Teorema de Gauss-Lucas

Relación geométrica entre las raíces de un polinomio y las de su derivada

En análisis complejo , una rama de las matemáticas, el teorema de Gauss-Lucas da una relación geométrica entre las raíces de un polinomio P y las raíces de su derivada P' . El conjunto de raíces de un polinomio real o complejo es un conjunto de puntos en el plano complejo . El teorema establece que todas las raíces de P' se encuentran dentro de la cáscara convexa de las raíces de P , es decir, el polígono convexo más pequeño que contiene las raíces de P. Cuando P tiene una sola raíz, entonces esta cáscara convexa es un punto único y cuando las raíces se encuentran en una línea, entonces la cáscara convexa es un segmento de esta línea. El teorema de Gauss-Lucas, que lleva el nombre de Carl Friedrich Gauss y Félix Lucas, es similar en espíritu al teorema de Rolle .

Ilustración del teorema de Gauss-Lucas, que muestra la evolución de las raíces de las derivadas de un polinomio.

Declaración formal

Si P es un polinomio ( no constante) con coeficientes complejos, todos los ceros de P' pertenecen a la capa convexa del conjunto de ceros de  P. ^[1]

Casos especiales

Es fácil ver que si es un polinomio de segundo grado , el cero de es el promedio de las raíces de P. En ese caso, la cáscara convexa es el segmento de recta con las dos raíces como puntos finales y está claro que el promedio de las raíces es el punto medio del segmento. ${\displaystyle P(x)=ax^{2}+bx+c}$ ${\displaystyle P'(x)=2ax+b}$

Para un polinomio complejo de tercer grado P ( función cúbica ) con tres ceros distintos, el teorema de Marden establece que los ceros de P' son los focos de la inelipse de Steiner , que es la única elipse tangente a los puntos medios del triángulo formado por los ceros de P. .

Para un polinomio complejo de cuarto grado P ( función cuártica ) con cuatro ceros distintos que forman un cuadrilátero cóncavo , uno de los ceros de P se encuentra dentro del casco convexo de los otros tres; los tres ceros de P' se encuentran en dos de los tres triángulos formados por el cero interior de P y otros dos ceros de P . ^[2]

Además, si un polinomio de grado n de coeficientes reales tiene n ceros reales distintos vemos, usando el teorema de Rolle , que los ceros del polinomio derivado están en el intervalo que es la cáscara convexa del conjunto de raíces. ${\displaystyle x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{n},}$ ${\displaystyle [x_{1},x_{n}]}$

La cáscara convexa de las raíces del polinomio.

${\displaystyle p_{n}x^{n}+p_{n-1}x^{n-1}+\cdots +p_{0}}$

incluye particularmente el punto

${\displaystyle -{\frac {p_{n-1}}{n\cdot p_{n}}}.}$

Prueba

Prueba

Según el teorema fundamental del álgebra , es un producto de factores lineales como ${\displaystyle P}$

${\displaystyle P(z)=\alpha \prod _{i=1}^{n}(z-a_{i})}$

donde los números complejos son los ceros (no necesariamente distintos) del polinomio P , el número complejo α es el coeficiente principal de P y n es el grado de P. ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}}$

Para cualquier raíz de , si también es raíz de , entonces el teorema es trivialmente cierto. De lo contrario, tenemos para la derivada logarítmica ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle P'}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle 0={\frac {P^{\prime }(z)}{P(z)}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{z-a_{i}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {{\overline {z}}-{\overline {a_{i}}}}{|z-a_{i}|^{2}}}.}$

Por eso

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {\overline {z}}{|z-a_{i}|^{2}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\overline {a_{i}}}{|z-a_{i}|^{2}}}}$.

Tomando sus conjugados y dividiendo obtenemos como suma convexa las raíces de : ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle z=\sum _{i=1}^{n}{\frac {|z-a_{i}|^{-2}}{\sum _{j=1}^{n}|z-a_{j}|^{-2}}}a_{i}}$

Ver también

• teorema de marden
• teorema de bocher
• La conjetura de Sendov.
• Teorema de Routh-Hurwitz
• Teorema de Hurwitz (análisis complejo)
• La regla de los signos de Descartes
• Teorema de Rouché
• Propiedades de las raíces polinómicas
• Teorema de entrelazado de Cauchy

Notas

1. Marden 1966, Teorema (6,1).
2. Rüdinger, A. (2014). "Fortalecimiento del teorema de Gauss-Lucas para polinomios con ceros en el interior del casco convexo". Preimpresión . arXiv : 1405.0689 . Código Bib : 2014arXiv1405.0689R.

Referencias

• Lucas, Félix (1874). "Propriétés géométriques des fracciones rationnelles". CR Acad. Ciencia. París . 77 : 431–433.
• Lucas, Félix (1879). "Sobre una aplicación de la Mécanique rationelle à la théorie des équations". CR Hebd. Sesiones Acad. Ciencia. LXXXIX : 224–226..
• Marden, Morris (1966). Geometría de Polinomios . Encuestas y monografías matemáticas. vol. 3 (2ª ed.). Sociedad Estadounidense de Matemáticas, Providence, RI.
• Craig Smorynski: MVT: un teorema más valioso . Springer, 2017, ISBN 978-3-319-52956-1, págs. 411–414

enlaces externos

• "Teorema de Gauss-Lucas". Enciclopedia de Matemáticas . Prensa EMS . 2001 [1994].
• Teorema de Lucas-Gauss de Bruce Torrence, Proyecto de demostraciones de Wolfram .
• Teorema de Gauss-Lucas - ilustración interactiva