En geometría , un poliedro ( pl.: poliedros o poliedros ; del griego πολύ (poli-) 'muchos', y ἕδρον (-edro) 'base, asiento') es una forma tridimensional con caras poligonales planas, bordes rectos y esquinas o vértices agudos .
Un poliedro convexo es un poliedro que limita un conjunto convexo . Todo poliedro convexo puede construirse como la cáscara convexa de sus vértices, y para cada conjunto finito de puntos, no todos en el mismo plano, la cáscara convexa es un poliedro convexo. Los cubos y las pirámides son ejemplos de poliedros convexos.
Un poliedro es un ejemplo tridimensional de politopo , un concepto más general en cualquier número de dimensiones.
Los poliedros convexos están bien definidos, con varias definiciones estándar equivalentes. Sin embargo, la definición matemática formal de poliedros que no necesitan ser convexos ha sido problemática. Se han dado muchas definiciones de "poliedro" en contextos particulares, [1] algunas más rigurosas que otras, y no existe un acuerdo universal sobre cuál de ellas elegir. Algunas de estas definiciones excluyen formas que a menudo se han contado como poliedros (como los poliedros que se autocruzan ) o incluyen formas que a menudo no se consideran poliedros válidos (como los sólidos cuyos límites no son variedades ). Como observó Branko Grünbaum ,
"El Pecado Original en la teoría de los poliedros se remonta a Euclides, y a través de Kepler, Poinsot, Cauchy y muchos otros... en cada etapa... los escritores no lograron definir qué son los poliedros". [2]
Sin embargo, existe un acuerdo general en que un poliedro es un sólido o superficie que puede describirse por sus vértices (puntos de esquina), aristas (segmentos de línea que conectan ciertos pares de vértices), caras ( polígonos bidimensionales ) y que a veces puede Se puede decir que tiene un volumen interior tridimensional particular . Se puede distinguir entre estas diferentes definiciones según si describen el poliedro como un sólido, si lo describen como una superficie o si lo describen de manera más abstracta basándose en su geometría de incidencia . [3]
En todas estas definiciones, un poliedro suele entenderse como un ejemplo tridimensional del politopo más general en cualquier número de dimensiones. Por ejemplo, un polígono tiene un cuerpo bidimensional y no tiene caras, mientras que un politopo de 4 tiene un cuerpo de cuatro dimensiones y un conjunto adicional de "celdas" tridimensionales. Sin embargo, parte de la literatura sobre geometría de dimensiones superiores utiliza el término "poliedro" para significar algo más: no un politopo tridimensional, sino una forma que es diferente de un politopo de alguna manera. Por ejemplo, algunas fuentes definen un poliedro convexo como la intersección de un número finito de semiespacios y un politopo como un poliedro acotado. [14] [15] El resto de este artículo considera únicamente poliedros tridimensionales.
Los poliedros pueden clasificarse y a menudo reciben nombres según el número de caras. El sistema de denominación se basa en el griego clásico y combina un prefijo que cuenta las caras con el sufijo "edro", que significa "base" o "asiento" y se refiere a las caras. Por ejemplo, un tetraedro es un poliedro con cuatro caras, un pentaedro es un poliedro con cinco caras, un hexaedro es un poliedro con seis caras, etc. [16] Para obtener una lista completa de los prefijos numéricos griegos, consulte Prefijo numérico § Tabla de números prefijos en inglés , en la columna de números cardinales griegos. Los nombres de tetraedros, hexaedros, octaedros (poliedros de 8 lados), dodecaedros (poliedros de 12 lados) e icosaedros (poliedros de 20 lados) a veces se usan sin calificación adicional para referirse a los sólidos platónicos , y a veces se usan para referirse a más generalmente a poliedros con el número dado de lados sin ninguna suposición de simetría. [17]
Algunos poliedros tienen dos lados distintos en su superficie. Por ejemplo, al interior y al exterior de un modelo de papel de poliedro convexo se le puede dar un color diferente (aunque el color interior estará oculto a la vista). Estos poliedros son orientables . Lo mismo ocurre con los poliedros no convexos sin autocruces. Algunos poliedros autocruzados no convexos se pueden colorear de la misma manera, pero tienen regiones "al revés" de modo que ambos colores aparecen en el exterior en diferentes lugares; estos todavía se consideran orientables. Sin embargo, para algunos otros poliedros que se autocruzan con caras de polígonos simples, como el tetrahemihexaedro , no es posible colorear los dos lados de cada cara con dos colores diferentes para que las caras adyacentes tengan colores consistentes. En este caso se dice que el poliedro no es orientable. Para poliedros con caras que se cruzan solas, puede que no esté claro qué significa que las caras adyacentes estén coloreadas consistentemente, pero para estos poliedros aún es posible determinar si es orientable o no orientable considerando un complejo de celdas topológicas con el mismas incidencias entre sus vértices, aristas y caras. [18]
Una distinción más sutil entre las superficies de los poliedros viene dada por su característica de Euler , que combina el número de vértices , aristas y caras de un poliedro en un único número definido por la fórmula
La misma fórmula también se utiliza para la característica de Euler de otros tipos de superficies topológicas. Es una invariante de la superficie, lo que significa que cuando una sola superficie se subdivide en vértices, aristas y caras de más de una forma, la característica de Euler será la misma para estas subdivisiones. Para un poliedro convexo, o más generalmente cualquier poliedro simplemente conectado con una superficie de una esfera topológica, siempre es igual a 2. Para formas más complicadas, la característica de Euler se relaciona con el número de agujeros toroidales , asas o tapas transversales en la superficie y será menos de 2. [19] Todos los poliedros con característica de Euler impar no son orientables. Una figura dada con característica uniforme de Euler puede ser orientable o no. Por ejemplo, el toroide de un orificio y la botella de Klein tienen , siendo el primero orientable y el otro no. [18]
Para muchas (pero no todas) formas de definir poliedros, se requiere que la superficie del poliedro sea una variedad . Esto significa que cada arista es parte del límite de exactamente dos caras (lo que no permite formas como la unión de dos cubos que se encuentran sólo a lo largo de un borde compartido) y que cada vértice incide en un único ciclo alterno de aristas y caras (lo que no permite formas como la unión de dos cubos que comparten un solo vértice). Para los poliedros definidos de esta manera, la clasificación de variedades implica que el tipo topológico de la superficie está completamente determinado por la combinación de su característica de Euler y su orientabilidad. Por ejemplo, todo poliedro cuya superficie es una variedad orientable y cuya característica de Euler es 2 debe ser una esfera topológica. [18]
Un poliedro toroidal es un poliedro cuya característica de Euler es menor o igual a 0, o equivalentemente cuyo género es 1 o mayor. Topológicamente, las superficies de dichos poliedros son superficies toroidales que tienen uno o más agujeros en el medio. [20]
Para cada poliedro convexo, existe un poliedro dual que tiene
El dual de un poliedro convexo se puede obtener mediante el proceso de reciprocidad polar . [21] Los poliedros duales existen en pares, y el dual de un dual es nuevamente simplemente el poliedro original. Algunos poliedros son autoduales, lo que significa que el dual del poliedro es congruente con el poliedro original. [22]
Los poliedros abstractos también tienen duales, que se obtienen invirtiendo el orden parcial que define el poliedro para obtener su orden dual u opuesto . [13] Estos tienen la misma característica de Euler y orientabilidad que el poliedro inicial. Sin embargo, esta forma de dualidad no describe la forma de un poliedro dual, sino sólo su estructura combinatoria. Para algunas definiciones de poliedros geométricos no convexos, existen poliedros cuyos duales abstractos no pueden realizarse como poliedros geométricos bajo la misma definición. [10]
Para cada vértice se puede definir una figura de vértice , que describe la estructura local del poliedro alrededor del vértice. Las definiciones precisas varían, pero se puede considerar una figura de vértice como el polígono expuesto donde una sección del poliedro corta un vértice. [8] Para los sólidos platónicos y otros poliedros altamente simétricos, se puede elegir este corte para que pase por los puntos medios de cada borde incidente al vértice, [23] pero otros poliedros pueden no tener un plano que pase por estos puntos. Para poliedros convexos, y más generalmente para poliedros cuyos vértices están en posición convexa , este corte se puede elegir como cualquier plano que separe el vértice de los demás vértices. [24] Cuando el poliedro tiene un centro de simetría, es estándar elegir este plano para que sea perpendicular a la línea que pasa por el vértice dado y el centro; [25] con esta elección, la forma de la figura del vértice se determina hasta el escalado. Cuando los vértices de un poliedro no están en posición convexa, no siempre habrá un plano que separe cada vértice del resto. En este caso, es común cortar el poliedro por una pequeña esfera centrada en el vértice. [26] Nuevamente, esto produce una forma para la figura del vértice que es invariante hasta el escalado. Todas estas elecciones conducen a figuras de vértices con la misma estructura combinatoria, para los poliedros a los que se pueden aplicar, pero pueden darles formas geométricas diferentes.
El área de superficie de un poliedro es la suma de las áreas de sus caras, para definiciones de poliedros para los cuales el área de una cara está bien definida. La distancia geodésica entre dos puntos cualesquiera en la superficie de un poliedro mide la longitud de la curva más corta que conecta los dos puntos, que permanece dentro de la superficie. Según el teorema de unicidad de Alexandrov , cada poliedro convexo está determinado únicamente por el espacio métrico de distancias geodésicas en su superficie. Sin embargo, los poliedros no convexos pueden tener las mismas distancias superficiales entre sí, o las mismas que ciertos poliedros convexos. [27]
Los sólidos poliédricos tienen asociada una cantidad llamada volumen que mide cuánto espacio ocupan. Las familias simples de sólidos pueden tener fórmulas simples para sus volúmenes; por ejemplo, los volúmenes de pirámides, prismas y paralelepípedos se pueden expresar fácilmente en términos de la longitud de sus aristas u otras coordenadas. (Consulte Volumen § Fórmulas de volumen para obtener una lista que incluye muchas de estas fórmulas).
Es posible que los volúmenes de poliedros más complicados no tengan fórmulas simples. Los volúmenes de dichos poliedros se pueden calcular subdividiendo el poliedro en partes más pequeñas (por ejemplo, mediante triangulación ). Por ejemplo, el volumen de un poliedro regular se puede calcular dividiéndolo en pirámides congruentes , teniendo cada pirámide una cara del poliedro como base y el centro del poliedro como vértice.
En general, del teorema de la divergencia se puede derivar que el volumen de un sólido poliédrico viene dado por
En dos dimensiones, el teorema de Bolyai-Gerwien afirma que cualquier polígono puede transformarse en cualquier otro polígono de la misma área cortándolo en un número finito de piezas poligonales y reorganizándolas . La cuestión análoga de los poliedros fue el tema del tercer problema de Hilbert . Max Dehn resolvió este problema demostrando que, a diferencia del caso 2-D, existen poliedros del mismo volumen que no se pueden cortar en poliedros más pequeños y volver a ensamblar entre sí. Para demostrarlo, Dehn descubrió otro valor asociado a un poliedro, el invariante de Dehn , de modo que dos poliedros sólo pueden diseccionarse entre sí cuando tienen el mismo volumen y el mismo invariante de Dehn. Sydler demostró más tarde que éste es el único obstáculo para la disección: cada dos poliedros euclidianos con el mismo volumen y las mismas invariantes de Dehn se pueden cortar y volver a ensamblar entre sí. [30] El invariante de Dehn no es un número, sino un vector en un espacio vectorial de dimensión infinita, determinado a partir de las longitudes y los ángulos diédricos de las aristas de un poliedro. [31]
Otro de los problemas de Hilbert, el problema número 18 de Hilbert , se refiere (entre otras cosas) a los poliedros que enlosan el espacio . Cada uno de estos poliedros debe tener un invariante cero de Dehn. [32] El invariante de Dehn también se ha relacionado con los poliedros flexibles mediante el teorema del fuelle fuerte, que establece que el invariante de Dehn de cualquier poliedro flexible permanece invariante mientras se flexiona. [33]
Un sólido tridimensional es un conjunto convexo si contiene cada segmento de recta que conecta dos de sus puntos. Un poliedro convexo es un poliedro que, como sólido, forma un conjunto convexo. Un poliedro convexo también se puede definir como una intersección acotada de un número finito de semiespacios , o como el casco convexo de un número finito de puntos.
Las clases importantes de poliedros convexos incluyen los sólidos platónicos altamente simétricos , los sólidos de Arquímedes y sus duales, los sólidos catalanes , y los sólidos de Johnson de caras regulares .
Muchos de los poliedros más estudiados son altamente simétricos , es decir, su apariencia no cambia por alguna reflexión o rotación del espacio. Cada una de estas simetrías puede cambiar la ubicación de un vértice, cara o arista determinado, pero el conjunto de todos los vértices (así como caras y aristas) no cambia. El conjunto de simetrías de un poliedro se llama grupo de simetría .
Se dice que todos los elementos que pueden superponerse entre sí por simetrías forman una órbita de simetría . Por ejemplo, todas las caras de un cubo se encuentran en una órbita, mientras que todas las aristas se encuentran en otra. Si todos los elementos de una dimensión dada, digamos todas las caras, se encuentran en la misma órbita, se dice que la figura es transitiva en esa órbita. Por ejemplo, un cubo es transitivo de caras, mientras que un cubo truncado tiene dos órbitas de simetría de caras.
La misma estructura abstracta puede soportar poliedros geométricos más o menos simétricos. Pero cuando se da un nombre poliédrico, como icosidodecaedro , casi siempre se da a entender la geometría más simétrica, a menos que se indique lo contrario. [ cita necesaria ]
Hay varios tipos de poliedro altamente simétrico, clasificados según el tipo de elemento (caras, aristas o vértices) que pertenecen a una única órbita de simetría:
Algunas clases de poliedros tienen un solo eje principal de simetría. Estos incluyen las pirámides , bipirámides , trapezoedros , cúpulas , así como los prismas semirregulares y antiprismas.
Los poliedros regulares son los más simétricos. En total hay nueve poliedros regulares: cinco poliedros convexos y cuatro poliedros en estrella.
Los cinco ejemplos convexos se conocen desde la antigüedad y se denominan sólidos platónicos . Estos son la pirámide triangular o tetraedro , cubo , octaedro , dodecaedro e icosaedro :
También hay cuatro poliedros de estrellas regulares, conocidos como poliedros de Kepler-Poinsot en honor a sus descubridores.
El dual de un poliedro regular también es regular.
Los poliedros uniformes son transitivos por vértices y cada cara es un polígono regular . Pueden subdividirse en regulares , cuasiregulares o semirregulares , y pueden ser convexos o estrellados.
Los duales de los poliedros uniformes tienen caras irregulares pero son transitivas de caras , y cada figura de vértice es un polígono regular. Un poliedro uniforme tiene las mismas órbitas de simetría que su poliedro dual, con las caras y los vértices simplemente intercambiados. Los duales de los poliedros convexos de Arquímedes a veces se denominan sólidos catalanes .
Los poliedros uniformes y sus duales se clasifican tradicionalmente según su grado de simetría y si son convexos o no.
Un isoedro es un poliedro cuyas simetrías actúan transitivamente sobre sus caras. Su topología se puede representar mediante una configuración de caras . Los 5 sólidos platónicos y los 13 sólidos catalanes son isoedros, así como las infinitas familias de trapezoedros y bipirámides . Algunos isoedros permiten variaciones geométricas, incluidas formas cóncavas y que se cruzan entre sí.
Muchas de las simetrías o grupos de puntos en tres dimensiones llevan el nombre de poliedros que tienen la simetría asociada. Éstas incluyen:
Aquellos con simetría quiral no tienen simetría de reflexión y, por lo tanto, tienen dos formas enantiomorfas que son reflejos entre sí. Los ejemplos incluyen el cuboctaedro chato y el icosidodecaedro chato .
Además de los poliedros regulares y uniformes, existen otras clases que tienen caras regulares pero una simetría general más baja.
Los poliedros convexos donde cada cara es el mismo tipo de polígono regular se pueden encontrar en tres familias:
Los poliedros con caras regulares congruentes de seis o más lados son todos no convexos.
El número total de poliedros convexos con caras regulares iguales es, por tanto, diez: los cinco sólidos platónicos y los cinco deltaedros no uniformes. [8] Hay infinitos ejemplos no convexos. En algunas de estas familias existen infinitos ejemplos parecidos a esponjas llamados poliedros sesgados infinitos .
Norman Johnson buscó qué poliedros convexos no uniformes tenían caras regulares, aunque no necesariamente todos iguales. En 1966, publicó una lista de 92 de esos sólidos, les dio nombres y números y conjeturó que no había otros. Víctor Zalgaller demostró en 1969 que la lista de estos sólidos de Johnson estaba completa.
Las pirámides incluyen algunos de los poliedros más consagrados y famosos, como las pirámides egipcias de cuatro lados .
La estelación de un poliedro es el proceso de extender las caras (dentro de sus planos) para que se unan para formar un nuevo poliedro.
El facetado es el proceso de eliminar partes de un poliedro para crear nuevas caras o facetas, sin crear ningún vértice nuevo. [34] [35] Una faceta de un poliedro es cualquier polígono cuyas esquinas son vértices del poliedro y no es una cara . [34]
La estelación y el facetado son procesos inversos o recíprocos: el dual de alguna estelación es un facetado del dual con respecto al poliedro original.
Un zonoedro es un poliedro convexo en el que cada cara es un polígono simétrico bajo rotaciones de 180°. Los zonoedros también se pueden caracterizar como sumas de segmentos de línea de Minkowski e incluyen varios poliedros importantes que llenan el espacio. [36]
Un poliedro que llena el espacio se empaqueta con copias de sí mismo para llenar el espacio. Este tipo de empaquetado o relleno de espacio se denomina a menudo teselación del espacio o panal. Los poliedros que llenan el espacio deben tener una invariante de Dehn igual a cero. Algunos panales involucran más de un tipo de poliedro.
Un poliedro convexo en el que todos los vértices tienen coordenadas enteras se llama poliedro reticular o poliedro integral . El polinomio de Ehrhart de un poliedro reticular cuenta cuántos puntos con coordenadas enteras se encuentran dentro de una copia escalada del poliedro, en función del factor de escala. El estudio de estos polinomios se encuentra en la intersección de la combinatoria y el álgebra conmutativa . [37] Existe una equivalencia de gran alcance entre los poliedros reticulares y ciertas variedades algebraicas llamadas variedades tóricas . [38] Stanley utilizó esto para demostrar las ecuaciones de Dehn-Sommerville para politopos simpliciales . [39]
Es posible que algunos poliedros cambien su forma general, manteniendo la misma forma de sus caras, variando los ángulos de sus bordes. Un poliedro que puede hacer esto se llama poliedro flexible. Según el teorema de rigidez de Cauchy , los poliedros flexibles deben ser no convexos. El volumen de un poliedro flexible debe permanecer constante mientras se flexiona; este resultado se conoce como teorema del fuelle. [40]
Un compuesto poliédrico está formado por dos o más poliedros que comparten un centro común. Los compuestos simétricos a menudo comparten los mismos vértices que otros poliedros conocidos y, a menudo, también pueden formarse mediante estelación. Algunos figuran en la lista de modelos de poliedros de Wenninger .
Un poliedro ortogonal es aquel cuyas caras se encuentran en ángulo recto y todas sus aristas son paralelas a los ejes de un sistema de coordenadas cartesiano. ( El icosaedro de Jessen proporciona un ejemplo de un poliedro que cumple una de estas dos condiciones, pero no ambas). Aparte de los cuboides rectangulares , los poliedros ortogonales no son convexos. Son los análogos 3D de los polígonos ortogonales 2D, también conocidos como polígonos rectilíneos . Los poliedros ortogonales se utilizan en geometría computacional , donde su estructura restringida ha permitido avances en problemas no resueltos para poliedros arbitrarios, por ejemplo, desplegar la superficie de un poliedro en una red poligonal . [41]
Los policubos son un caso especial de poliedros ortogonales que se pueden descomponer en cubos idénticos y son análogos tridimensionales de los poliominós planos . [42]
Los mapas regulares son 2 variedades abstractas transitivas de bandera y ya se han estudiado en el siglo XIX. Algunos de ellos tienen incrustaciones poliédricas tridimensionales como la que representa la cuarta de Klein.
Cada poliedro convexo es combinatoriamente equivalente a un poliedro canónico esencialmente único , un poliedro que tiene una mediaesfera tangente a cada una de sus aristas. [43]
El nombre "poliedro" se ha utilizado para una variedad de objetos que tienen propiedades estructurales similares a los poliedros tradicionales.
Una superficie poliédrica clásica tiene un número finito de caras, unidas en pares a lo largo de las aristas. Los apeiroedros forman una clase relacionada de objetos con infinitas caras. Ejemplos de apeiroedros incluyen:
Hay objetos llamados poliedros complejos, para los cuales el espacio subyacente es un espacio de Hilbert complejo en lugar de un espacio euclidiano real. Sólo existen definiciones precisas para los poliedros complejos regulares, cuyos grupos de simetría son grupos de reflexión complejos . Los poliedros complejos están matemáticamente más relacionados con configuraciones que con poliedros reales. [44]
Algunos campos de estudio permiten que los poliedros tengan caras y aristas curvas. Las caras curvas pueden permitir que existan caras digonales con un área positiva.
Cuando la superficie de una esfera se divide por un número finito de arcos grandes (equivalentemente, por planos que pasan por el centro de la esfera), el resultado se llama poliedro esférico. Muchos politopos convexos que tienen cierto grado de simetría (por ejemplo, todos los sólidos platónicos) se pueden proyectar sobre la superficie de una esfera concéntrica para producir un poliedro esférico. Sin embargo, el proceso inverso no siempre es posible; algunos poliedros esféricos (como los hosoedros ) no tienen un análogo de cara plana. [45]
Si se permite que las caras sean tanto cóncavas como convexas, se pueden hacer que las caras adyacentes se junten sin espacios. Algunos de estos poliedros curvos pueden agruparse para llenar el espacio. Dos tipos importantes son:
Los poliedros convexos se pueden definir en un espacio hiperbólico tridimensional de la misma manera que en el espacio euclidiano, como las cáscaras convexas de conjuntos finitos de puntos. Sin embargo, en el espacio hiperbólico también es posible considerar puntos ideales además de los puntos que se encuentran dentro del espacio. Un poliedro ideal es la cáscara convexa de un conjunto finito de puntos ideales. Sus caras son polígonos ideales, pero sus aristas están definidas por líneas hiperbólicas enteras en lugar de segmentos de línea, y sus vértices (cuyos puntos ideales es el casco convexo) no se encuentran dentro del espacio hiperbólico.
Al olvidar la estructura de las caras, cualquier poliedro da lugar a un grafo , llamado esqueleto , con sus correspondientes vértices y aristas. Estas figuras tienen una larga historia: Leonardo da Vinci ideó modelos estructurales de sólidos regulares, que dibujó para el libro Divina Proportione de Pacioli , y poliedros de estructura metálica similares aparecen en el grabado Stars de MC Escher . [48] Un punto culminante de este enfoque es el teorema de Steinitz , que da una caracterización puramente teórica de grafos de los esqueletos de poliedros convexos: establece que el esqueleto de cada poliedro convexo es un grafo plano de 3 conexos , y cada grafo plano de 3 conexos El gráfico es el esqueleto de algún poliedro convexo.
Una idea temprana de los poliedros abstractos se desarrolló en el estudio de Branko Grünbaum sobre los "poliedros de caras huecas". Grünbaum definió las caras como conjuntos de vértices ordenados cíclicamente y les permitió ser tanto sesgadas como planas. [2]
La perspectiva gráfica permite aplicar terminología y propiedades gráficas a los poliedros. Por ejemplo, el tetraedro y el poliedro de Császár son los únicos poliedros conocidos cuyos esqueletos son grafos completos (K 4 ), y varias restricciones de simetría en los poliedros dan lugar a esqueletos que son grafos simétricos .
Desde la segunda mitad del siglo XX, se ha descubierto que varias construcciones matemáticas tienen propiedades también presentes en los poliedros tradicionales. En lugar de limitar el término "poliedro" a describir un politopo tridimensional, se ha adoptado para describir varios tipos de estructura relacionados pero distintos.
Un poliedro se ha definido como un conjunto de puntos en un espacio afín real (o euclidiano ) de cualquier dimensión n que tiene lados planos. Alternativamente, puede definirse como la intersección de un número finito de semiespacios . A diferencia de un poliedro convencional, puede ser acotado o ilimitado. En este sentido, un politopo es un poliedro acotado. [14] [15]
Analíticamente, dicho poliedro convexo se expresa como el conjunto solución de un sistema de desigualdades lineales. Definir los poliedros de esta manera proporciona una perspectiva geométrica para los problemas de programación lineal . [49] : 9
Un politopo topológico es un espacio topológico dado junto con una descomposición específica en formas que son topológicamente equivalentes a politopos convexos y que están unidas entre sí de forma regular.
Tal figura se llama simplicial si cada una de sus regiones es un simplex , es decir, en un espacio n -dimensional cada región tiene n +1 vértices. El dual de un politopo simplicial se llama simple . De manera similar, una clase de politopos (poliedros) ampliamente estudiada es la de los poliedros cúbicos, cuando el bloque de construcción básico es un cubo de n dimensiones.
Un politopo abstracto es un conjunto parcialmente ordenado (poset) de elementos cuyo ordenamiento parcial obedece a ciertas reglas de incidencia (conectividad) y clasificación. Los elementos del conjunto corresponden a los vértices, aristas, caras, etc. del politopo: los vértices tienen rango 0, las aristas rango 1, etc. con la clasificación parcialmente ordenada correspondiente a la dimensionalidad de los elementos geométricos. El conjunto vacío, requerido por la teoría de conjuntos, tiene un rango de −1 y a veces se dice que corresponde al politopo nulo. Un poliedro abstracto es un politopo abstracto que tiene la siguiente clasificación:
Entonces se dice que cualquier poliedro geométrico es una "realización" en el espacio real del poset abstracto como se describe anteriormente.
Los poliedros aparecieron en formas arquitectónicas tempranas , como cubos y paralelepípedos, y las primeras pirámides egipcias de cuatro lados datan del siglo 27 a.C. [51] El Papiro Matemático de Moscú de aproximadamente 1800-1650 a. C. incluye un estudio escrito temprano de los poliedros y sus volúmenes (específicamente, el volumen de un tronco ). [52] Las matemáticas del Antiguo Imperio Babilónico , aproximadamente del mismo período que el Papiro de Moscú, también incluían cálculos de los volúmenes de los cuboides (y de los cilindros no poliédricos ), y cálculos de la altura de dicha forma necesaria para alcanzar un volumen determinado. [53]
Los etruscos precedieron a los griegos en el conocimiento de al menos algunos de los poliedros regulares, como lo demuestra el descubrimiento de un dodecaedro etrusco hecho de esteatita en Monte Loffa . Sus caras estaban marcadas con diferentes diseños, lo que sugiere a algunos estudiosos que pudo haber sido utilizado como dado de juego. [54]
Los antiguos matemáticos griegos descubrieron y estudiaron los poliedros regulares convexos , que llegaron a ser conocidos como sólidos platónicos . Su primera descripción escrita se encuentra en el Timeo de Platón (hacia 360 a. C.), que asocia cuatro de ellos con los cuatro elementos y el quinto con la forma general del universo. Poco después se escribió un tratamiento más matemático de estos cinco poliedros en los Elementos de Euclides . Uno de los primeros comentaristas de Euclides (posiblemente Gémino ) escribe que la atribución de estas formas a Platón es incorrecta: Pitágoras conocía el tetraedro , el cubo y el dodecaedro , y Teeteto (alrededor de 417 a. C.) descubrió los otros dos, el octaedro y el icosaedro . [55] Más tarde, Arquímedes amplió su estudio a los poliedros uniformes convexos que ahora llevan su nombre. Su obra original se ha perdido y sus sólidos nos llegan a través de Pappus . [56]
Tanto los dados cúbicos como los de 14 caras en forma de octaedro truncado en China se remontan al período de los Reinos Combatientes . [57]
Hacia el año 236 d.C., Liu Hui estaba describiendo la disección del cubo en su tetraedro característico ( ortoesquema ) y sólidos relacionados, utilizando conjuntos de estos sólidos como base para calcular los volúmenes de tierra que se moverían durante las excavaciones de ingeniería. [58]
Después del final de la era clásica, los estudiosos de la civilización islámica continuaron desarrollando el conocimiento griego (ver Matemáticas en el Islam medieval ). [59] El erudito del siglo IX Thabit ibn Qurra incluyó el cálculo de volúmenes en sus estudios, [60] y escribió un trabajo sobre el cuboctaedro . Luego, en el siglo X, Abu'l Wafa describió los poliedros esféricos regulares convexos y cuasiregulares. [61]
Como ocurrió con otras áreas del pensamiento griego mantenidas y potenciadas por los eruditos islámicos, el interés occidental por los poliedros revivió durante el Renacimiento italiano . Los artistas construyeron poliedros esqueléticos, representándolos desde la vida como parte de sus investigaciones en perspectiva . [63] Los poliedros toroidales , hechos de madera y utilizados para sostener sombreros, se convirtieron en un ejercicio común en el dibujo en perspectiva y fueron representados en paneles de marquetería de la época como símbolo de la geometría. [64] Piero della Francesca escribió sobre la construcción de vistas en perspectiva de poliedros y redescubrió muchos de los sólidos de Arquímedes. Leonardo da Vinci ilustró modelos esqueléticos de varios poliedros para un libro de Luca Pacioli , [65] con texto en gran parte plagiado de della Francesca. [66] Las redes poliédricas hacen acto de presencia en la obra de Alberto Durero . [67]
Varias obras de esta época investigan los poliedros estelares y otras elaboraciones de las formas platónicas básicas. Una tarsia de mármol en el suelo de la Basílica de San Marcos , Venecia, diseñada por Paolo Uccello , representa un dodecaedro estrellado. [68] A medida que el Renacimiento se extendió más allá de Italia, artistas posteriores como Wenzel Jamnitzer , Durero y otros también representaron poliedros de complejidad creciente, muchos de ellos novedosos, en grabados imaginativos. [63] Johannes Kepler (1571-1630) utilizó polígonos estelares , normalmente pentagramas , para construir poliedros estelares. Es posible que algunas de estas figuras hayan sido descubiertas antes de la época de Kepler, pero él fue el primero en reconocer que podían considerarse "regulares" si se eliminaba la restricción de que los poliedros regulares debían ser convexos. [69]
En el mismo período, la fórmula poliédrica de Euler , una ecuación lineal que relaciona el número de vértices, aristas y caras de un poliedro, fue establecida para los sólidos platónicos en 1537 en un manuscrito inédito de Francesco Maurolico . [70]
René Descartes , hacia 1630, escribió su libro De solidorum elementis estudiando los poliedros convexos como concepto general, no limitado a los sólidos platónicos y sus elaboraciones. La obra se perdió y no fue redescubierta hasta el siglo XIX. Uno de sus aportes fue el teorema de Descartes sobre el defecto angular total , el cual está estrechamente relacionado con la fórmula poliédrica de Euler. [71] Leonhard Euler , que da nombre a la fórmula, la introdujo en 1758 para los poliedros convexos de manera más general, aunque con una demostración incorrecta. [72] El trabajo de Euler (junto con su solución anterior al rompecabezas de los Siete Puentes de Königsberg ) se convirtió en la base del nuevo campo de la topología . [73] Los conceptos centrales de este campo, incluidas las generalizaciones de la fórmula poliédrica, fueron desarrollados a finales del siglo XIX por Henri Poincaré , Enrico Betti , Bernhard Riemann y otros. [74]
A principios del siglo XIX, Louis Poinsot amplió el trabajo de Kepler y descubrió los dos poliedros de estrellas regulares restantes. Poco después, Augustin-Louis Cauchy demostró que la lista de Poinsot estaba completa, sujeto a la suposición no declarada de que la secuencia de vértices y aristas de cada lado poligonal no puede admitir repeticiones (una suposición que había sido considerada pero rechazada en el trabajo anterior de AFL Meister). [75] Llegaron a ser conocidos como poliedros de Kepler-Poinsot , y sus nombres habituales fueron dados por Arthur Cayley . [76] Mientras tanto, el descubrimiento de dimensiones superiores a principios del siglo XIX llevó a Ludwig Schläfli en 1853 a la idea de politopos de dimensiones superiores. [77] Además, a finales del siglo XIX, el cristalógrafo ruso Evgraf Fedorov completó la clasificación de paraleloedros , poliedros convexos que mosaico el espacio mediante traslaciones. [78]
Las matemáticas en el siglo XX surgieron con los problemas de Hilbert , uno de los cuales, el tercer problema de Hilbert , se refería a los poliedros y sus disecciones . Fue rápidamente resuelto por el alumno de Hilbert, Max Dehn , introduciendo el invariante de Dehn de los poliedros. [79] El teorema de Steinitz , publicado por Ernst Steinitz en 1992, caracterizó las gráficas de poliedros convexos, incorporando ideas modernas de la teoría de grafos y la combinatoria al estudio de los poliedros. [80]
Los poliedros de Kepler-Poinsot pueden construirse a partir de sólidos platónicos mediante un proceso llamado estelación . La mayoría de las estelaciones no son regulares. El estudio de las estelaciones de los sólidos platónicos recibió un gran impulso por parte de HSM Coxeter y otros en 1938, con el ahora famoso artículo Los 59 icosaedros . [81] El análisis de Coxeter marcó un renacimiento del interés por la geometría. El propio Coxeter enumeró por primera vez los poliedros uniformes estelares, trató los mosaicos del plano como poliedros, descubrió los poliedros sesgados regulares y desarrolló la teoría de los poliedros complejos descubierta por primera vez por Shephard en 1952, además de hacer contribuciones a muchas otras áreas de la geometría. [82]
En la segunda parte del siglo XX, tanto Branko Grünbaum como Imre Lakatos señalaron la tendencia entre los matemáticos a definir un "poliedro" de maneras diferentes y a veces incompatibles para adaptarse a las necesidades del momento. [1] [2] En una serie de artículos, Grünbaum amplió la definición aceptada de poliedro, descubriendo muchos nuevos poliedros regulares . A finales del siglo XX, estas últimas ideas se fusionaron con otros trabajos sobre complejos de incidencia para crear la idea moderna de un poliedro abstracto (como un politopo abstracto de 3), presentada en particular por McMullen y Schulte. [83]
Los poliedros hacen una aparición frecuente en la geometría computacional , los gráficos por computadora y el diseño geométrico modernos con temas que incluyen la reconstrucción de superficies poliédricas o mallas de superficies a partir de puntos de datos dispersos, [84] geodésicas en superficies poliédricas, [85] visibilidad e iluminación en escenas poliédricas, [86] policubos y otros poliedros no convexos con lados paralelos al eje, [87] formas algorítmicas del teorema de Steinitz, [88] y el problema aún sin resolver de la existencia de redes poliédricas para poliedros convexos. [89]
Para apariciones naturales de poliedros regulares, consulte Poliedro regular § Poliedros regulares en la naturaleza .
Los poliedros irregulares aparecen en la naturaleza como cristales .
con frecuencia se proponen y discuten definiciones sobre.
{{citation}}: Mantenimiento CS1: varios nombres: lista de editores ( enlace ); para cotización, consulte la pág. 43.Un hosoedro sólo es posible en una esfera.
