Entonces se llama elíptica si para cada x en y cada distinto de cero en R n ,
En muchas aplicaciones, esta condición no es lo suficientemente fuerte y, en su lugar, se puede imponer una condición de elipticidad uniforme para operadores de orden m = 2 k :
es un operador uniformemente elíptico. El operador de Laplace ocurre frecuentemente en electrostática. Si ρ es la densidad de carga dentro de alguna región Ω, el potencial Φ debe satisfacer la ecuación
Ejemplo 2
Dada una función matricial A ( x ) que es simétrica y definida positiva para cada x , que tiene componentes a ij , el operador
es elíptico. Esta es la forma más general de un operador diferencial elíptico lineal en forma de divergencia de segundo orden. El operador de Laplace se obtiene tomando A = I. Estos operadores también ocurren en electrostática en medios polarizados.
Ejemplo 3
Para p un número no negativo, el p-Laplaciano es un operador elíptico no lineal definido por
para alguna constante B . La velocidad de una capa de hielo en estado estacionario resolverá el sistema elíptico no lineal
donde ρ es la densidad del hielo, g es el vector de aceleración gravitacional, p es la presión y Q es un término de fuerza.
Teorema de regularidad elíptica
Sea L un operador elíptico de orden 2 k con coeficientes que tienen 2 k derivadas continuas. El problema de Dirichlet para L es encontrar una función u , dada una función f y algunos valores límite apropiados, tales que Lu = f y que u tenga los valores límite apropiados y las derivadas normales. La teoría de la existencia de operadores elípticos, utilizando la desigualdad de Gårding y el lema de Lax-Milgram , solo garantiza que existe una solución débil u en el espacio de Sobolev H k .
En última instancia, esta situación es insatisfactoria, ya que la solución débil u podría no tener suficientes derivadas para que la expresión Lu esté bien definida en el sentido clásico.
El teorema de regularidad elíptica garantiza que, siempre que f sea integrable al cuadrado, u tendrá de hecho 2k derivadas débiles integrables al cuadrado. En particular, si f es infinitamente diferenciable, entonces u también lo es .
Cualquier operador diferencial que exhiba esta propiedad se denomina operador hipoelíptico ; por tanto, todo operador elíptico es hipoelíptico. La propiedad también significa que cada solución fundamental de un operador elíptico es infinitamente diferenciable en cualquier vecindad que no contenga 0.
Como aplicación, supongamos que una función satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann . Dado que las ecuaciones de Cauchy-Riemann forman un operador elíptico, se deduce que es suave.
Definición general
Sea un operador diferencial (posiblemente no lineal) entre paquetes de vectores de cualquier rango. Tome su símbolo principal con respecto a una forma única . (Básicamente, lo que estamos haciendo es reemplazar las derivadas covariantes de orden más alto por campos vectoriales ).
Decimos que es débilmente elíptica si es un isomorfismo lineal para todo distinto de cero .
Decimos que es (uniformemente) fuertemente elíptica si para alguna constante ,
para todos y todas . Es importante señalar que la definición de elipticidad en la parte anterior del artículo es elipticidad fuerte . Aquí hay un producto interno. Observe que son campos covectoriales o formas unitarias, pero son elementos del paquete de vectores sobre el que actúa.
El ejemplo por excelencia de un operador (fuertemente) elíptico es el laplaciano (o su negativo, según la convención). No es difícil ver que es necesario que el orden sea uniforme para que una elipticidad fuerte sea siquiera una opción. De lo contrario, considere enchufar ambos y su negativo. Por otro lado, un operador de primer orden débilmente elíptico, como el operador de Dirac , puede elevarse al cuadrado para convertirse en un operador fuertemente elíptico, como el laplaciano. La composición de operadores débilmente elípticos es débilmente elíptica.
^ Tenga en cuenta que esto a veces se denomina elipticidad estricta , y se utiliza elipticidad uniforme para significar que también existe un límite superior en el símbolo del operador. Es importante comprobar las definiciones que utiliza el autor, ya que las convenciones pueden diferir. Véase, por ejemplo, Evans, Capítulo 6, para un uso de la primera definición, y Gilbarg y Trudinger, Capítulo 3, para un uso de la segunda.
Referencias
Evans, LC (2010) [1998], Ecuaciones diferenciales parciales , Estudios de Posgrado en Matemáticas , vol. 19 (2ª ed.), Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense , ISBN 978-0-8218-4974-3, señor 2597943 Reseña: Rauch, J. (2000). "Ecuaciones diferenciales parciales, de LC Evans" (PDF) . Revista de la Sociedad Matemática Estadounidense . 37 (3): 363–367. doi : 10.1090/s0273-0979-00-00868-5 .
Gilbarg, D.; Trudinger, NS (1983) [1977], Ecuaciones diferenciales parciales elípticas de segundo orden, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 224 (2ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-13025-3, señor 0737190