En matemáticas, en particular en álgebra lineal, una matriz cuadradase dice que es invertible, no singular, no degenerada o regular si existe otra matriz cuadrada de orden, llamada matriz inversa dees la matriz identidad de ordenUna matriz cuadrada no invertible se dice que es singular o degenerada.Una matriz es singular si y sólo si su determinante es nulo.se caracteriza porque su multiplicación por la matriz columnaEl conjunto de estos vectores (y al subespacio vectorial formado por ellos) se llamará ker(de kernel, núcleo en alemán), para una matriz invertible keruna matriz de rango máximo donde, entendida como a la matriz de cofactores traspuesta.y se prueba que la inversa es única.Entonces al aplicar la función determinante se obtiene Utilizando la propiedad multiplicativa del determinante y sabiendo queel elemento ij de la matrizy, de nuevo por propiedades del determinante, sabemos que una matriz con dos filas iguales tiene determinante cero.De las dos ecuaciones anteriores podemos obtener dondeCalcular la matriz inversa en matrices de 2x2 puede ser muy sencillo.Se puede hacer de la siguiente manera:[6] Esto es posible siempre y cuando, es decir, el determinante de la matriz no es cero.Ejemplo numérico: Para matrices de órdenes superiores puede utilizarse la siguiente fórmula: DondeCuando la matriz tiene más de tres filas, esta fórmula es muy ineficiente y conduce a largos cálculos.Hay métodos alternativos para calcular la matriz inversa que son bastante más eficientes.El método de eliminación de Gauss-Jordan puede utilizarse para determinar si una determinada matriz es invertible y para encontrar su inversa.Una alternativa es la descomposición LU, que descompone una matriz dada como producto de dos matrices triangulares, una inferior y otra superior, mucho más fáciles de invertir.Utilizando el método de Gauss-Jordan se coloca a la izquierda la matriz dada y a la derecha la matriz identidad.Luego por medio del uso de pivotes se intenta formar en la izquierda la matriz identidad y la matriz que quede a la derecha será la matriz inversa a la dada.El conjunto de todas las matricesque admiten inversa es una representación lineal del grupo lineal de orden n, denotado comoEste grupo tiene importantes aplicaciones en álgebra y física.es un conjunto abierto (con la topología inducida de
Una interpretación espacial de una matriz invisible 3x3 es la de 3 planos secantes sólo en el origen. Las coordenadas de la matriz serían los coeficientes de las tres variables espaciales en una base dada.
