[1] Un sistema de ecuaciones se resuelve por el método de Gauss cuando se obtienen sus soluciones mediante la reducción del sistema dado a otro equivalente en el que cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior.
Por ejemplo, en la siguiente secuencia de operaciones de fila (donde dos operaciones elementales en filas diferentes se realizan en el primer y tercer paso), la tercera y cuarta matrices son las que están en forma escalonada, y la matriz final es la única forma escalonada reducida.
Algunos casos especiales del método -aunque presentados sin demostración- ya eran conocidos por los matemáticos chinos en torno al año 179 de nuestra era.
La primera referencia al libro por este título data del 179 DC, pero algunas de sus partes fueron escritas tan pronto como alrededor del 150 a. C.,[3][4] en este año fue señalado por Liu Hui en el siglo III.
La segunda parte (a veces llamada sustitución hacia atrás) continúa utilizando operaciones de fila hasta que se encuentra la solución; en otras palabras, pone la matriz en forma escalonada reducida.
El objetivo es reducir el sistema a otro equivalente, que tenga las mismas soluciones.
Las operaciones (llamadas elementales) son estas: Estas operaciones pueden representarse con matrices elementales que se usan también en otros procedimientos como la factorización LU o la diagonalización por congruencia de una matriz simétrica.
Si el sistema fuera incompatible, entonces nos encontraríamos con una fila como esta: Que representa la ecuación:
Además, cumpliendo estas otras condiciones que detallaremos a continuación, decimos que la matriz se encuentra en la forma escalonada reducida por filas, o simplemente en forma escalonada reducida.
Cuando una matriz representa a un sistema de ecuaciones situaciones como tener una columna de ceros parece imposible ya que correspondería a una variable que nunca habría aparecido.
Una vez que la matriz del sistema se ha transformado hasta obtener una matriz escalonada reducida es muy fácil discutirlo (es decir, determinar cuántas soluciones tiene): Es posible usar la eliminación gaussiana para encontrar inversas de matrices n × n. Para ello se aumenta la matriz dada, digamos A con una matriz identidad, simplemente escribiendo las filas de la identidad a continuación de las de nuestra matriz A, por ejemplo dada: se construiría y ahora se realizan las operaciones elementales sobre las filas de la matriz aumentada que sean necesarias para obtener la forma escalonada reducida de la matriz A; sumando tanto a la segunda como a la tercera fila la primera obtenemos multiplicamos a la segunda fila por -1 y la intercambiamos con la primera ya tenemos el pivote de la primera fila que usamos para hacer ceros debajo ahora usamos el pivote de la segunda fila y por último cambiamos de signo la tercera fila y usamos el pivote correspondiente El proceso ha finalizado porque en la parte izquierda tenemos la forma escalonada reducida de A y puesto que ésta es la matriz identidad, entonces A tiene inversa y su inversa es la matriz que aparece a la derecha, en el lugar que al principio ocupaba la identidad.