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Educación matemática

Un niño calculando con los dedos (2006)

En la educación contemporánea , la educación matemática —conocida en Europa como didáctica o pedagogía de las matemáticas— es la práctica de enseñar , aprender y realizar investigaciones académicas sobre la transferencia de conocimiento matemático.

Aunque la investigación sobre la enseñanza de las matemáticas se centra principalmente en las herramientas, métodos y enfoques que facilitan la práctica o el estudio de la práctica, también abarca un amplio campo de estudio que abarca una variedad de conceptos, teorías y métodos diferentes. Las organizaciones nacionales e internacionales celebran periódicamente conferencias y publican bibliografía con el fin de mejorar la enseñanza de las matemáticas.

Historia

Antiguo

Las matemáticas elementales eran una parte central de la educación en muchas civilizaciones antiguas, incluyendo el antiguo Egipto , la antigua Babilonia , la antigua Grecia , la antigua Roma y la India védica . [ cita requerida ] En la mayoría de los casos, la educación formal solo estaba disponible para niños varones con un estatus, riqueza o casta suficientemente altos . [ cita requerida ] El libro de texto de matemáticas más antiguo conocido es el papiro Rhind , que data de alrededor de 1650 a. C. [1]

Teorema de Pitágoras

Los historiadores de Mesopotamia han confirmado que el uso de la regla pitagórica se remonta al Antiguo Imperio Babilónico (siglos XX-XVI a. C.) y que se enseñaba en las escuelas de escribas más de mil años antes del nacimiento de Pitágoras . [2] [3] [4] [5] [6]

En la división de Platón de las artes liberales en trivium y quadrivium , el quadrivium incluía los campos matemáticos de la aritmética y la geometría . Esta estructura se mantuvo en la estructura de la educación clásica que se desarrolló en la Europa medieval. La enseñanza de la geometría se basaba casi universalmente en los Elementos de Euclides . Los aprendices de oficios como albañiles, comerciantes y prestamistas podían esperar aprender las matemáticas prácticas que fueran relevantes para su profesión.

Edad Media y principios de la Edad Moderna

Ilustración al comienzo de una traducción del siglo XIV de los Elementos de Euclides

En la Edad Media , el estatus académico de las matemáticas decayó, porque estaba fuertemente asociada con el comercio y se consideraba algo anticristiana. [7] Aunque se siguió enseñando en las universidades europeas , se la consideraba subordinada al estudio de la filosofía natural , metafísica y moral . El primer plan de estudios de aritmética moderna (que comenzaba con la suma , luego la resta , la multiplicación y la división ) surgió en las escuelas de cálculo de Italia en el siglo XIV. [8] Estos métodos, que se extendieron a lo largo de las rutas comerciales, fueron diseñados para ser utilizados en el comercio. Contrastaban con las matemáticas platónicas que se enseñaban en las universidades, que eran más filosóficas y se ocupaban de los números como conceptos en lugar de métodos de cálculo. [8] También contrastaban con los métodos matemáticos aprendidos por los aprendices artesanos , que eran específicos para las tareas y herramientas en cuestión. Por ejemplo, la división de una tabla en tercios se puede lograr con un trozo de cuerda, en lugar de medir la longitud y utilizar la operación aritmética de la división. [7]

Los primeros libros de texto de matemáticas escritos en inglés y francés fueron publicados por Robert Recorde , comenzando con The Grounde of Artes en 1543. Sin embargo, hay muchos escritos diferentes sobre matemáticas y metodología matemática que datan de 1800 a. C. Estos se encontraban principalmente en Mesopotamia, donde los sumerios practicaban la multiplicación y la división. También hay artefactos que demuestran su metodología para resolver ecuaciones como la ecuación cuadrática . Después de los sumerios, algunas de las obras antiguas más famosas sobre matemáticas vinieron de Egipto en forma del Papiro matemático de Rhind y el Papiro matemático de Moscú . El Papiro de Rhind, más famoso, se remonta aproximadamente a 1650 a. C., pero se cree que es una copia de un pergamino aún más antiguo. Este papiro era esencialmente un libro de texto temprano para estudiantes egipcios.

El estatus social del estudio de las matemáticas mejoró en el siglo XVII, cuando la Universidad de Aberdeen creó una Cátedra de Matemáticas en 1613, seguida por la Cátedra de Geometría establecida en la Universidad de Oxford en 1619 y la Cátedra Lucasiana de Matemáticas establecida por la Universidad de Cambridge en 1662.

Moderno

En los siglos XVIII y XIX, la Revolución Industrial provocó un enorme aumento de la población urbana . Las habilidades numéricas básicas, como la capacidad de decir la hora, contar dinero y realizar operaciones aritméticas sencillas , se volvieron esenciales en este nuevo estilo de vida urbano. Dentro de los nuevos sistemas de educación pública , las matemáticas se convirtieron en una parte central del plan de estudios desde una edad temprana.

En el siglo XX, las matemáticas formaban parte del currículo básico en todos los países desarrollados .

Durante el siglo XX, la enseñanza de las matemáticas se estableció como un campo de investigación independiente. Entre los principales acontecimientos que contribuyeron a este desarrollo se encuentran los siguientes:

A mediados del siglo XX, el impacto cultural de la " era electrónica " (McLuhan) también fue absorbido por la teoría educativa y la enseñanza de las matemáticas. Mientras que el enfoque anterior se centraba en "trabajar con 'problemas' especializados en aritmética ", el enfoque estructural emergente del conocimiento hizo que "los niños pequeños meditaran sobre la teoría de números y los ' conjuntos '". [10] Desde la década de 1980, ha habido una serie de esfuerzos para reformar el currículo tradicional, que se centra en las matemáticas continuas y relega incluso algunos conceptos discretos básicos a los estudios avanzados, para equilibrar mejor la cobertura de los aspectos continuos y discretos de la materia: [11]

También se están realizando esfuerzos similares para centrar más la atención en el modelado matemático y su relación con las matemáticas discretas. [12]

Objetivos

Niño haciendo cálculos, Guinea-Bissau, 1974

En diferentes épocas y en diferentes culturas y países, la enseñanza de las matemáticas ha intentado alcanzar diversos objetivos, entre los que se incluyen los siguientes:

Métodos

El método o los métodos utilizados en un contexto determinado están determinados en gran medida por los objetivos que el sistema educativo pertinente intenta alcanzar. Entre los métodos de enseñanza de las matemáticas se incluyen los siguientes:

Los juegos pueden motivar a los estudiantes a mejorar habilidades que normalmente se aprenden de memoria. En el "Bingo de números", los jugadores tiran 3 dados y luego realizan operaciones matemáticas básicas con esos números para obtener un nuevo número, que cubren en el tablero tratando de cubrir 4 casillas seguidas. Este juego se jugó en un "Día del descubrimiento" organizado por Big Brother Mouse en Laos.

Contenido y niveles de edad

Una conferencia de matemáticas en la Escuela de Ciencia y Tecnología de la Universidad Aalto

En los distintos países se enseñan distintos niveles de matemáticas a distintas edades y en secuencias algo diferentes. A veces, una clase puede enseñarse a una edad más temprana que la habitual, como una clase especial o de honores .

En la mayoría de los países, las matemáticas elementales se enseñan de manera similar, aunque existen diferencias. La mayoría de los países tienden a cubrir menos temas con mayor profundidad que en los Estados Unidos. [26] Durante los años de la escuela primaria, los niños aprenden sobre números enteros y aritmética, incluidas la suma, la resta, la multiplicación y la división. [27] Se enseñan comparaciones y mediciones , tanto en forma numérica como pictórica, así como fracciones y proporcionalidad , patrones y varios temas relacionados con la geometría. [28]

En la enseñanza secundaria, en la mayor parte de los Estados Unidos, el álgebra , la geometría y el análisis ( precálculo y cálculo ) se enseñan como cursos separados en diferentes años. Por otro lado, en la mayoría de los demás países (y en algunos estados de los Estados Unidos), las matemáticas se enseñan como una asignatura integrada, con temas de todas las ramas de las matemáticas estudiados cada año; así, los estudiantes realizan un curso predefinido, que implica varios temas, en lugar de elegir cursos a la carta como en los Estados Unidos. Sin embargo, incluso en estos casos, se pueden ofrecer varias opciones de "matemáticas", seleccionadas en función de los estudios previstos del estudiante después de la escuela secundaria. (En Sudáfrica, por ejemplo, las opciones son Matemáticas, Alfabetización matemática y Matemáticas técnicas). Por lo tanto, un plan de estudios orientado a la ciencia generalmente se superpone al primer año de matemáticas universitarias e incluye cálculo diferencial y trigonometría a los 16-17 años y cálculo integral , números complejos , geometría analítica , funciones exponenciales y logarítmicas y series infinitas en su último año de escuela secundaria; Con frecuencia también se enseñan la probabilidad y la estadística .

En los niveles universitarios y de colegio, los estudiantes de ciencias e ingeniería deberán cursar cálculo multivariable , ecuaciones diferenciales y álgebra lineal ; en varias universidades de EE. UU., la especialización menor o AS en matemáticas comprende sustancialmente estos cursos. Los estudiantes de matemáticas estudian otras áreas adicionales dentro de las matemáticas puras (y a menudo en matemáticas aplicadas) con el requisito de cursos avanzados específicos en análisis y álgebra moderna . Otros temas en matemáticas puras incluyen geometría diferencial , teoría de conjuntos y topología . Las matemáticas aplicadas pueden tomarse como una materia principal por derecho propio, como ecuaciones diferenciales parciales , optimización y análisis numérico . Se enseñan temas específicos dentro de otros cursos: por ejemplo, se puede requerir que los ingenieros civiles estudien mecánica de fluidos , [29] y las "matemáticas para la informática" pueden incluir teoría de grafos , permutación , probabilidad y pruebas matemáticas formales . [30] Los títulos en matemáticas puras y aplicadas a menudo incluyen módulos en teoría de probabilidad o estadística matemática , así como procesos estocásticos . La física ( teórica ) es una disciplina que se basa en el uso intensivo de las matemáticas y que a menudo se superpone sustancialmente con la carrera de matemáticas puras o aplicadas. Las matemáticas empresariales suelen limitarse al cálculo introductorio y (a veces) a los cálculos matriciales ; los programas de economía también abarcan la optimización , a menudo ecuaciones diferenciales y álgebra lineal , y a veces análisis.

Normas

Durante la mayor parte de la historia, los estándares para la educación matemática fueron establecidos localmente, por escuelas individuales o maestros, dependiendo de los niveles de logro que eran relevantes, realistas y considerados socialmente apropiados para sus alumnos.

En la época moderna, se ha producido una tendencia hacia la adopción de estándares regionales o nacionales, generalmente en el marco de un currículo escolar estándar más amplio. En Inglaterra , por ejemplo, los estándares para la enseñanza de las matemáticas se establecen como parte del Currículo Nacional de Inglaterra [31] , mientras que Escocia mantiene su propio sistema educativo. Muchos otros países tienen ministerios centralizados que establecen estándares o currículos nacionales y, a veces, incluso libros de texto.

Ma (2000) resumió la investigación de otros que, basándose en datos nacionales, descubrieron que los estudiantes con puntuaciones más altas en pruebas estandarizadas de matemáticas habían tomado más cursos de matemáticas en la escuela secundaria. Esto llevó a algunos estados a exigir tres años de matemáticas en lugar de dos. Pero como este requisito a menudo se cumplía tomando otro curso de matemáticas de nivel inferior, los cursos adicionales tuvieron un efecto “diluido” en el aumento de los niveles de rendimiento. [32]

En América del Norte, el Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas (NCTM) publicó los Principios y Estándares para las Matemáticas Escolares en 2000 para Estados Unidos y Canadá, lo que impulsó la tendencia hacia la reforma de las matemáticas . En 2006, el NCTM publicó los Puntos Focales del Currículo , que recomiendan los temas matemáticos más importantes para cada nivel de grado hasta el grado 8. Sin embargo, estos estándares eran pautas para implementar según eligieran los estados estadounidenses y las provincias canadienses. En 2010, el Centro de Mejores Prácticas de la Asociación Nacional de Gobernadores y el Consejo de Directores de Escuelas Estatales publicaron los Estándares Estatales Básicos Comunes para los estados de EE. UU., que posteriormente fueron adoptados por la mayoría de los estados. La adopción de los Estándares Estatales Básicos Comunes en matemáticas queda a discreción de cada estado y no es obligatoria por el gobierno federal. [33] "Los estados revisan rutinariamente sus estándares académicos y pueden optar por cambiar o agregar a los estándares para satisfacer mejor las necesidades de sus estudiantes". [34] El NCTM tiene afiliados estatales que tienen diferentes estándares educativos a nivel estatal. Por ejemplo, Missouri cuenta con el Consejo de Profesores de Matemáticas de Missouri (MCTM), cuyos pilares y estándares de educación aparecen enumerados en su sitio web. El MCTM también ofrece oportunidades de membresía a profesores y futuros profesores para que puedan mantenerse al día sobre los cambios en los estándares educativos de matemáticas. [35]

El Programa para la Evaluación Internacional de Alumnos (PISA), creado por la Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económicos (OCDE), es un programa global que estudia las capacidades de lectura, ciencias y matemáticas de los estudiantes de 15 años. [36] La primera evaluación se realizó en el año 2000 con la participación de 43 países. [37] PISA ha repetido esta evaluación cada tres años para proporcionar datos comparables, ayudando a orientar la educación global para preparar mejor a los jóvenes para las economías futuras. Los resultados de las evaluaciones trienales de PISA han tenido muchas ramificaciones debido a las respuestas implícitas y explícitas de las partes interesadas, que han llevado a reformas educativas y cambios de políticas. [37] [38] [23]

Investigación

Según Hiebert y Grouws, "aún no existen teorías sólidas y útiles sobre la enseñanza en el aula". [39] Sin embargo, existen teorías útiles sobre cómo aprenden los niños las matemáticas, y en las últimas décadas se han llevado a cabo muchas investigaciones para explorar cómo se pueden aplicar estas teorías a la enseñanza. Los siguientes resultados son ejemplos de algunos de los hallazgos actuales en el campo de la educación matemática.

Resultados importantes[39]

Uno de los resultados más contundentes de las investigaciones recientes es que la característica más importante de una enseñanza eficaz es dar a los estudiantes "la oportunidad de aprender". Los profesores pueden establecer expectativas, tiempos, tipos de tareas, preguntas, respuestas aceptables y tipos de debates que influirán en las oportunidades de los estudiantes de aprender. Esto debe implicar tanto la eficiencia de las habilidades como la comprensión conceptual.

Comprensión conceptual[39]

Dos de las características más importantes de la enseñanza en la promoción de la comprensión conceptual son la atención explícita a los conceptos y permitir que los estudiantes luchen con las matemáticas importantes. Ambas características han sido confirmadas a través de una amplia variedad de estudios. La atención explícita a los conceptos implica hacer conexiones entre hechos, procedimientos e ideas. (Esto a menudo se considera uno de los puntos fuertes de la enseñanza de las matemáticas en los países del este de Asia, donde los maestros suelen dedicar aproximadamente la mitad de su tiempo a hacer conexiones. En el otro extremo está Estados Unidos, donde esencialmente no se hacen conexiones en las aulas escolares. [40] ) Estas conexiones se pueden hacer a través de la explicación del significado de un procedimiento, preguntas que comparen estrategias y soluciones de problemas, notando cómo un problema es un caso especial de otro, recordando a los estudiantes el punto principal, discutiendo cómo se conectan las lecciones, etc.
La lucha deliberada y productiva con ideas matemáticas se refiere al hecho de que cuando los estudiantes se esfuerzan con ideas matemáticas importantes, incluso si esta lucha inicialmente implica confusión y errores, el resultado es un mayor aprendizaje. Esto es cierto tanto si la lucha se debe a una enseñanza bien implementada y desafiante intencionalmente como a una enseñanza confusa y defectuosa sin intención.

Evaluación formativa[41]

La evaluación formativa es la mejor y más barata manera de mejorar el rendimiento y la participación de los estudiantes y la satisfacción profesional de los docentes. Los resultados superan a los de reducir el tamaño de las clases o aumentar el conocimiento de los contenidos de los docentes. Una evaluación eficaz se basa en aclarar lo que los estudiantes deben saber, crear actividades apropiadas para obtener la evidencia necesaria, dar una buena retroalimentación, alentar a los estudiantes a tomar el control de su aprendizaje y permitir que los estudiantes sean recursos para los demás.

Tarea[42]

Las tareas que llevan a los estudiantes a practicar lecciones pasadas o prepararse para lecciones futuras son más efectivas que aquellas que repasan la lección actual. Los estudiantes se benefician de la retroalimentación. Los estudiantes con discapacidades de aprendizaje o baja motivación pueden beneficiarse de las recompensas. Para los niños más pequeños, las tareas ayudan a desarrollar habilidades simples, pero no a medir los logros en general.

Estudiantes con dificultades[42]

Los estudiantes con dificultades genuinas (no relacionadas con la motivación o la instrucción previa) tienen dificultades con hechos básicos , responden impulsivamente, tienen dificultades con las representaciones mentales, tienen un sentido numérico deficiente y una memoria a corto plazo deficiente. Las técnicas que se han considerado productivas para ayudar a estos estudiantes incluyen el aprendizaje asistido por pares, la enseñanza explícita con ayudas visuales, la instrucción basada en la evaluación formativa y el estímulo a los estudiantes para que piensen en voz alta.

Razonamiento algebraico[42]

Los niños de la escuela primaria necesitan pasar mucho tiempo aprendiendo a expresar propiedades algebraicas sin símbolos antes de aprender la notación algebraica. Al aprender símbolos, muchos estudiantes creen que las letras siempre representan incógnitas y tienen dificultades con el concepto de variable . Prefieren el razonamiento aritmético a las ecuaciones algebraicas para resolver problemas de palabras. Lleva tiempo pasar de las generalizaciones aritméticas a las algebraicas para describir patrones. Los estudiantes a menudo tienen problemas con el signo menos y entienden que el signo igual significa "la respuesta es...".

Metodología

Al igual que ocurre con otras investigaciones educativas (y con las ciencias sociales en general), la investigación sobre la enseñanza de las matemáticas depende tanto de estudios cuantitativos como cualitativos. La investigación cuantitativa incluye estudios que utilizan estadísticas inferenciales para responder a preguntas específicas, como por ejemplo si un determinado método de enseñanza da resultados significativamente mejores que el statu quo. Los mejores estudios cuantitativos implican ensayos aleatorios en los que se asignan aleatoriamente a los estudiantes o a las clases diferentes métodos para comprobar sus efectos. Dependen de muestras grandes para obtener resultados estadísticamente significativos.

La investigación cualitativa , como los estudios de casos , la investigación-acción , el análisis del discurso y las entrevistas clínicas , dependen de muestras pequeñas pero enfocadas en un intento de comprender el aprendizaje de los estudiantes y observar cómo y por qué un método determinado da los resultados que da. Dichos estudios no pueden establecer de manera concluyente que un método es mejor que otro, como pueden hacerlo los ensayos aleatorios, pero a menos que se entienda por qué el tratamiento X es mejor que el tratamiento Y, la aplicación de los resultados de los estudios cuantitativos a menudo conducirá a "mutaciones letales" [39] del hallazgo en las aulas reales. La investigación cualitativa exploratoria también es útil para sugerir nuevas hipótesis , que eventualmente pueden probarse mediante experimentos aleatorios. Por lo tanto, tanto los estudios cualitativos como los cuantitativos se consideran esenciales en la educación, al igual que en las otras ciencias sociales. [43] Muchos estudios son "mixtos", combinando simultáneamente aspectos de la investigación cuantitativa y cualitativa, según corresponda.

Ensayos aleatorios

Ha habido cierta controversia sobre las fortalezas relativas de los diferentes tipos de investigación. Debido a la opinión de que los ensayos aleatorios proporcionan evidencia clara y objetiva sobre "lo que funciona", los responsables de las políticas a menudo consideran solo esos estudios. Algunos académicos han presionado para que se realicen más experimentos aleatorios en los que los métodos de enseñanza se asignan aleatoriamente a las clases. [44] [45] En otras disciplinas relacionadas con sujetos humanos, como la biomedicina , la psicología y la evaluación de políticas, los experimentos aleatorios controlados siguen siendo el método preferido para evaluar los tratamientos. [46] [47] Los estadísticos educativos y algunos educadores de matemáticas han estado trabajando para aumentar el uso de experimentos aleatorios para evaluar los métodos de enseñanza. [45] Por otro lado, muchos académicos en escuelas de educación han argumentado en contra de aumentar el número de experimentos aleatorios, a menudo debido a objeciones filosóficas, como la dificultad ética de asignar aleatoriamente a los estudiantes a varios tratamientos cuando aún no se sabe si los efectos de dichos tratamientos son efectivos, [48] o la dificultad de asegurar un control rígido de la variable independiente en entornos escolares reales y fluidos. [49]

En los Estados Unidos, el Panel Asesor Nacional de Matemáticas (NMAP) publicó un informe en 2008 basado en estudios, algunos de los cuales utilizaron la asignación aleatoria de tratamientos a unidades experimentales , como aulas o estudiantes. La preferencia del informe del NMAP por los experimentos aleatorios recibió críticas de algunos académicos. [50] En 2010, el What Works Clearinghouse (esencialmente el brazo de investigación del Departamento de Educación ) respondió a la controversia en curso ampliando su base de investigación para incluir estudios no experimentales, incluidos los diseños de regresión discontinua y los estudios de caso único . [51]

Organizaciones

Véase también

Aspectos de la educación matemática

Problemas de América del Norte

Dificultades matemáticas

Referencias

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