problema de obstáculos

Ejemplo motivador en el estudio matemático.

El problema de obstáculos es un ejemplo motivador clásico en el estudio matemático de desigualdades variacionales y problemas de límites libres . El problema es encontrar la posición de equilibrio de una membrana elástica cuyo límite se mantiene fijo y que está obligado a permanecer por encima de un obstáculo determinado. Está profundamente relacionado con el estudio de superficies mínimas y también con la capacidad de un conjunto en la teoría potencial . Las aplicaciones incluyen el estudio de la filtración de fluidos en medios porosos, calentamiento restringido, elastoplasticidad, control óptimo y matemáticas financieras. ^[1]

La formulación matemática del problema es buscar minimizadores del funcional de energía de Dirichlet ,

${\displaystyle \displaystyle J=\int _{D}|\nabla u|^{2}\mathrm {d} x}$

en algunos dominios donde las funciones representan el desplazamiento vertical de la membrana. Además de satisfacer las condiciones de contorno de Dirichlet correspondientes al límite fijo de la membrana, las funciones también están obligadas a ser mayores que alguna función de obstáculo determinada . La solución se divide en una región donde la solución es igual a la función del obstáculo, conocida como conjunto de contactos, y una región donde la solución está por encima del obstáculo. La interfaz entre las dos regiones es la frontera libre. ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \phi (x)}$

En general, la solución es continua y posee primeras derivadas continuas de Lipschitz , pero la solución es generalmente discontinua en las segundas derivadas a través del límite libre. El límite libre se caracteriza como una superficie continua de Hölder excepto en ciertos puntos singulares, que residen en una variedad suave.

nota historica

Qualche tempo dopo Stampacchia, partendo siempre desde su disequazione variazionale, aperse un nuevo campo di ricerche che si rivelò importante e fecondo. Si tratta di quello che oggi è chiamato il problema dell'ostacolo . ^[2]

—  Sandro Faedo , (Faedo 1986, p. 107)

Problemas motivadores

Forma de una membrana sobre un obstáculo.

El problema de los obstáculos surge cuando se considera la forma que adopta una película de jabón en un dominio cuya posición límite es fija (ver el problema de Plateau ), con la restricción adicional de que la membrana también está obligada a quedar por encima de algún obstáculo en el interior del dominio. . ^[3] En este caso, la energía funcional a minimizar es la integral de área de superficie, o ${\displaystyle \phi (x)}$

${\displaystyle \displaystyle J(u)=\int _{D}{\sqrt {1+|\nabla u|^{2}}}\,\mathrm {d} x.}$

Este problema se puede linealizar en el caso de pequeñas perturbaciones expandiendo la energía funcional en términos de su serie de Taylor y tomando solo el primer término, en cuyo caso la energía a minimizar es la energía estándar de Dirichlet.

${\displaystyle \displaystyle J(u)=\int _{D}|\nabla u|^{2}\mathrm {d} x.}$

Parada óptima

El problema de los obstáculos también surge en la teoría del control , específicamente la cuestión de encontrar el tiempo de parada óptimo para un proceso estocástico con función de pago . ${\displaystyle \phi (x)}$

En el caso simple en el que el proceso es movimiento browniano y se fuerza a detenerse al salir del dominio, la solución del problema del obstáculo se puede caracterizar como el valor esperado del pago, iniciando el proceso en , si la estrategia de parada óptima es seguido. El criterio de parada es simplemente que uno debe detenerse al alcanzar el conjunto de contactos . ^[4] ${\displaystyle u(x)}$ ${\displaystyle x}$

Declaración formal

Supongamos que se dan los siguientes datos:

1. un dominio acotado abierto con límite suave ${\displaystyle D\in \mathbb {R} ^{n}}$
2. una función suave en (el límite de ) ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \partial D}$ ${\displaystyle D}$
3. una función suave definida en todos de tal manera que , es decir, la restricción de al límite de (su traza ) es menor que . ${\displaystyle \varphi (x)}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \varphi |_{\partial D}<f}$ ${\displaystyle \varphi (x)}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle f}$

Consideremos entonces el conjunto

${\displaystyle \displaystyle K=\left\{u(x)\in H^{1}(D):u|_{\partial D}=f(x){\text{ and }}u\geq \varphi \right\},}$

que es un subconjunto convexo cerrado del espacio de Sobolev de funciones cuadradas integrables con primeras derivadas débiles cuadradas integrables , que contiene precisamente aquellas funciones con las condiciones de contorno deseadas que también están por encima del obstáculo. La solución al problema del obstáculo es la función que minimiza la integral de energía.

${\displaystyle \displaystyle J(u)=\int _{D}|\nabla u|^{2}\mathrm {d} x}$

sobre todas las funciones pertenecientes a ; la existencia de tal minimizador está asegurada por consideraciones de la teoría espacial de Hilbert . ^{[3] [5]} ${\displaystyle u(x)}$ ${\displaystyle K}$

Formulaciones alternativas

Desigualdad variacional

El problema de los obstáculos puede reformularse como un problema estándar en la teoría de desigualdades variacionales en espacios de Hilbert . Buscar el minimizador de energía en el conjunto de funciones adecuadas equivale a buscar ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \displaystyle u\in K}$ tal que ${\displaystyle \int _{D}\langle {\nabla u},{\nabla (v-u)}\rangle \mathrm {d} x\geq 0\qquad \forall v\in K,}$

¿Dónde está el producto escalar ordinario en el espacio vectorial real de dimensión finita ? Este es un caso especial de la forma más general de desigualdades variacionales en espacios de Hilbert, cuyas soluciones son funciones en algún subconjunto convexo cerrado del espacio general, tal que ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \displaystyle a(u,v-u)\geq f(v-u)\qquad \forall v\in K.\,}$

para formas bilineales acotadas , coercitivas , de valor real y funcionales lineales acotados . ^[6] ${\displaystyle a(u,v)}$ ${\displaystyle f(v)}$

Función menos superarmónica

Un argumento variacional muestra que, fuera del conjunto de contactos, la solución al problema del obstáculo es armónica. Un argumento similar que se limita a variaciones positivas muestra que la solución es superarmónica en el conjunto de contactos. Juntos, los dos argumentos implican que la solución es una función superarmónica. ^[1]

De hecho, una aplicación del principio del máximo muestra que la solución al problema del obstáculo es la función menos superarmónica del conjunto de funciones admisibles. ^[6]

Propiedades de regularidad

Solución de un problema de obstáculos unidimensional. Observe cómo la solución permanece superarmónica (cóncava hacia abajo en 1-D) y relaciona las derivadas con el obstáculo (que es la condición) ${\displaystyle C^{1,1}}$

Regularidad óptima

La solución al problema del obstáculo tiene regularidad, o segundas derivadas acotadas , cuando el obstáculo en sí tiene estas propiedades. ^[7] Más precisamente, el módulo de continuidad de la solución y el módulo de continuidad de su derivada están relacionados con los del obstáculo. ${\displaystyle C^{1,1}}$

1. Si el obstáculo tiene módulo de continuidad , es decir que , entonces la solución tiene módulo de continuidad dado por , donde la constante depende sólo del dominio y no del obstáculo. ${\displaystyle \phi (x)}$ ${\displaystyle \sigma (r)}$ ${\displaystyle |\phi (x)-\phi (y)|\leq \sigma (|x-y|)}$ ${\displaystyle u(x)}$ ${\displaystyle C\sigma (2r)}$
2. Si la primera derivada del obstáculo tiene un módulo de continuidad , entonces la primera derivada de la solución tiene un módulo de continuidad dado por , donde la constante nuevamente depende solo del dominio. ^[8] ${\displaystyle \sigma (r)}$ ${\displaystyle Cr\sigma (2r)}$

Superficies niveladas y límite libre.

Sujeto a una condición de degeneración, los niveles establecen la diferencia entre la solución y el obstáculo, pues son superficies. El límite libre, que es el límite del conjunto donde la solución encuentra el obstáculo, también lo es en un conjunto de puntos singulares, que a su vez están aislados o contenidos localmente en una variedad. ^[9] ${\displaystyle \{x:u(x)-\phi (x)=t\}}$ ${\displaystyle t>0}$ ${\displaystyle C^{1,\alpha }}$ ${\displaystyle C^{1,\alpha }}$ ${\displaystyle C^{1}}$

Generalizaciones

La teoría del problema del obstáculo se extiende a otros operadores de divergencia uniformemente elípticos , ^[6] y sus funcionales de energía asociados. También se puede generalizar a operadores elípticos degenerados.

También es de interés el problema del doble obstáculo, en el que la función está obligada a estar por encima de una función de obstáculo y por debajo de otra.

El problema de Signorini es una variante del problema del obstáculo, donde la energía funcional se minimiza sujeta a una restricción que solo vive en una superficie de una dimensión menor, que incluye el problema del obstáculo límite , donde la restricción opera en el límite del dominio.

Los casos parabólicos , dependientes del tiempo, del problema de obstáculos y sus variantes también son objeto de estudio.

Ver también

• Superficie mínima
• Desigualdad variacional
• problema de signorini

Notas

1. Véase Caffarelli 1998, p. 384.
2. "Algún tiempo después, Stampacchia, partiendo nuevamente de su desigualdad variacional, abrió un nuevo campo de investigación, que se reveló importante y fructífero. Se trata del ahora llamado problema de los obstáculos " (traducción al inglés). El énfasis en cursiva se debe al propio autor.
3. Véase Caffarelli 1998, p. 383.
4. Véanse las notas de la conferencia de Evans, págs. 110-114).
5. Véase Kinderlehrer y Stampacchia 1980, págs. 40-41.
6. Véase Kinderlehrer y Stampacchia 1980, págs.
7. Véase Frehse 1972.
8. Véase Caffarelli 1998, p. 386.
9. Véase Caffarelli 1998, págs.394 y 397.

Referencias históricas

• Faedo, Sandro (1986), "Leonida Tonelli e la scuola matematica pisana", en Montalenti, G.; Amerio, L .; Acquaro, G.; Baiada, E.; et al. (eds.), Convegno celebrativo del centenario della nascita di Mauro Picone e Leonida Tonelli (6–9 de mayo de 1985), Atti dei Convegni Lincei (en italiano), vol. 77, Roma: Accademia Nazionale dei Lincei , págs. 89-109, archivado desde el original el 23 de febrero de 2011 , consultado el 12 de febrero de 2013. " Leonida Tonelli y la escuela matemática de Pisa " es un recorrido por la obra de Tonelli en Pisa y su influencia en el desarrollo de la escuela, presentado en el congreso internacional con motivo de la celebración del centenario del nacimiento de Mauro Picone y Leonida Tonelli. (celebrada en Roma del 6 al 9 de mayo de 1985). El autor fue uno de sus alumnos y, después de su muerte, ocupó su cátedra de análisis matemático en la Universidad de Pisa , convirtiéndose en decano de la facultad de ciencias y luego rector: ejerció una fuerte influencia positiva en el desarrollo de la universidad.

Referencias

• Caffarelli, Luis (julio de 1998), "El problema de los obstáculos revisitado", The Journal of Fourier Analysis and Applications , 4 (4–5): 383–402, doi :10.1007/BF02498216, MR  1658612, S2CID  123431389, Zbl  0928.49030
• Evans, Lawrence , Introducción a las ecuaciones diferenciales estocásticas (PDF) , p. 130 , consultado el 11 de julio de 2011.. Un conjunto de apuntes que examinan " sin demasiados detalles precisos, la teoría básica de la probabilidad, las ecuaciones diferenciales aleatorias y algunas aplicaciones ", como afirma el propio autor.
• Frehse, Jens (1972), "Sobre la regularidad de la solución de una desigualdad variacional de segundo orden", Bolletino della Unione Matematica Italiana , Serie IV, vol. 6, págs. 312–315, SEÑOR  0318650, Zbl  0261.49021.
• Friedman, Avner (1982), Principios variacionales y problemas de límites libres , Matemáticas puras y aplicadas, Nueva York: John Wiley & Sons , págs. ix+710, ISBN 0-471-86849-3, SEÑOR  0679313, Zbl  0564.49002.
• Kinderlehrer, David ; Stampacchia, Guido (1980), Introducción a las desigualdades variacionales y sus aplicaciones , Matemática pura y aplicada, vol. 88, Nueva York: Academic Press , págs. xiv+313, ISBN 0-12-407350-6, SEÑOR  0567696, Zbl  0457.35001
• Petrosyan, Arshak; Shahgholian, Henrik; Uraltseva, Nina (2012), Regularidad de límites libres en problemas de tipo obstáculo. Estudios de Posgrado en Matemáticas , Sociedad Estadounidense de Matemáticas, Providence, RI, ISBN 978-0-8218-8794-3

enlaces externos

• Caffarelli, Luis (agosto de 1998), The Obstacle Problem (PDF) , borrador de las Conferencias Fermi, p. 45 , consultado el 11 de julio de 2011., pronunciado por el autor en la Scuola Normale Superiore en 1998.