Derivada
Un ejemplo habitual aparece al estudiar el movimiento: si una función representa la posición de un objeto con respecto al tiempo, su derivada es la velocidad de dicho objeto para todos los momentos.
Sin embargo, puede estar viajando a velocidades mayores o menores en distintos tramos de la ruta.
En particular, si entre las 15:00 y las 15:30 recorre 400 km, su velocidad media en ese tramo es de 800 km/h.
Los problemas típicos que dieron origen al cálculo infinitesimal comenzaron a plantearse en la época clásica de la antigua Grecia (siglo III a. C.), pero no se encontraron métodos sistemáticos de resolución hasta diecinueve siglos después (en el siglo XVII por obra de Isaac Newton y Gottfried Leibniz).
Los matemáticos perdieron el miedo que los griegos les habían tenido a los infinitesimales: Johannes Kepler y Bonaventura Cavalieri fueron los primeros en usarlos, empezaron a andar un camino que llevaría en medio siglo al descubrimiento del cálculo infinitesimal.
A mediados del siglo XVII las cantidades infinitesimales fueron cada vez más usadas para resolver problemas de cálculos de tangentes, áreas, volúmenes; los primeros darían origen al cálculo diferencial, los otros al integral.
A finales del siglo XVII se sintetizaron en dos conceptos los algoritmos usados por sus predecesores, en lo que hoy llamamos «derivada» e «integral».
La historia de la matemática reconoce que Isaac Newton y Gottfried Leibniz son los creadores del cálculo diferencial e integral.
Newton desarrolló en Cambridge su propio método para el cálculo de tangentes.
En 1665 encontró un algoritmo para derivar funciones algebraicas que coincidía con el descubierto por Fermat.
Gottfried Leibniz, por su parte, formuló y desarrolló el cálculo diferencial en 1675.
Fue el primero en publicar los mismos resultados que Isaac Newton descubriera 10 años antes, de manera independiente.
En su investigación conservó un carácter geométrico y trató a la derivada como un cociente incremental y no como una velocidad, viendo el sentido de su correspondencia con la pendiente de la recta tangente a la curva en dicho punto.
Por su importancia, hay un antes y un después de tal concepto que biseca las matemáticas previas, como el álgebra, la trigonometría o la geometría analítica, del cálculo.
, se considera la derivada como la pendiente de la recta tangente del gráfico en el punto
Afortunadamente, gran cantidad de las funciones que se consideran en las aplicaciones prácticas son continuas y su gráfica es una curva suave, por lo que es susceptible de derivación.
El valor de esta pendiente será aproximadamente igual a la pendiente de una recta secante a la gráfica que pase por el punto
tiende a cero: No obstante, esta definición sólo es válida cuando el límite es un número real: en los puntos
Más precisamente, esto se debe a que, si una función
es igual a 1, por lo que el cociente diferencial no tendrá un límite bien definido.
, que se define como Esta función es continua en el punto
, a pesar de que la función sea continua en dicho punto.
La notación más simple para diferenciación, en uso actual, se debe a Lagrange, y consiste en denotar la derivada de una función
La derivada cuarta y siguientes se pueden denotar de dos formas: Esta última opción da lugar también a la notación
También facilita recordar la regla de la cadena, porque los términos «d» parecen cancelarse simbólicamente: En la formulación popular del cálculo mediante límites, los términos «d» no pueden cancelarse literalmente, porque por sí mismos son indefinidos; son definidos solamente cuando se usan juntos para expresar una derivada.
Ciertamente, Leibnitz (sí) consideró la derivada dy/dx como el cociente de dos «infinitésimos» dy y dx, llamados «diferenciales».
Esta notación de Newton se usa principalmente en mecánica, normalmente para derivadas que involucran la variable tiempo, como variable independiente; tales como velocidad y aceleración, y en teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias.
[6] El concepto principal detrás del FCS es la caracterización de los elementos del cálculo fraccional utilizando conjuntos debido a la gran cantidad de operadores fraccionales disponibles.
En ese momento, Leibniz no pudo proporcionar una interpretación física o geométrica para esta pregunta, por lo que simplemente respondió a L’Hopital en una carta que "... es una aparente paradoja de la cual, algún día, se derivarán consecuencias útiles".
El nombre "cálculo fraccional" se origina a partir de una pregunta histórica, ya que esta rama del análisis matemático estudia derivadas e integrales de un cierto orden
