e} _{i}+\sum _{i=1}^{3}a_{i}{\frac {{}^{\mathrm {N} }d\mathbf {e} _{i}}{dt}}}$$

ae ₁e ₂e ₃velocidad angulara^[1][1]

$${\displaystyle {\frac {{}^{\mathrm {N} }d\mathbf {a} }{dt}}={\frac {{}^{\mathrm {E} }d\mathbf {a} }{dt}}+{}^{\mathrm {N} }\mathbf {\omega } ^{\mathrm {E} }\times \mathbf {a} }$$

^N ω ^Evelocidad angular

Un ejemplo común en el que se utiliza esta fórmula es encontrar la velocidad de un objeto espacial, como un cohete , en el marco de referencia inercial utilizando mediciones de la velocidad del cohete en relación con el suelo. La velocidad ^N v ^R en el sistema de referencia inercial N de un cohete R ubicado en la posición r ^R se puede encontrar usando la fórmula

$${\displaystyle {\frac {{}^{\mathrm {N} }d}{dt}}(\mathbf {r} ^{\mathrm {R} })={\frac {{}^{\mathrm {E} }d}{dt}}(\mathbf {r} ^{\mathrm {R} })+{}^{\mathrm {N} }\mathbf {\omega } ^{\mathrm {E} }\times \mathbf {r} ^{\mathrm {R} }.}$$

^N ω ^Evelocidad angular^N v ^RE v ^Rr ^R

$${\displaystyle {}^{\mathrm {N} }\mathbf {v} ^{\mathrm {R} }={}^{\mathrm {E} }\mathbf {v} ^{\mathrm {R} }+{}^{\mathrm {N} }\mathbf {\omega } ^{\mathrm {E} }\times \mathbf {r} ^{\mathrm {R} }}$$

^E v ^R

Multiplicación de derivadas y vectores.

La derivada de un producto de funciones vectoriales se comporta de manera similar a la derivada de un producto de funciones escalares. ^[2] Específicamente, en el caso de la multiplicación escalar de un vector, si p es una función variable escalar de q , ^[1]

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial q}}(p\mathbf {a} )={\frac {\partial p}{\partial q}}\mathbf {a} +p{\frac {\partial \mathbf {a} }{\partial q}}.}$$

En el caso de la multiplicación de puntos, para dos vectores a y b que son funciones de q , ^[1]

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial q}}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )={\frac {\partial \mathbf {a} }{\partial q}}\cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \cdot {\frac {\partial \mathbf {b} }{\partial q}}.}$$

De manera similar, la derivada del producto cruzado de dos funciones vectoriales es ^[1]

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial q}}(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )={\frac {\partial \mathbf {a} }{\partial q}}\times \mathbf {b} +\mathbf {a} \times {\frac {\partial \mathbf {b} }{\partial q}}.}$$

Derivada de una función vectorial de n dimensiones

Una función f de un número real t con valores en el espacio se puede escribir como . Su derivada es igual ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f(t)=(f_{1}(t),f_{2}(t),\ldots ,f_{n}(t))}$

${\displaystyle f'(t)=(f_{1}'(t),f_{2}'(t),\ldots ,f_{n}'(t))}$.

Si f es una función de varias variables, digamos de , entonces las derivadas parciales de los componentes de f forman una matriz llamada matriz jacobiana de f . ${\displaystyle t\in \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle n\times m}$

Funciones vectoriales de dimensión infinita

Si los valores de una función f se encuentran en un espacio vectorial X de dimensión infinita , como un espacio de Hilbert , entonces f puede denominarse función vectorial de dimensión infinita .

Funciones con valores en un espacio de Hilbert

Si el argumento de f es un número real y X es un espacio de Hilbert, entonces la derivada de f en un punto t puede definirse como en el caso de dimensión finita:

${\displaystyle f'(t)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(t+h)-f(t)}{h}}.}$

La mayoría de los resultados del caso de dimensión finita también son válidos en el caso de dimensión infinita, mutatis mutandis. La diferenciación también se puede definir para funciones de varias variables (por ejemplo, o incluso , donde Y es un espacio vectorial de dimensión infinita). ${\displaystyle t\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle t\in Y}$

NB: Si X es un espacio de Hilbert, entonces se puede demostrar fácilmente que cualquier derivada (y cualquier otro límite ) se puede calcular por componentes: si

${\displaystyle f=(f_{1},f_{2},f_{3},\ldots )}$

(es decir, , donde es una base ortonormal del espacio X  ), y existe, entonces ${\displaystyle f=f_{1}e_{1}+f_{2}e_{2}+f_{3}e_{3}+\cdots }$ ${\displaystyle e_{1},e_{2},e_{3},\ldots }$ ${\displaystyle f'(t)}$

${\displaystyle f'(t)=(f_{1}'(t),f_{2}'(t),f_{3}'(t),\ldots )}$.

Sin embargo, la existencia de una derivada por componentes no garantiza la existencia de una derivada, ya que la convergencia por componentes en un espacio de Hilbert no garantiza la convergencia con respecto a la topología real del espacio de Hilbert.

Otros espacios vectoriales de dimensión infinita

La mayor parte de lo anterior también es válido para otros espacios vectoriales topológicos X. Sin embargo, no se cumplen tantos resultados clásicos en el entorno del espacio de Banach , por ejemplo, una función absolutamente continua con valores en un espacio de Banach adecuado no necesita tener una derivada en ninguna parte. Además, en la mayoría de los espacios de Banach no existen bases ortonormales.

Campo vectorial

Una porción del campo vectorial (sin  y , sin  x )

En cálculo vectorial y física , un campo vectorial es una asignación de un vector a cada punto en un espacio , más comúnmente el espacio euclidiano . ^[3] Un campo vectorial en un plano se puede visualizar como una colección de flechas con magnitudes y direcciones dadas, cada una unida a un punto en el plano. Los campos vectoriales se utilizan a menudo para modelar, por ejemplo, la velocidad y dirección de un fluido en movimiento a lo largo del espacio tridimensional , como el viento , o la fuerza y ​​dirección de alguna fuerza , como la fuerza magnética o gravitacional , a medida que cambia de un punto a otro punto. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Los elementos del cálculo diferencial e integral se extienden naturalmente a los campos vectoriales. Cuando un campo vectorial representa fuerza , la integral de línea de un campo vectorial representa el trabajo realizado por una fuerza que se mueve a lo largo de una trayectoria, y bajo esta interpretación la conservación de la energía se exhibe como un caso especial del teorema fundamental del cálculo . Es útil pensar que los campos vectoriales representan la velocidad de un flujo en movimiento en el espacio, y esta intuición física conduce a nociones como la divergencia (que representa la tasa de cambio de volumen de un flujo) y la curvatura (que representa la rotación de un flujo).

Un campo vectorial es un caso especial de una función con valores vectoriales , cuya dimensión de dominio no tiene relación con la dimensión de su rango; por ejemplo, el vector de posición de una curva espacial se define sólo para un subconjunto más pequeño del espacio ambiental. Asimismo, n coordenadas , un campo vectorial en un dominio en un espacio euclidiano de n dimensiones , se puede representar como una función con valores vectoriales que asocia una n -tupla de números reales a cada punto del dominio. Esta representación de un campo vectorial depende del sistema de coordenadas, y existe una ley de transformación bien definida ( covarianza y contravarianza de vectores ) al pasar de un sistema de coordenadas a otro. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Los campos vectoriales a menudo se analizan en subconjuntos abiertos del espacio euclidiano, pero también tienen sentido en otros subconjuntos como las superficies , donde asocian una flecha tangente a la superficie en cada punto (un vector tangente ).

De manera más general, los campos vectoriales se definen en variedades diferenciables , que son espacios que parecen espacio euclidiano en escalas pequeñas, pero que pueden tener una estructura más complicada en escalas mayores. En esta configuración, un campo vectorial proporciona un vector tangente en cada punto de la variedad (es decir, una sección del paquete tangente a la variedad). Los campos vectoriales son un tipo de campo tensorial .

Ver también

• Vector de coordenadas
• Curva
• Función multivalor
• Superficie paramétrica
• Vector de posición
• Parametrización

Notas

1. Kane y Levinson 1996, págs. 29-37
2. De hecho, estas relaciones se derivan aplicando la regla del producto por componentes.
3. Galbis, Antonio; Maestre, Manuel (2012). Análisis vectorial versus cálculo vectorial. Saltador. pag. 12.ISBN _ 978-1-4614-2199-3.

Referencias

• Kane, Thomas R.; Levinson, David A. (1996), "1–9 Diferenciación de funciones vectoriales", Dynamics Online , Sunnyvale, California: OnLine Dynamics, Inc., págs.
• Hu, Chuang-Gan; Yang, Chung-Chun (2013), Funciones con valores vectoriales y sus aplicaciones, Springer Science & Business Media, ISBN 978-94-015-8030-4

enlaces externos

• Funciones valoradas por vectores y sus propiedades (de Lake Tahoe Community College)
• Weisstein, Eric W. "Función vectorial". MundoMatemático .
• Todo2 artículo
• Funciones tridimensionales con valores vectoriales (de la Universidad Estatal del Este de Tennessee)
• Módulo "Funciones valoradas por vectores de posición" Khan Academy