Matriz elemental

Una matriz elemental de orden n es una matriz que se obtiene a partir de la matriz identidadaplicando solo una operación elemental de fila o columna, i,e: Se puede probar fácilmente que el producto de una matriz cualquiera con una elemental por la izquierda equivale a realizar las operaciones elementales entre las filas de la matriz A.Es fácil ver que estas matrices tienen inversas (eventualmente, también elementales), y estas pueden ser calculadas de manera simple pensando en ellas como matrices A a las que se debe aplicar la operación "inversa".Por ejemplo, para el caso de una matriz obtenida por escalamiento:aQueremos que el elementoasea 1.aEn el caso de una matriz obtenida por eliminación:Queremos que el elementoSea la matriz A enn × m, si A es invertible (en cuyo caso m=n) la solución del sistemapor eliminación gaussiana sería:que se lleva a cabo mediante la aplicación de un conjunto finito de operaciones elementales de fila, es decir, mediante el producto a izquierda de la matriz original por matrices elementales, i,e: en donde cadaes una matriz elemental.Por tanto, dado que la inversa de una elemental, es elemental, toda matriz invertible puede escribirse como producto de tales matrices.Cabe notar la similitud de rol de estas matrices con los números primos.