Análisis numérico
Se distingue del cómputo simbólico en que no manipula expresiones algebraicas, sino números.
El análisis numérico cobra especial importancia con la llegada de los ordenadores.
Desde este punto de vista, el análisis numérico proporcionará todo el andamiaje necesario para llevar a cabo todos aquellos procedimientos matemáticos susceptibles de expresarse algorítmicamente, basándose en algoritmos que permitan su simulación o cálculo en procesos más sencillos empleando números.
Por ejemplo, para la representación en ordenadores de números reales, se emplea el concepto de coma flotante que dista mucho del empleado por la matemática convencional.
En general, estos métodos se aplican cuando se necesita un valor numérico como solución a un problema matemático, y los procedimientos «exactos» o «analíticos» (manipulaciones algebraicas, teoría de ecuaciones diferenciales, métodos de integración, etc.) son incapaces de dar una respuesta.
Desde mediados del siglo XX, los ordenadores calculan las funciones necesarias en su lugar, pero muchas de las mismas fórmulas siguen utilizándose, no obstante, como parte de los algoritmos del software.
[5] El punto de vista numérico se remonta a los primeros escritos matemáticos.
El objetivo general del campo del análisis numérico es el diseño y análisis de técnicas para dar soluciones aproximadas pero precisas a problemas difíciles, cuya variedad se sugiere en lo siguiente: El resto de esta sección esboza varios temas importantes del análisis numérico.
El campo del análisis numérico es anterior a la invención de los ordenadores modernos en muchos siglos.
La interpolación lineal ya se utilizaba hace más de 2000 años.
Con estas tablas, a menudo calculadas con 16 decimales o más para algunas funciones, se podían buscar valores para introducirlos en las fórmulas dadas y conseguir muy buenas estimaciones numéricas de algunas funciones.
El algoritmo podría devolver cualquier número en ese rango con un error inferior a 0,2.
Estos métodos darían la respuesta precisa si se realizaran en Aritmética de precisión infinita.
En la práctica, se utiliza precisión finita y el resultado es una aproximación de la solución verdadera (asumiendo estabilidad).
Partiendo de una conjetura inicial, los métodos iterativos forman aproximaciones sucesivas que convergen a la solución exacta solo en el límite.
En el álgebra matricial computacional, los métodos iterativos son generalmente necesarios para problemas grandes.
Para estos métodos el número de pasos necesarios para obtener la solución exacta es tan grande que se acepta una aproximación de la misma manera que para un método iterativo.
La extrapolación es muy similar a la interpolación, excepto que ahora queremos encontrar el valor de la función desconocida en un punto que no está comprendido entre los puntos dados.
Por ejemplo, el análisis de componentes principales utiliza la descomposición en vectores y valores propios.
Los problemas de optimización buscan el punto para el cual una función dada alcanza su máximo o mínimo.
Estas poseen algunas propiedades que causan fallas al emplearlas para hallar la solución numérica de problemas matemáticos, entre las que se encuentran las siguientes:[10] Las fallas en los cálculos intermedios realizados por una computadora para arrojar un resultado final son, con frecuencia, desconocidos para los programadores y muy difíciles de detectar: la suma y el producto de números de punto flotante son operaciones conmutativas, pero no son asociativas y tampoco distributivas.
Afortunadamente, existen algunas técnicas para prevenir y atacar el error de redondeo.
El interés en asegurar cierto nivel de precisión en los resultados numéricos provistos una computadora se debe a sus posibles repercusiones en la práctica.
Esto puede hacer que las gráficas asociadas a valores numéricos menores al épsilon presenten falsos comportamientos y afectar la toma de decisiones basadas en ellas, con consecuencias insospechadas, por ejemplo, al realizar pronósticos, área en la que la precisión juega un papel crucial.
