Cuerpo finito

Salvo isomorfismo,[2]​ un cuerpo finito está unívocamente determinado por su cardinal, que siempre es una potencia de un número primo.De hecho, este mismo número primo es su característica., que se presenta como la única extensión de gradoEn teoría de números algebraicos aparecen como una estructura esencial en la geometría aritmética.Esta rama ha permitido, entre otras cosas, demostrar el último teorema de Fermat.Los cuerpos finitos han encontrado nuevas aplicaciones con el desarrollo de la informática.(del inglés field, que significa cuerpo conmutativo) odebe tener un elemento opuesto (en este caso será el mismose llaman funciones booleanas en honor a George Boole.para todos los elementos, y un cálculo eficaz del mismo mediante el algoritmo de Euclides extendido:Así podemos construir cuerpos finitos con cardinalidad cualquier número primo.Los polinomios irreducibles juegan aquí el papel de los números primos allí.si se obtiene el mismo resto para al hacer la división porDe manera totalmente análoga al caso anterior tenemos que: Proposición: El anilloEn particular, el cuerpo que vamos a construir es independiente de la elección del polinomio irreducibleDado que todo cuerpo de característica 0 contiene a los racionales y es por lo tanto infinito, todos los cuerpos finitos tienen característica p prima.Por lo tanto, su tamaño (o cardinalidad) es de la forma pn, para algún entero positivo n > 0 (pues el cuerpo es un espacio vectorial sobre el subcuerpo de cardinalidad p generado por el elemento 1).Sin embargo, no es cierto en general que todo cuerpo de característica prima sea finito.Sean a y b ≠ 0, elementos de F'[7], diremos que a÷b = c s.s.s.donde la suma y la multiplicación quedan definidas considerando queObsérvese que el campo F4 no tiene relación con el anillo Z4 de enteros módulo 4.Para construir el campo F[33], se comienza con el polinomio irreducible (en F3) x3 + x2 + x - 1.para algún r que divide a m, entonces satisfacePor tanto G contiene un elemento de orden n por lo que es cíclico.En la práctica, aunque calcular xn es relativamente trivial dado n, encontrar n para un a dado es un problema difícil, por lo que resulta de interés en criptografía.La razón para la dirección "si" es que hay polinomios irreducibles de cualquier grado en Fpm.Si se construyen los campos finitos de forma tal que Fpn esté efectivamente contenido en Fpm siempre que n divida a m, se puede tomar la unión de todos esos campos; ésta es también un campo de característica p, aunque infinito.Aun si no se construyen de esta manera los campos, se puede hablar de su clausura algebraica, aunque su construcción es ahora más delicada.El teorema fue demostrado por Joseph Wedderburn en 1905, lo que supuso un avance en el ámbito de los anillos conmutativos.El automorfismo de Frobenius tiene orden n, y por lo tanto el grupo cíclico generado por este es el grupo completo de automorfismos del cuerpo.