Factorización LU

En el álgebra lineal, la factorización o descomposición LU (del inglés Lower-Upper) es una forma de factorización de una matriz como el producto de una matriz triangular inferior y una superior.Debido a la inestabilidad de este método, deben tenerse en cuenta algunos casos especiales, por ejemplo, si uno o varios elementos de la diagonal principal de la matriz a factorizar es cero, es necesario premultiplicar la matriz por una o varias matrices elementales de permutación.Existe un segundo método llamado factorizaciónEsta descomposición se usa en el análisis numérico para resolver sistemas de ecuaciones (más eficientemente) o encontrar las matrices inversas.son matrices inferiores y superiores triangulares respectivamente.Por otro lado la descomposición PLU tiene esta forma:Esto se debe a queRecordando que las matrices de permutación.La matriz permutación es invertible y su inversa es su traspuesta Las matricesson invertibles por tener el determinante distinto de cero entonces:es una matriz triangular inferior, con unos en la diagonal yLa única matriz que cumple estas dos propiedades es la identidad.es básicamente una forma modificada de la eliminación gaussiana.anulando los elementos debajo de la diagonal.son matrices elementales, que representan los distintos pasos de la eliminación.Luego recordando que la inversa de una matriz elemental, es otra matriz elemental tenemos queLos pasos son los siguientes: Nótese que ya tenemos las matricesLa ventaja de este método es que es computacionalmente eficiente, porque podemos elegir el vector b que nos parezca y no tenemos que volver a hacer la eliminación de Gauss cada vez.Podemos entonces utilizar la misma técnica de pivotación : buscar el siguiente elemento en la columna que sea distinto de 0 o, mejor aún, el de mayor valor absoluto., si queremos aplicarla a resolver un sistema de ecuaciones, tendremos que tener en cuenta la “historia” o registro de las pivotaciones efectuadas para aplicar al vector de términos independientes.Esto se realiza mediante la matriz de permutación, que consiste en efectuar sobre la matriz identidad, las mismas permutaciones de filas que se vayan efectuando sobre la matriz que se está triangulando por Gauss.Al mismo tiempo se efectúan las mismas permutaciones sobre los elementos subdiagonal de la matriz L. Así, si tenemos, por ejemplo, el sistema:son las matrices obtenidas de la matrizPor tanto los procesos de sustitución descendente y ascendente los aplicamos a : Las matricespueden ser usadas para calcular la matriz inversa mediante:Algunas implementaciones que invierten matrices usan este método.pueden ser usadas para calcular el determinante de la matrizes una matriz triangular en cuya diagonal todos los elementos son uno, entonces:La misma aproximación al problema puede ser usada para factorizaciones LUP en las que aparece matrices de permutación, pues el determinante de una matriz de permutación