Geometría sin puntos de Whitehead

Teoría geométrica basada en regiones

En matemáticas , la geometría libre de puntos es una geometría cuya noción ontológica primitiva es la de región y no la de punto . A continuación se exponen dos sistemas axiomáticos , uno basado en la mereología y el otro en la mereotopología , conocido como teoría de la conexión .

La geometría libre de puntos fue formulada por primera vez por Alfred North Whitehead ^[1], no como una teoría de la geometría o del espacio-tiempo , sino de los "acontecimientos" y de una " relación de extensión " entre los mismos. Los propósitos de Whitehead eran tanto filosóficos como científicos y matemáticos. ^[2]

Formalizaciones

Whitehead no expuso sus teorías de una manera que satisficiera los cánones actuales de formalidad. Las dos teorías formales de primer orden descritas en esta entrada fueron ideadas por otros con el fin de aclarar y refinar las teorías de Whitehead. El dominio del discurso para ambas teorías consiste en "regiones". Todas las variables no cuantificadas en esta entrada deben tomarse como tácitamente cuantificadas universalmente ; por lo tanto, todos los axiomas deben tomarse como cierres universales . Ningún axioma requiere más de tres variables cuantificadas; por lo tanto, es posible una traducción de las teorías de primer orden al álgebra de relaciones . Cada conjunto de axiomas tiene sólo cuatro cuantificadores existenciales .

Geometría libre de puntos basada en inclusiones (mereología)

La relación binaria primitiva fundamental es la inclusión , denotada por el operador infijo "≤", que corresponde a la relación binaria de Partitud que es una característica estándar en las teorías mereológicas . El significado intuitivo de x ≤ y es " x es parte de y ". Suponiendo que la igualdad, denotada por el operador infijo "=", es parte de la lógica de fondo, la relación binaria Parte Propia , denotada por el operador infijo "<", se define como:

${\displaystyle x<y\leftrightarrow (x\leq y\land x\not =y).}$

Los axiomas son: ^[3]

• La inclusión ordena parcialmente el dominio .

G1. ( reflexivo ) ${\displaystyle x\leq x.}$

G2. ( transitivo ) WP4 . ${\displaystyle (x\leq z\land z\leq y)\rightarrow x\leq y.}$

G3. ( antisimétrico ) ${\displaystyle (x\leq y\land y\leq x)\rightarrow x=y.}$

• Dadas dos regiones cualesquiera, existe una región que las incluye a ambas. WP6 .

G4. ${\displaystyle \exists z[x\leq z\land y\leq z].}$

• Parte Propia ordena densamente el dominio . WP5 .

G5. ${\displaystyle x<y\rightarrow \exists z[x<z<y].}$

• No existen regiones atómicas ni una región universal . Por lo tanto, el dominio no tiene un límite superior ni inferior. WP2 .

G6. ${\displaystyle \exists y\exists z[y<x\land x<z].}$

• Principio de partes propias. Si todas las partes propias de x son partes propias de y , entonces x está incluido en y . WP3 .

G7. ${\displaystyle \forall z[z<x\rightarrow z<y]\rightarrow x\leq y.}$

Un modelo de G1–G7 es un espacio de inclusión .

Definición . ^[4] Dado un espacio de inclusión S, una clase abstractiva es una clase G de regiones tal que S\G está totalmente ordenada por inclusión. Además, no existe una región incluida en todas las regiones incluidas en G .

De manera intuitiva, una clase abstractiva define una entidad geométrica cuya dimensionalidad es menor que la del espacio de inclusión. Por ejemplo, si el espacio de inclusión es el plano euclidiano , las clases abstractivas correspondientes son puntos y líneas .

La geometría libre de puntos basada en la inclusión (de aquí en adelante "geometría libre de puntos") es esencialmente una axiomatización del sistema W de Simons. ^[5] A su vez, W formaliza una teoría de Whitehead ^[6] cuyos axiomas no se hacen explícitos. La geometría libre de puntos es W con este defecto reparado. Simons no reparó este defecto, en lugar de ello propuso en una nota al pie que el lector lo hiciera como ejercicio. La relación primitiva de W es Parte Propia, un orden parcial estricto . La teoría ^[7] de Whitehead (1919) tiene una única relación binaria primitiva K definida como xKy ↔ y  <  x . Por lo tanto, K es el inverso de Parte Propia. El WP1 de Simons afirma que Parte Propia es irreflexiva y por lo tanto corresponde a G1 . G3 establece que la inclusión, a diferencia de Parte Propia, es antisimétrica .

La geometría libre de puntos está estrechamente relacionada con un orden lineal denso D , cuyos axiomas son G1-3 , G5 y el axioma de totalidad ^[8]. Por lo tanto, la geometría libre de puntos basada en inclusiones sería una extensión adecuada de D (es decir, D ∪ { G4 , G6 , G7 }), si no fuera porque la relación D "≤" es un orden total . ${\displaystyle x\leq y\lor y\leq x.}$

Teoría de la conexión (mereotopología)

En Whitehead (1929) se propuso un enfoque diferente, inspirado por De Laguna (1922). Whitehead tomó como primitiva la noción topológica de "contacto" entre dos regiones, lo que dio como resultado una "relación de conexión" primitiva entre eventos. La teoría de la conexión C es una teoría de primer orden que destila los primeros 12 de los 31 supuestos de Whitehead ^[9] en 6 axiomas, C1-C6 . ^[10] C es un fragmento adecuado de las teorías propuestas por Clarke, ^[11] quien notó su carácter mereológico . Las teorías que, como C , presentan primitivas tanto de inclusión como topológicas, se denominan mereotopologías .

C tiene una relación primitiva , la "conexión" binaria, denotada por la letra de predicado prefijada C . Que x esté incluido en y ahora se puede definir como x ≤ y ↔ ∀z[ Czx → Czy ]. A diferencia del caso con los espacios de inclusión, la teoría de la conexión permite definir la inclusión "no tangencial", ^[12] un orden total que permite la construcción de clases abstractivas. Gerla y Miranda (2008) sostienen que solo así la mereotopología puede definir de manera inequívoca un punto .

• C es reflexiva . C.1.

C1. ${\displaystyle \ Cxx.}$

• C es simétrico . C.2.

C2. ${\displaystyle Cxy\rightarrow Cyx.}$

• C es extensional . C.11.

C3. ${\displaystyle \forall z[Czx\leftrightarrow Czy]\rightarrow x=y.}$

• Todas las regiones tienen partes propias, de modo que C es una teoría sin átomos . P.9.

C4. ${\displaystyle \exists y[y<x].}$

• Dadas dos regiones cualesquiera, existe una región conectada a ambas.

C5. ${\displaystyle \exists z[Czx\land Czy].}$

• Todas las regiones tienen al menos dos partes no conectadas. C.14.

C6. ${\displaystyle \exists y\exists z[(y\leq x)\land (z\leq x)\land \neg Cyz].}$

Un modelo de C es un espacio de conexión .

Después de la descripción verbal de cada axioma se encuentra el identificador del axioma correspondiente en Casati y Varzi (1999). Su sistema SMT ( mereotopología fuerte ) consiste en C1-C3 , y se debe esencialmente a Clarke (1981). ^[13] Cualquier mereotopología puede hacerse sin átomos invocando C4 , sin correr el riesgo de caer en paradojas o trivialidades. Por lo tanto, C extiende la variante sin átomos de SMT por medio de los axiomas C5 y C6 , sugeridos por el capítulo 2 de la parte 4 de Proceso y realidad . ^[14]

Biacino y Gerla (1991) demostraron que cada modelo de la teoría de Clarke es un álgebra de Boole y que los modelos de dichas álgebras no pueden distinguir entre conexión y superposición. Es dudoso que cualquiera de estos hechos sea fiel a la intención de Whitehead.

Véase también

• Mereología
• Mereotopología
• Topología sin sentido

Notas

Referencias

1. Whitehead (1919, 1920)
2. Véase Kneebone (1963), cap. 13.5, para una introducción sutil a la teoría de Whitehead. Véase también Lucas (2000), cap. 10.
3. Los axiomas G1 a G7 son, salvo por la numeración, los de la Def. 2.1 en Gerla y Miranda (2008) (véase también Gerla (1995)). Los identificadores de la forma WP n , incluidos en la descripción verbal de cada axioma, se refieren al axioma correspondiente en Simons (1987: 83).
4. Gerla y Miranda 2008: Def. 4.1).
5. Simons (1987: 83)
6. Cabeza blanca (1919)
7. Kneebone (1963), pág. 346.
8. Stoll, RR, 1963. Teoría de conjuntos y lógica . Reimpresión de Dover, 1979. P. 423.
9. En el capítulo 2 de la parte 4 de Proceso y Realidad
10. Los axiomas C1-C6 que aparecen a continuación son, salvo por la numeración, los de la definición 3.1 en Gerla y Miranda (2008)
11. Clarke (1981)
12. Presumiblemente este es el predicado de "Parte interna" de Casati y Varzi (1999), IP xy ↔ (x≤y)∧(C zx →∃ v [ v ≤ z ∧ v ≤ y ]. Esta definición combina sus (4.8) y (3.1).
13. Grzegorczyk (1960) propuso una teoría similar, cuya motivación era principalmente topológica .
14. Para una discusión avanzada y detallada de los sistemas relacionados con C , consulte Roeper (1997).

Bibliografía

• Biacino L. y Gerla G., 1991, "Estructuras de conexión", Notre Dame Journal of Formal Logic 32: 242-47.
• Casati, R., y Varzi, AC, 1999. Partes y lugares: las estructuras de la representación espacial . MIT Press.
• Clarke, Bowman, 1981, "Un cálculo de individuos basado en la 'conexión'", Notre Dame Journal of Formal Logic 22 : 204-18.
• ------, 1985, "Individuos y puntos", Notre Dame Journal of Formal Logic 26 : 61-75.
• De Laguna, T., 1922, "Punto, línea y superficie como conjuntos de sólidos", The Journal of Philosophy 19 : 449-61.
• Gerla, G., 1995, "Geometrías sin punta" en Buekenhout, F., Kantor, W. eds., Manual de geometría de incidencia: edificios y cimientos . Holanda Septentrional: 1015-31.
• --------, y Miranda A., 2008, "Inclusión y conexión en la geometría libre de puntos de Whitehead", en Michel Weber y Will Desmond, (eds.), Handbook of Whiteheadian Process Thought , Frankfurt / Lancaster, ontos verlag, Process Thought X1 y X2.
• Gruszczynski R. y Pietruszczak A., 2008, "Full development of Tarski's geometry of solids", Bulletin of Symbolic Logic 14:481-540. El artículo contiene la presentación de un sistema geométrico sin puntos que se origina a partir de las ideas de Whitehead y se basa en la mereología de Lesniewski. También analiza brevemente la relación entre los sistemas geométricos sin puntos y los basados ​​en puntos. También se dan las propiedades básicas de las estructuras mereológicas.
• Grzegorczyk, A., 1960, "Axiomatizabilidad de la geometría sin puntos", Synthese 12 : 228-235.
• Kneebone, G., 1963. Lógica matemática y fundamentos de las matemáticas . Reimpresión de Dover, 2001.
• Lucas, JR , 2000. Conceptual Roots of Mathematics . Routledge. El capítulo 10, sobre "prototopología", analiza los sistemas de Whitehead y está fuertemente influenciado por los escritos inéditos de David Bostock .
• Roeper, P., 1997, "Topología basada en regiones", Journal of Philosophical Logic 26 : 251-309.
• Simons, P., 1987. Partes: un estudio sobre ontología . Oxford Univ. Press.
• Whitehead, AN , 1916, "La Theorie Relationiste de l'Espace", Revue de Metaphysique et de Morale 23 : 423-454. Traducido como Hurley, PJ, 1979, "La teoría relacional del espacio", Philosophy Research Archives 5 : 712-741.
• --------, 1919. Una investigación sobre los principios del conocimiento natural . Cambridge Univ. Press. 2.ª ed., 1925.
• --------, 1920. El concepto de naturaleza . Cambridge Univ. Press. Edición de bolsillo de 2004, Prometheus Books. Se trata de las Tarner Lectures de 1919 dictadas en el Trinity College .
• --------, 1979 (1929). Proceso y realidad . Prensa Libre.