En matemáticas, especialmente en el análisis funcional, un álgebra de Banach, que lleva el nombre del matemático Stefan Banach, es un álgebra asociativa
Llamaremos a un álgebra de Banach real o compleja cuando es sobre el cuerpo de los números reales o complejos respectivamente.
el cual no es difícil ver que corresponde a un ideal de
Es importante tener en mente que no todo homomorfismo entre álgebras de Banach es continuo.
Un álgebra de Banach es llamada unitaria si posee un elemento neutro o unidad, esto es, existe
Sin embargo este no siempre es el caso, por ejemplo no es posible definir todas las funciones trigonométricas en un álgebra de Banach sin la existencia de la unidad.
Otro ejemplo común ocurre en el caso de las C*-álgebras, donde si
Supondremos en esta parte que el álgebra de Banach
{\displaystyle C_{0}(X):=\left\{f:X\rightarrow \mathbb {C} ,\,\,{\text{continuas que se anulan en el infinito}}\right\}}
se transforma en un álgebra de compleja mediante la operación puntual, estos es, dadas
Si se añade la condición de que el espacio
sea compacto, entonces la condición "anular en el infinito" desaparece, es decir,
se vuelve unitaria, cuya unidad corresponde a la función
en donde la norma del supremo se vuelve en el valor absoluto usual de los números complejos.
corresponde a la norma del espacio de Banach
entonces no resulta difícil ver que el álgebra de Banach
(puede ser extendido a un cuerpo normado completo e involutivo).
con excepción de la multiplicación puntual, para este caso dadas
Otra propiedad importante de la unidad corresponde a que ésta no puede ser un conmutador, es decir, para todo
Una forma de justificar esto corresponde a que los elementos
tienen el mismo espectro con excepción (no siempre) del
Los elementos que conmutan entre sí cumplen muchas propiedades como por ejemplo el Teorema del binomio
usualmente se escribe a este subconjunto de
Más aún, el espectro de todo elemento
es no vacío y satisface la fórmula del radio espectral:
no es invertible (el espectro nunca es vacío), por lo tanto necesariamente
, por lo tanto esta álgebra es naturalmente isomorfa a los números complejos
es entonces un anillo conmutativo con unidad, todo elemento no invertible de
, y a sus miembros "caracteres" (se pronuncia "kaɾak̚ˈtɛɾ", con acentuación en la e).
(funciones continuas a valores complejos en el espacio compacto