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Poliedro de Császár

En geometría , el poliedro de Császár ( húngaro: [ˈt͡ʃaːsaːr] ) es un poliedro toroidal no convexo con 14 caras triangulares .

Este poliedro no tiene diagonales ; cada par de vértices está conectado por una arista. Los siete vértices y 21 aristas del poliedro de Császár forman una incrustación del grafo completo K 7 en un toro topológico . De los 35 triángulos posibles a partir de los vértices del poliedro, solo 14 son caras.

Gráfica completa

Modelo STL 3D de un poliedro de Császár
Proyección ortográfica interactiva de un poliedro de Csaszar. En la imagen SVG, mueva el ratón hacia la izquierda y hacia la derecha para rotar el modelo.

El tetraedro y el poliedro de Császár son los únicos dos poliedros conocidos (que tienen un límite múltiple ) sin diagonales: cada dos vértices del polígono están conectados por una arista, por lo que no hay ningún segmento de línea entre dos vértices que no se encuentre en el límite del poliedro. Es decir, los vértices y las aristas del poliedro de Császár forman un grafo completo . [1]

La descripción combinatoria de este poliedro fue descrita anteriormente por Möbius . [2] Se pueden encontrar tres poliedros diferentes adicionales de este tipo en un artículo de Bokowski & Eggert (1991). [3]

Si el contorno de un poliedro con v vértices forma una superficie con h agujeros, de tal manera que cada par de vértices está conectado por una arista, se deduce por alguna manipulación de la característica de Euler que [4] Esta ecuación se satisface para el tetraedro con h = 0 y v = 4, y para el poliedro de Császár con h = 1 y v = 7. La siguiente solución posible, h = 6 y v = 12, correspondería a un poliedro con 44 caras y 66 aristas, pero no es realizable como poliedro. [5] No se sabe si tal poliedro existe con un género superior. [6]

De manera más general, esta ecuación puede satisfacerse sólo cuando v es congruente con 0, 3, 4 o 7 módulo 12. [7]

Historia y poliedros relacionados

El poliedro de Császár lleva el nombre del topólogo húngaro Ákos Császár , quien lo descubrió en 1949. [8] El poliedro dual del poliedro de Császár, el poliedro Szilassi , fue descubierto más tarde, en 1977, por Lajos Szilassi ; tiene 14 vértices, 21 aristas y siete caras hexagonales , cada una de las cuales comparte una arista con las demás. Al igual que el poliedro de Császár, el poliedro de Szilassi tiene la topología de un toroide. [9] [10]

Existen otros poliedros conocidos, como el poliedro de Schönhardt , para el cual no existen diagonales interiores (es decir, todas las diagonales están fuera del poliedro), así como superficies no múltiples sin diagonales. [11] [12]

Referencias

  1. ^ Gardner, Martin (1988), Viajes en el tiempo y otros desconciertos matemáticos, WH Freeman and Company, pág. 140, Bibcode :1988ttom.book.....G, ISBN 0-7167-1924-X
  2. ^ Möbius, AF (1967) [1886], "Mittheilungen aus Möbius' Nachlass: I", en Klein, Felix (ed.), Zur Theorie der Polyëder und der Elementarverwandtschaft , Gesammelte Werke, vol. II, pág. 552, OCLC  904788205
  3. ^ Bokowski, J.; Eggert, A. (1991), "Todas las realizaciones del toro de Möbius con 7 vértices", Structural Topology , 17 : 59–76, CiteSeerX 10.1.1.970.6870 , hdl :2099/1067 
  4. ^ Gardner (1988), pág. 142.
  5. ^ Bokowski, J.; Guedes de Oliveira, A. (2000), "Sobre la generación de matroides orientadas", Discrete & Computational Geometry , 24 : 197–208, doi :10.1007/s004540010027
  6. ^ Ziegler, Günter M. (2008), "Superficies poliédricas de alto género", en Bobenko, AI; Schröder, P.; Sullivan, JM ; Ziegler, GM (eds.), Geometría diferencial discreta , Oberwolfach Seminars, vol. 38, Springer-Verlag, págs. 191–213, arXiv : math.MG/0412093 , doi :10.1007/978-3-7643-8621-4_10, ISBN 978-3-7643-8620-7, S2CID15911143 ​
  7. ^ Lutz, Frank H. (2001), "Toroide de Császár", Modelos de geometría electrónica : 2001.02.069
  8. ^ Császár, A. (1949), "Un poliedro sin diagonales" (PDF) , Acta Sci. Matemáticas. Szeged , 13 : 140–142, archivado desde el original (PDF) el 18 de septiembre de 2017.
  9. ^ Szilassi, Lajos (1986), "Toroides regulares" (PDF) , Topología estructural , 13 : 69–80
  10. ^ Gardner, Martin (1992), Música fractal, hipertarjetas y más: recreaciones matemáticas de Scientific American , WH Freeman and Company, pág. 118, ISBN 0-7167-2188-0
  11. ^ Szabó, Sándor (1984), "Poliedros sin diagonales", Periodica Mathematica Hungarica , 15 (1): 41–49, doi :10.1007/BF02109370, S2CID  189834222
  12. ^ Szabó, Sándor (2009), "Poliedros sin diagonales II", Periodica Mathematica Hungarica , 58 (2): 181–187, doi :10.1007/s10998-009-10181-x, S2CID  45731540

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