Integral múltiple

Una forma relativamente sencilla de definir las integrales múltiples es mediante su representación geométrica como la magnitud del espacio entre el objeto definido por la ecuaciónes igual a alguna integral doble, si es que, como se mencionó,subregiones rectangulares sin solapamiento que estén completamente contenidas enpara cada una de las m subregiones de la partición, se puede construir un espacio con una magnitud aproximada a la del espacio entre el objeto definido porEste espacio tendrá una magnitud de: Entonces se puede aproximar la magnitud del espacio entero situado entre el objeto definido por la ecuaciónEsto sugiere que se podría obtener la magnitud exacta tomando el límite.Al aumentar el número de subregiones disminuirá la norma de la partición: El significado riguroso de este último límite es que el límite es igual L si y solo si para todoEsto conduce a la definición formal de una integral múltiple: Sies integrable con respecto a T. Es común que se denote por Sison funciones continuas en una región cerrada y acotadaLa diferencia entre integrales múltiples e iteradas consiste en que una se refiere al concepto matemático de integral (aplicado a varias variables) y otra al procedimiento por el cual se resuelve la integral múltiple.Si l} se refiere a una integral iterada, la parte externa es la integral con respecto a x de la función de x: Una integral doble, en cambio está definida con respecto a un área en el plano xy.Esto se entiende fácilmente pensando que si la función o la región del dominio no están acotadas, la integral múltiple no puede existir.La notación se puede usar si se desea ser enfático al referirse a una integral doble y no a una iterada.entonces la integral doble calcula el área de la región, se denota pory está dada por mientras que si se la región de integraciónEn el caso de un dominio en el que exista simetría al menos respecto de uno de los ejes, y donde la función para integrar contenga al menos una función impar con respecto a esa variable, la integral se vuelve nula (ya que la suma de cantidades iguales con signo opuesto es cero).son funciones impares y existe simetría tanto con respecto al ejeEl cambio de una variable por otra es en un sentido geométrico, una transformación desde un espacio hasta otro, y es esta transformación la que exige estos ajustes.Si se utiliza una transformación que siga la relación: Entonces se puede utilizar el jacobiano de la transformación para simplificar la integral Integrando la función transformada en el dominio de integración correspondiente a las variables x, y multiplicando por el valor absoluto del determinante jacobiano y por la serie de diferenciales, se obtiene una integral múltiple que es igual a la integral original, si es que esta existe.A continuación se dan algunos ejemplos de estas transformaciones., si una región de integración tiene una simetría circular y la función tiene algunas características particulares entonces uno puede aplicar la transformación de coordenadas rectangulares a coordenadas polares, lo que significa que para cada punto genéricoLa relación para llevar a cabo esta transformación es la siguiente: esto es dondeUna vez transformada la función y la región de integración, es posible definir una fórmula para el cambio de variables en coordenadas polares: donde, la integración sobre regiones con base circular puede ser hecha transformando a coordenadas cilíndricas.La función se transforma mediante la siguiente relación: esto es conen cuyo caso tendríamos Considere la región utilizando la transformación obtenemos si, es posible utilizar una transformación hacia coordenadas esféricas para simplificar una integral triple.puede ser calculado con una integral triple utilizando coordenadas cilíndricas, si la regióndada por representa el cilindro entonces utilizando la transformación adecuada obtenemos la región