En matemáticas, y más especialmente en álgebra lineal y análisis funcional, el teorema de descomposición espectral, o más brevemente teorema espectral, expresa las condiciones bajo las cuales un operador o una matriz pueden ser diagonalizados (es decir, representadas como una matriz diagonal en alguna base).
Sea A: Con el producto interno estándar, usando notación de Dirac, la simetría del operador implica: para toda pareja de elementos
es igual a su conjugado y por tanto debe ser real.
Para ello, es suficiente demostrar que A tiene al menos un vector propio e distinto de cero.
Podemos considerar ahora el espacio K de vectores ortogonales a e.
Queda, sin embargo, por demostrar que A tenga al menos un vector propio.
Teniendo en cuenta que, por el Teorema fundamental del álgebra los números complejos son un cuerpo algebraicamente cerrado, la función polinómica p(x) = det(A-xI) tiene por lo menos una raíz r. Esto implica que el operador A-rI no es una matriz invertible y por tanto, mapea un vector e distinto de cero a 0.
El teorema espectral es también válido para operadores simétricos en espacios de dimensión finita con producto interior real.
La descomposición espectral de un operador A que tiene una base ortonormal de vectores propios, se obtiene agrupando todos los vectores que corresponden al mismo valor propio.
Esto es Estos espacios están definidos invariablemente, no se requiere ninguna elección de valores propios concretos.
Cualquier matriz que se pueda diagonalizar de esta forma debe ser normal.
Si A es una matriz real simétrica, se sigue por la versión real del teorema espectral para operadores simétricos que existe una matriz ortogonal tal que, UAU* es diagonal y todos los valores propios de A son reales.
En un espacio de Hilbert general, la afirmación del teorema espectral para operadores compactos y autoadjunto es virtualmente idéntica a lo que se tiene en espacios de dimensión finita: Supóngase que
Como sucede para matrices hermíticas, el punto clave es demostrar la existencia de al menos un autovector no nulo.
La forma anterior del teorema espectral es válida para cualquier espacio de Hilbert real o complejo.
Este caso generaliza al anterior, e involucra un operador autoadjunto acotado definido sobre un espacio de Hilbert.
Estos operadores a diferencia de los compactos pueden no tener ningún autovalor: por ejemplo sea
tal que: Este teorema fue el resultado clave que da lugar a área de investigación del análisis funcional, llamada teoría de operadores (ver también medida espectral).
No existe un análogo general del teorema espectral para operadores normales acotados.
Una formulación alternativa del teorema espectral expresa que el operador
Si el operador normal en cuestión es compacto, esta versión del teorema espectral se reduce a algo similar al teorema espectral en dimensión finita, mencionado más arriba, excepto por el hecho de que el operador se expresará como una combinación finita o infinita numerable de proyecciones lineales, es decir, la medida consistirá sólo en "átomos" del espacio de medida.
Muchos operadores lineales que aparecen tanto en análisis matemático, como en ecuaciones diferenciales o mecánica cuántica, son no acotados.
Par dar un ejemplo, todo operadore diferencial de coeficientes constantes es unitariamente equivalente a un operador multiplicación.
En general, el teorema espectral para operadores autoadjuntos puede tomar muchas formas equivalenes.
, existe un operador unitario, aplica de manera isomórfica e isométrica el espacio
se representa como operador multiplicación El espacio de Hilbert
Es posible construir una descomposición única de este tipo, salvo por equivalencia unitaria, que se denomina representración espectral ordenada.