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Geometría

La geometría (del griego antiguo γεωμετρία ( geōmetría )  'medida de la tierra'; de γῆ ( gê )  'tierra, terreno' y μέτρον ( métron )  'una medida') [1] es una rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades del espacio, como la distancia, la forma, el tamaño y la posición relativa de las figuras. [2] La geometría es, junto con la aritmética , una de las ramas más antiguas de las matemáticas. Un matemático que trabaja en el campo de la geometría se llama geómetra . Hasta el siglo XIX, la geometría se dedicaba casi exclusivamente a la geometría euclidiana , [a] que incluye las nociones de punto , línea , plano , distancia , ángulo , superficie y curva , como conceptos fundamentales. [3]

Originalmente desarrollada para modelar el mundo físico, la geometría tiene aplicaciones en casi todas las ciencias, y también en el arte, la arquitectura y otras actividades relacionadas con los gráficos. [4] La geometría también tiene aplicaciones en áreas de las matemáticas que aparentemente no están relacionadas. Por ejemplo, los métodos de geometría algebraica son fundamentales en la prueba de Wiles del Último Teorema de Fermat , un problema que se planteó en términos de aritmética elemental y permaneció sin resolver durante varios siglos.

Durante el siglo XIX, varios descubrimientos ampliaron drásticamente el alcance de la geometría. Uno de los descubrimientos más antiguos es el Theorema Egregium ("teorema notable") de Carl Friedrich Gauss , que afirma aproximadamente que la curvatura gaussiana de una superficie es independiente de cualquier inserción específica en un espacio euclidiano . Esto implica que las superficies pueden estudiarse intrínsecamente , es decir, como espacios independientes, y se ha ampliado a la teoría de variedades y la geometría de Riemann . Más tarde, en el siglo XIX, pareció que se podían desarrollar geometrías sin el postulado de las paralelas ( geometrías no euclidianas ) sin introducir ninguna contradicción. La geometría que subyace a la relatividad general es una famosa aplicación de la geometría no euclidiana.

Desde finales del siglo XIX, el alcance de la geometría se ha ampliado enormemente y el campo se ha dividido en muchos subcampos que dependen de los métodos subyacentes ( geometría diferencial , geometría algebraica , geometría computacional , topología algebraica , geometría discreta (también conocida como geometría combinatoria ), etc.) o de las propiedades de los espacios euclidianos que se ignoran ( geometría proyectiva que solo considera la alineación de puntos pero no la distancia y el paralelismo, geometría afín que omite el concepto de ángulo y distancia, geometría finita que omite la continuidad y otras). Esta ampliación del alcance de la geometría condujo a un cambio de significado de la palabra "espacio", que originalmente se refería al espacio tridimensional del mundo físico y su modelo proporcionado por la geometría euclidiana; actualmente un espacio geométrico , o simplemente un espacio , es una estructura matemática en la que se define alguna geometría.

Historia

Un europeo y un árabe practicando geometría en el siglo XV

Los primeros registros de los inicios de la geometría se remontan a la antigua Mesopotamia y Egipto en el segundo milenio a. C. [5] [6] La geometría primitiva era una colección de principios descubiertos empíricamente sobre longitudes, ángulos, áreas y volúmenes, que se desarrollaron para satisfacer algunas necesidades prácticas en topografía , construcción , astronomía y diversas artesanías. Los primeros textos conocidos sobre geometría son el papiro egipcio Rhind (2000-1800 a. C.) y el papiro de Moscú ( c.  1890 a. C. ), y las tablillas de arcilla babilónicas , como Plimpton 322 (1900 a. C.). Por ejemplo, el papiro de Moscú proporciona una fórmula para calcular el volumen de una pirámide truncada o frustum . [7] Las tablillas de arcilla posteriores (350-50 a. C.) demuestran que los astrónomos babilónicos implementaron procedimientos trapezoidales para calcular la posición y el movimiento de Júpiter en el espacio de tiempo-velocidad. Estos procedimientos geométricos anticiparon las calculadoras de Oxford , incluido el teorema de velocidad media , en 14 siglos. [8] Al sur de Egipto, los antiguos nubios establecieron un sistema de geometría que incluía versiones tempranas de relojes solares. [9] [10]

En el siglo VII a. C., el matemático griego Tales de Mileto utilizó la geometría para resolver problemas como el cálculo de la altura de las pirámides y la distancia de los barcos a la costa. Se le atribuye el primer uso del razonamiento deductivo aplicado a la geometría, al derivar cuatro corolarios del teorema de Tales . [11] Pitágoras estableció la Escuela Pitagórica , a la que se le atribuye la primera prueba del teorema de Pitágoras , [12] aunque el enunciado del teorema tiene una larga historia. [13] [14] Eudoxo (408– c.  355 a. C. ) desarrolló el método de exhaución , que permitió el cálculo de áreas y volúmenes de figuras curvilíneas, [15] así como una teoría de proporciones que evitaba el problema de las magnitudes inconmensurables , lo que permitió a los geómetras posteriores realizar avances significativos. Alrededor del año 300 a. C., Euclides revolucionó la geometría con sus Elementos , considerado ampliamente el libro de texto más exitoso e influyente de todos los tiempos, [16] que introdujo el rigor matemático a través del método axiomático y es el primer ejemplo del formato que todavía se utiliza en matemáticas hoy en día, el de definición, axioma, teorema y demostración. Aunque la mayoría de los contenidos de los Elementos ya se conocían, Euclides los organizó en un único marco lógico coherente. [17] Los Elementos eran conocidos por todas las personas educadas de Occidente hasta mediados del siglo XX y sus contenidos todavía se enseñan en las clases de geometría en la actualidad. [18] Arquímedes ( c.  287–212 a. C. ) de Siracusa, Italia, utilizó el método de agotamiento para calcular el área bajo el arco de una parábola con la suma de una serie infinita , y dio aproximaciones notablemente precisas de pi . [19] También estudió la espiral que lleva su nombre y obtuvo fórmulas para los volúmenes de superficies de revolución .

Mujer enseñando geometría . Ilustración al comienzo de una traducción medieval de los Elementos de Euclides ( c.  1310 ).

Los matemáticos indios también hicieron importantes contribuciones a la geometría. El Shatapatha Brahmana (siglo III a. C.) contiene reglas para construcciones geométricas rituales similares a las de los Sulba Sutras . [20] Según (Hayashi 2005, p. 363), los Śulba Sūtras contienen "la expresión verbal existente más antigua del Teorema de Pitágoras en el mundo, aunque ya lo conocían los antiguos babilonios. Contienen listas de ternas pitagóricas , [b] que son casos particulares de ecuaciones diofánticas . [21] En el manuscrito Bakhshali , hay un puñado de problemas geométricos (incluidos problemas sobre volúmenes de sólidos irregulares). El manuscrito Bakhshali también "emplea un sistema de valor posicional decimal con un punto para el cero". [22] El Aryabhatiya (499) de Aryabhata incluye el cálculo de áreas y volúmenes. Brahmagupta escribió su obra astronómica Brāhmasphuṭasiddhānta en 628. El capítulo 12, que contiene 66 versos sánscritos , se dividió en dos secciones: "operaciones básicas" (incluido el cubo raíces, fracciones, razón y proporción, y trueque) y "matemáticas prácticas" (incluyendo mezclas, series matemáticas, figuras planas, apilamiento de ladrillos, aserrado de madera y apilamiento de grano). [23] En la última sección, enunció su famoso teorema sobre las diagonales de un cuadrilátero cíclico . El capítulo 12 también incluyó una fórmula para el área de un cuadrilátero cíclico (una generalización de la fórmula de Heron ), así como una descripción completa de los triángulos racionales ( es decir , triángulos con lados racionales y áreas racionales). [23]

En la Edad Media , las matemáticas en el Islam medieval contribuyeron al desarrollo de la geometría, especialmente la geometría algebraica . [24] [25] Al-Mahani (nacido en 853) concibió la idea de reducir problemas geométricos como la duplicación del cubo a problemas de álgebra. [26] Thābit ibn Qurra (conocido como Thebit en latín ) (836-901) se ocupó de las operaciones aritméticas aplicadas a proporciones de cantidades geométricas y contribuyó al desarrollo de la geometría analítica . [27] Omar Khayyam (1048-1131) encontró soluciones geométricas a ecuaciones cúbicas . [28] Los teoremas de Ibn al-Haytham (Alhazen), Omar Khayyam y Nasir al-Din al-Tusi sobre cuadriláteros , incluyendo el cuadrilátero de Lambert y el cuadrilátero de Saccheri , fueron parte de una línea de investigación sobre el postulado de las paralelas continuada por geómetras europeos posteriores, incluyendo Vitello ( c.  1230  - c.  1314 ), Gersonides (1288-1344), Alfonso, John Wallis y Giovanni Girolamo Saccheri , que en el siglo XIX condujeron al descubrimiento de la geometría hiperbólica . [29]

A principios del siglo XVII, hubo dos desarrollos importantes en la geometría. El primero fue la creación de la geometría analítica, o geometría con coordenadas y ecuaciones , por René Descartes (1596-1650) y Pierre de Fermat (1601-1665). [30] Esta fue una precursora necesaria para el desarrollo del cálculo y una ciencia cuantitativa precisa de la física . [31] El segundo desarrollo geométrico de este período fue el estudio sistemático de la geometría proyectiva por Girard Desargues (1591-1661). [32] La geometría proyectiva estudia las propiedades de las formas que no cambian bajo proyecciones y secciones , especialmente en lo que se relaciona con la perspectiva artística . [33]

Dos desarrollos en geometría en el siglo XIX cambiaron la forma en que se había estudiado previamente. [34] Estos fueron el descubrimiento de geometrías no euclidianas por Nikolai Ivanovich Lobachevsky, János Bolyai y Carl Friedrich Gauss y de la formulación de la simetría como la consideración central en el programa de Erlangen de Felix Klein (que generalizó las geometrías euclidianas y no euclidianas). Dos de los maestros geómetras de la época fueron Bernhard Riemann (1826-1866), trabajando principalmente con herramientas del análisis matemático e introduciendo la superficie de Riemann , y Henri Poincaré , el fundador de la topología algebraica y la teoría geométrica de sistemas dinámicos . Como consecuencia de estos grandes cambios en la concepción de la geometría, el concepto de " espacio " se convirtió en algo rico y variado, y el trasfondo natural para teorías tan diferentes como el análisis complejo y la mecánica clásica . [35]

Conceptos principales

Los siguientes son algunos de los conceptos más importantes en geometría. [3] [36]

Axiomas

Una ilustración del postulado de las paralelas de Euclides

Euclides adoptó un enfoque abstracto de la geometría en sus Elementos , [37] uno de los libros más influyentes jamás escritos. [38] Euclides introdujo ciertos axiomas o postulados que expresaban propiedades primarias o evidentes de puntos, líneas y planos. [39] Procedió a deducir rigurosamente otras propiedades mediante razonamiento matemático. El rasgo característico del enfoque de Euclides hacia la geometría fue su rigor, y ha llegado a conocerse como geometría axiomática o sintética . [40] A principios del siglo XIX, el descubrimiento de geometrías no euclidianas por Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1792-1856), János Bolyai (1802-1860), Carl Friedrich Gauss (1777-1855) y otros [41] condujo a un renacimiento del interés en esta disciplina, y en el siglo XX, David Hilbert (1862-1943) empleó el razonamiento axiomático en un intento de proporcionar una base moderna de la geometría. [42]

Espacios y subespacios

Agujas

Los puntos se consideran generalmente objetos fundamentales para la construcción de la geometría. Pueden definirse por las propiedades que deben tener, como en la definición de Euclides como "aquello que no tiene parte", [43] o en la geometría sintética . En las matemáticas modernas, se definen generalmente como elementos de un conjunto llamado espacio , que a su vez está definido axiomáticamente .

Con estas definiciones modernas, toda forma geométrica se define como un conjunto de puntos; esto no sucede en la geometría sintética, donde la línea es otro objeto fundamental que no es visto como el conjunto de puntos por donde pasa.

Sin embargo, existen geometrías modernas en las que los puntos no son objetos primitivos, o incluso sin puntos. [44] [45] Una de las geometrías más antiguas de este tipo es la geometría libre de puntos de Whitehead , formulada por Alfred North Whitehead en 1919-1920.

Pauta

Euclides describió una línea como una "longitud sin anchura" que "se encuentra igualmente con respecto a los puntos sobre sí misma". [43] En las matemáticas modernas, dada la multitud de geometrías, el concepto de una línea está estrechamente ligado a la forma en que se describe la geometría. Por ejemplo, en la geometría analítica , una línea en el plano se define a menudo como el conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen una ecuación lineal dada , [46] pero en un entorno más abstracto, como la geometría de incidencia , una línea puede ser un objeto independiente, distinto del conjunto de puntos que se encuentran sobre ella. [47] En la geometría diferencial, una geodésica es una generalización de la noción de una línea a los espacios curvos . [48]

Aviones

En la geometría euclidiana, un plano es una superficie plana bidimensional que se extiende infinitamente; [43] las definiciones para otros tipos de geometrías son generalizaciones de eso. Los planos se utilizan en muchas áreas de la geometría. Por ejemplo, los planos se pueden estudiar como una superficie topológica sin referencia a distancias o ángulos; [49] se puede estudiar como un espacio afín , donde se pueden estudiar la colinealidad y las proporciones pero no las distancias; [50] se puede estudiar como el plano complejo utilizando técnicas de análisis complejo ; [51] y así sucesivamente.

Curvas

Una curva es un objeto unidimensional que puede ser recto (como una línea) o no; las curvas en el espacio bidimensional se denominan curvas planas y las del espacio tridimensional se denominan curvas espaciales . [52]

En topología, una curva se define como una función que va desde un intervalo de números reales hasta otro espacio. [49] En geometría diferencial, se utiliza la misma definición, pero se requiere que la función que la define sea diferenciable. [53] La geometría algebraica estudia las curvas algebraicas , que se definen como variedades algebraicas de dimensión uno. [54]

Superficies

Una esfera es una superficie que puede definirse paramétricamente (por x = r sen θ cos φ , y = r sen θ sen φ , z = r cos θ ) o implícitamente (por x 2 + y 2 + z 2 − r 2 = 0 ).

Una superficie es un objeto bidimensional, como una esfera o un paraboloide. [55] En geometría diferencial [53] y topología , [49] las superficies se describen mediante "parches" (o vecindarios ) bidimensionales que se ensamblan mediante difeomorfismos u homeomorfismos , respectivamente. En geometría algebraica, las superficies se describen mediante ecuaciones polinómicas . [54]

Sólidos

En el espacio euclidiano , una bola es el volumen delimitado por una esfera.

Un sólido es un objeto tridimensional delimitado por una superficie cerrada; por ejemplo, una pelota es el volumen delimitado por una esfera.

Colectores

Una variedad es una generalización de los conceptos de curva y superficie. En topología , una variedad es un espacio topológico donde cada punto tiene un entorno que es homeomorfo al espacio euclidiano. [49] En geometría diferencial , una variedad diferenciable es un espacio donde cada entorno es difeomorfo al espacio euclidiano. [53]

Las variedades se utilizan ampliamente en física, incluso en la relatividad general y la teoría de cuerdas . [56]

Anglos

Ángulos agudos (a), obtusos (b) y llanos (c). Los ángulos agudos y obtusos también se conocen como ángulos oblicuos.

Euclides define un ángulo plano como la inclinación entre sí, en un plano, de dos líneas que se encuentran, y no son rectas una con respecto a la otra. [43] En términos modernos, un ángulo es la figura formada por dos rayos , llamados lados del ángulo, que comparten un punto final común, llamado vértice del ángulo. [57] El tamaño de un ángulo se formaliza como una medida angular .

En la geometría euclidiana , los ángulos se utilizan para estudiar polígonos y triángulos , además de formar un objeto de estudio por derecho propio. [43] El estudio de los ángulos de un triángulo o de los ángulos en un círculo unitario forma la base de la trigonometría . [58]

En geometría diferencial y cálculo , los ángulos entre curvas planas o curvas espaciales o superficies se pueden calcular utilizando la derivada . [59] [60]

Medidas: longitud, área y volumen.

La longitud , el área y el volumen describen el tamaño o la extensión de un objeto en una dimensión, dos dimensiones y tres dimensiones respectivamente. [61]

En la geometría euclidiana y la geometría analítica , la longitud de un segmento de línea a menudo se puede calcular mediante el teorema de Pitágoras . [62]

El área y el volumen pueden definirse como cantidades fundamentales separadas de la longitud, o pueden describirse y calcularse en términos de longitudes en un plano o en un espacio tridimensional. [61] Los matemáticos han encontrado muchas fórmulas explícitas para el área y fórmulas para el volumen de varios objetos geométricos. En cálculo , el área y el volumen pueden definirse en términos de integrales , como la integral de Riemann [63] o la integral de Lebesgue . [64]

Otras medidas geométricas incluyen la curvatura y la compacidad .

Métricas y medidas

Comprobación visual del teorema de Pitágoras para el triángulo (3, 4, 5) como en Zhoubi Suanjing 500–200 a. C. El teorema de Pitágoras es una consecuencia de la métrica euclidiana .

El concepto de longitud o distancia se puede generalizar, lo que conduce a la idea de métricas . [65] Por ejemplo, la métrica euclidiana mide la distancia entre puntos en el plano euclidiano , mientras que la métrica hiperbólica mide la distancia en el plano hiperbólico . Otros ejemplos importantes de métricas incluyen la métrica de Lorentz de la relatividad especial y las métricas semiriemannianas de la relatividad general . [66]

En una dirección diferente, los conceptos de longitud, área y volumen son ampliados por la teoría de la medida , que estudia métodos de asignación de un tamaño o medida a conjuntos , donde las medidas siguen reglas similares a las del área y el volumen clásicos. [67]

Congruencia y semejanza

La congruencia y la similitud son conceptos que describen cuándo dos formas tienen características similares. [68] En la geometría euclidiana, la similitud se utiliza para describir objetos que tienen la misma forma, mientras que la congruencia se utiliza para describir objetos que son iguales tanto en tamaño como en forma. [69] Hilbert , en su trabajo sobre la creación de una base más rigurosa para la geometría, trató la congruencia como un término indefinido cuyas propiedades están definidas por axiomas .

La congruencia y la similitud se generalizan en la geometría de transformación , que estudia las propiedades de los objetos geométricos que se conservan mediante diferentes tipos de transformaciones. [70]

Construcciones con compás y regla

Los geómetras clásicos prestaban especial atención a la construcción de objetos geométricos que habían sido descritos de alguna otra manera. Clásicamente, los únicos instrumentos utilizados en la mayoría de las construcciones geométricas eran el compás y la regla . [c] Además, cada construcción tenía que completarse en un número finito de pasos. Sin embargo, algunos problemas resultaron difíciles o imposibles de resolver solo por estos medios, y se encontraron construcciones ingeniosas que utilizaban neusis , parábolas y otras curvas, o dispositivos mecánicos.

Rotación y orientación

Los conceptos geométricos de rotación y orientación definen parte de la colocación de objetos incrustados en el plano o en el espacio.

Dimensión

El copo de nieve de Koch , con dimensión fractal = log4/log3 y dimensión topológica = 1

La geometría tradicional permitía las dimensiones 1 (una línea o curva), 2 (un plano o superficie) y 3 (nuestro mundo circundante concebido como un espacio tridimensional ). Además, los matemáticos y los físicos han utilizado dimensiones superiores durante casi dos siglos. [71] Un ejemplo de un uso matemático de dimensiones superiores es el espacio de configuración de un sistema físico, que tiene una dimensión igual a los grados de libertad del sistema . Por ejemplo, la configuración de un tornillo se puede describir mediante cinco coordenadas. [72]

En topología general , el concepto de dimensión se ha extendido desde los números naturales , a la dimensión infinita ( espacios de Hilbert , por ejemplo) y números reales positivos (en geometría fractal ). [73] En geometría algebraica , la dimensión de una variedad algebraica ha recibido un número de definiciones aparentemente diferentes, que son todas equivalentes en los casos más comunes. [74]

Simetría

Un mosaico del plano hiperbólico

El tema de la simetría en geometría es casi tan antiguo como la ciencia de la geometría misma. [75] Las formas simétricas como el círculo , los polígonos regulares y los sólidos platónicos tenían un profundo significado para muchos filósofos antiguos [76] y fueron investigadas en detalle antes de la época de Euclides. [39] Los patrones simétricos ocurren en la naturaleza y fueron representados artísticamente en una multitud de formas, incluidos los gráficos de Leonardo da Vinci , MC Escher y otros. [77] En la segunda mitad del siglo XIX, la relación entre simetría y geometría fue objeto de un intenso escrutinio. El programa Erlangen de Felix Klein proclamó que, en un sentido muy preciso, la simetría, expresada a través de la noción de un grupo de transformación , determina qué es la geometría . [78] La simetría en la geometría euclidiana clásica está representada por congruencias y movimientos rígidos, mientras que en la geometría proyectiva las colineaciones , transformaciones geométricas que convierten las líneas rectas en líneas rectas, desempeñan un papel análogo . [79] Sin embargo, fue en las nuevas geometrías de Bolyai y Lobachevsky, Riemann, Clifford y Klein, y Sophus Lie donde la idea de Klein de "definir una geometría a través de su grupo de simetría " encontró su inspiración. [80] Tanto las simetrías discretas como las continuas juegan papeles prominentes en la geometría, las primeras en la topología y la teoría de grupos geométricos , [81] [82] las últimas en la teoría de Lie y la geometría de Riemann . [83] [84]

Un tipo diferente de simetría es el principio de dualidad en la geometría proyectiva , entre otros campos. Este metafenómeno puede describirse aproximadamente de la siguiente manera: en cualquier teorema , intercambia punto con plano , une con encuentra , yace en con contiene , y el resultado es un teorema igualmente verdadero. [85] Una forma similar y estrechamente relacionada de dualidad existe entre un espacio vectorial y su espacio dual . [86]

Geometría contemporánea

Geometría euclidiana

La geometría euclidiana es geometría en su sentido clásico. [87] Como modela el espacio del mundo físico, se utiliza en muchas áreas científicas, como la mecánica , la astronomía , la cristalografía , [88] y muchos campos técnicos, como la ingeniería , [89] la arquitectura , [90] la geodesia , [91] la aerodinámica , [92] y la navegación . [93] El currículo educativo obligatorio de la mayoría de las naciones incluye el estudio de conceptos euclidianos como puntos , líneas , planos , ángulos , triángulos , congruencia , semejanza , figuras sólidas , círculos y geometría analítica . [94]

Vectores euclidianos

Los vectores euclidianos se utilizan para una gran variedad de aplicaciones en física e ingeniería, como posición , desplazamiento , deformación , velocidad , aceleración , fuerza , etc.

Geometría diferencial

La geometría diferencial utiliza herramientas del cálculo para estudiar problemas que involucran curvatura.

La geometría diferencial utiliza técnicas de cálculo y álgebra lineal para estudiar problemas de geometría. [95] Tiene aplicaciones en física , [96] econometría , [97] y bioinformática , [98] entre otras.

En particular, la geometría diferencial es importante para la física matemática debido a la postulación de la relatividad general de Albert Einstein de que el universo es curvo . [99] La geometría diferencial puede ser intrínseca (lo que significa que los espacios que considera son variedades suaves cuya estructura geométrica está gobernada por una métrica de Riemann , que determina cómo se miden las distancias cerca de cada punto) o extrínseca (donde el objeto en estudio es parte de algún espacio euclidiano plano ambiental). [100]

Geometría no euclidiana

Comportamiento de las rectas con una perpendicular común en cada uno de los tres tipos de geometría
En matemáticas , la geometría no euclidiana consta de dos geometrías basadas en axiomas estrechamente relacionados con los que especifican la geometría euclidiana . Como la geometría euclidiana se encuentra en la intersección de la geometría métrica y la geometría afín , la geometría no euclidiana surge ya sea reemplazando el postulado de las paralelas por una alternativa o relajando el requisito métrico. En el primer caso, se obtiene la geometría hiperbólica y la geometría elíptica , las geometrías no euclidianas tradicionales. Cuando se relaja el requisito métrico, entonces hay planos afines asociados con las álgebras planares, que dan lugar a geometrías cinemáticas que también se han llamado geometría no euclidiana.

Topología

Un engrosamiento del nudo del trébol

La topología es el campo que se ocupa de las propiedades de las aplicaciones continuas , [101] y puede considerarse una generalización de la geometría euclidiana. [102] En la práctica, la topología a menudo significa tratar con propiedades de espacios a gran escala, como la conectividad y la compacidad . [49]

El campo de la topología, que tuvo un desarrollo masivo en el siglo XX, es en un sentido técnico un tipo de geometría de transformación , en la que las transformaciones son homeomorfismos . [103] Esto se ha expresado a menudo en la forma del dicho "la topología es geometría de lámina elástica". Los subcampos de la topología incluyen la topología geométrica , la topología diferencial , la topología algebraica y la topología general . [104]

Geometría algebraica

Quintic Calabi–Yau triple

La geometría algebraica es fundamentalmente el estudio por medio de métodos algebraicos de algunas formas geométricas, llamadas conjuntos algebraicos , y definidas como ceros comunes de polinomios multivariados . [105] La geometría algebraica se convirtió en un subcampo autónomo de la geometría alrededor de  1900 , con un teorema llamado Nullstellensatz de Hilbert que establece una fuerte correspondencia entre los conjuntos algebraicos y los ideales de los anillos polinomiales . Esto condujo a un desarrollo paralelo de la geometría algebraica y su contraparte algebraica, llamada álgebra conmutativa . [106] Desde finales de la década de 1950 hasta mediados de la década de 1970, la geometría algebraica había experimentado un importante desarrollo fundamental, con la introducción por Alexander Grothendieck de la teoría de esquemas , que permite utilizar métodos topológicos , incluidas las teorías de cohomología en un contexto puramente algebraico. [106] La teoría de esquemas permitió resolver muchos problemas difíciles no sólo en geometría, sino también en teoría de números . La prueba de Wiles del Último Teorema de Fermat es un famoso ejemplo de un problema de larga data de la teoría de números cuya solución utiliza la teoría de esquemas y sus extensiones como la teoría de pilas . Uno de los siete problemas del Premio del Milenio , la conjetura de Hodge , es una cuestión de geometría algebraica. [107]

La geometría algebraica tiene aplicaciones en muchas áreas, incluidas la criptografía [108] y la teoría de cuerdas . [109]

Geometría compleja

La geometría compleja estudia la naturaleza de las estructuras geométricas modeladas sobre, o que surgen de, el plano complejo . [110] [111] [112] La geometría compleja se encuentra en la intersección de la geometría diferencial, la geometría algebraica y el análisis de varias variables complejas , y ha encontrado aplicaciones en la teoría de cuerdas y la simetría especular . [113]

La geometría compleja apareció por primera vez como un área de estudio distinta en el trabajo de Bernhard Riemann en su estudio de las superficies de Riemann . [114] [115] [116] El trabajo en el espíritu de Riemann fue realizado por la escuela italiana de geometría algebraica a principios de la década de 1900. El tratamiento contemporáneo de la geometría compleja comenzó con el trabajo de Jean-Pierre Serre , quien introdujo el concepto de haces en el tema e ilustró las relaciones entre la geometría compleja y la geometría algebraica. [117] [118] Los principales objetos de estudio en geometría compleja son las variedades complejas , las variedades algebraicas complejas y las variedades analíticas complejas , y los fibrados vectoriales holomórficos y los haces coherentes sobre estos espacios. Ejemplos especiales de espacios estudiados en geometría compleja incluyen las superficies de Riemann y las variedades de Calabi-Yau , y estos espacios encuentran usos en la teoría de cuerdas. En particular, las capas del mundo de cuerdas se modelan mediante superficies de Riemann, y la teoría de supercuerdas predice que las 6 dimensiones adicionales del espacio-tiempo de 10 dimensiones se pueden modelar mediante variedades de Calabi-Yau.

Geometría discreta

La geometría discreta incluye el estudio de varios empaquetamientos de esferas .

La geometría discreta es una disciplina que tiene estrechas conexiones con la geometría convexa . [119] [120] [121] Se ocupa principalmente de cuestiones de posición relativa de objetos geométricos simples, como puntos, líneas y círculos. Los ejemplos incluyen el estudio de empaquetamientos de esferas , triangulaciones , la conjetura de Kneser-Poulsen, etc. [122] [123] Comparte muchos métodos y principios con la combinatoria .

Geometría computacional

La geometría computacional se ocupa de algoritmos y sus implementaciones para manipular objetos geométricos. Históricamente, algunos de los problemas más importantes han sido el problema del viajante , los árboles de expansión mínima , la eliminación de líneas ocultas y la programación lineal . [124]

Aunque es un área joven de la geometría, tiene muchas aplicaciones en visión por computadora , procesamiento de imágenes , diseño asistido por computadora , imágenes médicas , etc. [125]

Teoría de grupos geométricos

El gráfico de Cayley del grupo libre en dos generadores a y b

La teoría de grupos geométricos utiliza técnicas geométricas a gran escala para estudiar grupos generados finitamente . [126] Está estrechamente relacionada con la topología de baja dimensión , como en la prueba de la conjetura de geometrización de Grigori Perelman , que incluía la prueba de la conjetura de Poincaré , un problema del Premio del Milenio . [127]

La teoría de grupos geométricos a menudo gira en torno al gráfico de Cayley , que es una representación geométrica de un grupo. Otros temas importantes incluyen las cuasi-isometrías , los grupos hiperbólicos de Gromov y los grupos de Artin en ángulo recto . [126] [128]

Geometría convexa

La geometría convexa investiga las formas convexas en el espacio euclidiano y sus análogos más abstractos, a menudo utilizando técnicas de análisis real y matemáticas discretas . [129] Tiene estrechas conexiones con el análisis convexo , la optimización y el análisis funcional y aplicaciones importantes en la teoría de números .

La geometría convexa se remonta a la antigüedad. [129] Arquímedes dio la primera definición precisa conocida de convexidad. El problema isoperimétrico , un concepto recurrente en la geometría convexa, también fue estudiado por los griegos, incluido Zenodoro . Arquímedes, Platón , Euclides y más tarde Kepler y Coxeter estudiaron los politopos convexos y sus propiedades. Desde el siglo XIX en adelante, los matemáticos han estudiado otras áreas de las matemáticas convexas, incluidos los politopos de dimensiones superiores, el volumen y el área de superficie de los cuerpos convexos, la curvatura gaussiana , los algoritmos , los teselados y los retículos .

Aplicaciones

La geometría ha encontrado aplicaciones en muchos campos, algunos de los cuales se describen a continuación.

Arte

Bou Inania Madrasa, Fez, Marruecos, mosaicos zellige formando elaboradas teselaciones geométricas

Las matemáticas y el arte están relacionados de diversas maneras. Por ejemplo, la teoría de la perspectiva demostró que la geometría abarca más que las propiedades métricas de las figuras: la perspectiva es el origen de la geometría proyectiva . [130]

Los artistas llevan mucho tiempo utilizando conceptos de proporción en el diseño. Vitruvio desarrolló una complicada teoría de proporciones ideales para la figura humana. [131] Estos conceptos han sido utilizados y adaptados por artistas desde Miguel Ángel hasta los artistas de cómics modernos. [132]

La proporción áurea es una proporción particular que ha tenido un papel controvertido en el arte. A menudo se afirma que es la proporción de longitudes más agradable desde el punto de vista estético y se afirma con frecuencia que se la ha incorporado en obras de arte famosas, aunque los ejemplos más fiables e inequívocos fueron realizados deliberadamente por artistas que conocían esta leyenda. [133]

Los mosaicos o teselados se han utilizado en el arte a lo largo de la historia. El arte islámico hace un uso frecuente de los teselados, al igual que el arte de MC Escher . [134] La obra de Escher también hizo uso de la geometría hiperbólica .

Cézanne propuso la teoría de que todas las imágenes pueden construirse a partir de la esfera , el cono y el cilindro . Esta teoría todavía se utiliza en la teoría del arte actual, aunque la lista exacta de formas varía de un autor a otro. [135] [136]

Arquitectura

La geometría tiene muchas aplicaciones en la arquitectura. De hecho, se ha dicho que la geometría se encuentra en el núcleo del diseño arquitectónico. [137] [138] Las aplicaciones de la geometría a la arquitectura incluyen el uso de la geometría proyectiva para crear perspectiva forzada , [139] el uso de secciones cónicas en la construcción de cúpulas y objetos similares, [90] el uso de teselaciones , [90] y el uso de la simetría. [90]

Física

El campo de la astronomía , especialmente en lo que se refiere al mapeo de las posiciones de las estrellas y los planetas en la esfera celeste y la descripción de la relación entre los movimientos de los cuerpos celestes, ha servido como una fuente importante de problemas geométricos a lo largo de la historia. [140]

La geometría de Riemann y la geometría pseudo-Riemanniana se utilizan en la relatividad general . [141] La teoría de cuerdas hace uso de varias variantes de la geometría, [142] al igual que la teoría de la información cuántica . [143]

Otros campos de las matemáticas

Los pitagóricos descubrieron que los lados de un triángulo podían tener longitudes inconmensurables .

El cálculo estuvo fuertemente influenciado por la geometría. [30] Por ejemplo, la introducción de coordenadas por René Descartes y los desarrollos simultáneos del álgebra marcaron una nueva etapa para la geometría, ya que las figuras geométricas como las curvas planas ahora podían representarse analíticamente en forma de funciones y ecuaciones. Esto jugó un papel clave en el surgimiento del cálculo infinitesimal en el siglo XVII. La geometría analítica continúa siendo un pilar del plan de estudios de pre-cálculo y cálculo. [144] [145]

Otro campo de aplicación importante es la teoría de números . [146] En la antigua Grecia, los pitagóricos consideraron el papel de los números en la geometría. Sin embargo, el descubrimiento de longitudes inconmensurables contradecía sus puntos de vista filosóficos. [147] Desde el siglo XIX, la geometría se ha utilizado para resolver problemas en la teoría de números, por ejemplo a través de la geometría de números o, más recientemente, la teoría de esquemas , que se utiliza en la prueba de Wiles del último teorema de Fermat . [148]

Véase también

Liza
Temas relacionados
Otras aplicaciones

Notas

  1. ^ Hasta el siglo XIX, la geometría estaba dominada por la suposición de que todas las construcciones geométricas eran euclidianas. En el siglo XIX y más tarde, esto fue desafiado por el desarrollo de la geometría hiperbólica por Lobachevsky y otras geometrías no euclidianas por Gauss y otros. Entonces se comprendió que la geometría no euclidiana implícita había aparecido a lo largo de la historia, incluido el trabajo de Desargues en el siglo XVII, y hasta el uso implícito de la geometría esférica para comprender la geodesia de la Tierra y navegar por los océanos desde la antigüedad.
  2. ^ Las ternas pitagóricas son ternas de números enteros con la propiedad: . Por lo tanto, , , etc.
  3. ^ Los antiguos griegos tenían algunas construcciones utilizando otros instrumentos.

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    "Tres científicos, Ibn al-Haytham, Khayyam y al-Tusi, habían hecho la contribución más considerable a esta rama de la geometría cuya importancia llegó a ser completamente reconocida solo en el siglo XIX. En esencia, sus proposiciones sobre las propiedades de los cuadrángulos que consideraron, suponiendo que algunos de los ángulos de estas figuras eran agudos u obtusos, incorporaron los primeros teoremas de las geometrías hiperbólica y elíptica. Sus otras propuestas mostraron que varias afirmaciones geométricas eran equivalentes al postulado euclidiano V. Es extremadamente importante que estos eruditos establecieran la conexión mutua entre este postulado y la suma de los ángulos de un triángulo y un cuadrángulo. Con sus trabajos sobre la teoría de líneas paralelas, los matemáticos árabes influyeron directamente en las investigaciones relevantes de sus homólogos europeos. El primer intento europeo de demostrar el postulado sobre líneas paralelas, realizado por Witelo, el científico polaco del siglo XIII, mientras revisaba el Libro de Óptica de Ibn al-Haytham ( Kitab "La demostración de Euclides, de Pseudo-Tusi , se inspiró sin duda en fuentes árabes. Las pruebas presentadas en el siglo XIV por el erudito judío Levi ben Gerson, que vivió en el sur de Francia, y por el mencionado Alfonso de España, lindan directamente con la demostración de Ibn al-Haytham. Más arriba, hemos demostrado que la Exposición de Euclides de Pseudo-Tusi había estimulado los estudios de la teoría de las líneas paralelas de J. Wallis y G. Saccheri."

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Fuentes

Lectura adicional

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