Función casi periódica

En matemáticas, una función casi periódica es, en términos generales, una función de un número real que se comporta como una función periódica dentro de cualquier nivel de precisión deseado, dados "casi períodos" convenientemente largos y bien distribuidos.El concepto fue estudiado primero por Harald Bohr y luego generalizado por Vyacheslav Stepanov, Hermann Weyl y Abram Samóilovich Bezikóvich, entre otros.La casi periodicidad es una propiedad de los sistemas dinámicos que parecen volver sobre sus trayectorias a través del espacio fásico, pero no exactamente.Un ejemplo sería un sistema planetario, con planetas en órbitas moviéndose con periodos orbitales que no son conmensurables (es decir, están definidos por un vector de período que no es proporcional a un espacio vectorial asociado a números enteros).Puede usarse un teorema de Kronecker de aproximación diofántica para demostrar que cualquier configuración particular que ha ocurrido una vez, se repetirá para una precisión dada: si se espera lo suficiente, puede observarse que todos los planetas regresan dentro de un segundo de arco a las posiciones en las que estuvieron alguna vez.Hay varias definiciones no equivalentes de funciones casi periódicas.Su interés estaba inicialmente centrado en las series de Dirichlet finitas.De hecho, al truncar la serie para la Función zeta de Riemann ζ (s) para hacerla finita, se obtienen sumas finitas de términos del tipo con s escrito como (σ + it) – la suma de su parte real σ y la parte imaginaria it .Ajustando σ, restringiendo así el análisis a una sola línea vertical en el plano complejo, puede interpretarse también como Tomar una suma finita de tales términos evita las dificultades de extensión analítica para la región σ < 1.Aquí las 'frecuencias' log  n no serán todas conmensurables (son tan linealmente independientes sobre los números racionales como los enteros n son multiplicativamente independientes, lo que se reduce a sus factorizaciones primarias).Con esta motivación inicial para considerar tipos de polinomios trigonométricos con frecuencias independientes, se aplicó el análisis matemático para estudiar el cierre de este conjunto de funciones básicas, con varias normas vectoriales.La teoría fue desarrollada usando otras normas por Besicovitch, Stepanov, Weyl, von Neumann, Turing, Bochner y otros en los años 1920 y 1930.Bohr (1925) definió las funciones uniformemente casi periódicas como el cierre de los polinomios trigonométricos con respecto a la norma del supremo (en funciones limitadas f en R).En otras palabras, una función f es uniformemente casi periódica si para cada ε> 0 existe una combinación lineal finita de ondas senoidales y cosenos que tiene una distancia menor que ε desde f con respecto a la norma uniforme.Contiene el espacio de Bohr con funciones casi periódicas.El espacio Wp de las funciones casi periódicas de Weyl (para p ≥ 1) fue introducido por Weyl (1927).Es el cierre de los polinomios trigonométricos bajo la seminorma Advertencia: hay funciones distintas de cero ƒ con ||ƒ||W,p = 0, como cualquier función limitada del soporte compacto, por lo que para obtener un espacio de Banach hay que tener un cociente por estas funciones.Es el cierre de los polinomios trigonométricos bajo la seminorma Advertencia: hay funciones distintas de cero ƒ with ||ƒ||B,p = 0, como cualquier función limitada del soporte compacto, por lo que para obtener un espacio de Banach hay que tener un cociente por estas funciones.Las funciones casi periódicas de Besicovitch en B2 tienen una expansión (no necesariamente convergente) como con Σa2n finito y λn real.El espacio Bp de Besicovitch tiene funciones casi periódicas (para p ≥ 1) contiene el espacio Wp de las funciones casi periódicas de Weyl.La idea general de la casi periodicidad en relación con un dualidad de Pontryagin G se convierte en la función F en L∞ (G), de modo que se traduce por G en la formación de un conjunto relativamente compacto.La compactación de Bohr de G es el grupo abeliano compacto de todos los caracteres posiblemente discontinuos del grupo dual de G, y es un grupo compacto que contiene G como un subgrupo denso.Para grupos conexos localmente compactos G, el mapa de G respecto a su compactación de Bohr es inyectivo si y solo si G es una extensión central de un grupo compacto, o el producto equivalente de un grupo compacto y un espacio vectorial de dimensión finita.En procesamiento digital de voz, procesamiento digital de audio y música sintética, una señal cuasiperiódica, a veces llamada cuasiharmónica, es una forma de onda que es virtualmente periódica microscópicamente, pero no necesariamente periódica macroscópicamente.Esto no da un función cuasiperiódica en el sentido del artículo de Wikipedia de ese nombre, sino algo más parecido a una función casi periódica, siendo una función casi periódica en la que cualquier período es prácticamente idéntico a sus períodos adyacentes, pero no necesariamente similar a períodos mucho más lejanos en el tiempo.Este es el caso de los tonos musicales (después del ataque transitorio inicial) donde todos los parciales o sobretonos son armónicos (es decir, todos los sobretonos están en frecuencias que son un múltiplo entero de una frecuencia fundamental del tono).es la frecuencia fundamental posiblemente "variable en el tiempo" y los coeficientes de Fourier son y la fase instantánea para cada serie armónica es Mientras que en este caso cuasiperiódico, la frecuencia fundamental esson no necesariamente constantes, y son funciones del tiempo aunque "variando lentamente" las citadas funciones del tiempo.son casi armónicas pero no necesariamente exactamente así.