La geometría (del griego antiguo γεωμετρία ( geōmetría ) 'medición de la tierra'; de γῆ ( gê ) 'tierra' y μέτρον ( métron ) 'una medida') [1] es una rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades del espacio como la distancia, forma, tamaño y posición relativa de las figuras. [2] La geometría es, junto con la aritmética , una de las ramas más antiguas de las matemáticas. Se llama geómetra a un matemático que trabaja en el campo de la geometría . Hasta el siglo XIX, la geometría se dedicó casi exclusivamente a la geometría euclidiana , [a] que incluye las nociones de punto , recta , plano , distancia , ángulo , superficie y curva , como conceptos fundamentales. [3]
Desarrollada originalmente para modelar el mundo físico, la geometría tiene aplicaciones en casi todas las ciencias, y también en el arte, la arquitectura y otras actividades relacionadas con los gráficos. [4] La geometría también tiene aplicaciones en áreas de las matemáticas que aparentemente no están relacionadas. Por ejemplo, los métodos de geometría algebraica son fundamentales en la prueba de Wiles del último teorema de Fermat , un problema que se planteó en términos de aritmética elemental y permaneció sin resolver durante varios siglos.
Desde finales del siglo XIX, el alcance de la geometría se ha ampliado enormemente y el campo se ha dividido en muchos subcampos que dependen de los métodos subyacentes: geometría diferencial , geometría algebraica , geometría computacional , topología algebraica , geometría discreta (también conocida como geometría combinatoria ). geometría ), etc.—o en las propiedades de los espacios euclidianos que se ignoran— geometría proyectiva que considera sólo la alineación de puntos pero no la distancia y el paralelismo, geometría afín que omite el concepto de ángulo y distancia, geometría finita que omite la continuidad , y otras . Esta ampliación del alcance de la geometría provocó un cambio de significado de la palabra "espacio", que originalmente se refería al espacio tridimensional del mundo físico y su modelo proporcionado por la geometría euclidiana; Actualmente un espacio geométrico , o simplemente un espacio es una estructura matemática sobre la cual se define cierta geometría.
Historia
Los inicios más antiguos registrados de la geometría se remontan a la antigua Mesopotamia y Egipto en el segundo milenio antes de Cristo. [5] [6] La geometría temprana era una colección de principios descubiertos empíricamente sobre longitudes, ángulos, áreas y volúmenes, que se desarrollaron para satisfacer algunas necesidades prácticas en topografía , construcción , astronomía y diversos oficios. Los textos más antiguos conocidos sobre geometría son el papiro egipcio de Rhind (2000-1800 a. C.) y el papiro de Moscú ( c. 1890 a. C. ), y las tablillas de arcilla babilónicas , como Plimpton 322 (1900 a. C.). Por ejemplo, el Papiro de Moscú da una fórmula para calcular el volumen de una pirámide truncada o frustum . [7] Tablillas de arcilla posteriores (350-50 a. C.) demuestran que los astrónomos babilónicos implementaron procedimientos trapezoidales para calcular la posición y el movimiento de Júpiter dentro del espacio-tiempo-velocidad. Estos procedimientos geométricos se adelantaron a las calculadoras de Oxford , incluido el teorema de la velocidad media , en 14 siglos. [8] Al sur de Egipto, los antiguos nubios establecieron un sistema de geometría que incluía versiones tempranas de relojes solares. [9] [10]
En el siglo VII a. C., el matemático griego Tales de Mileto utilizó la geometría para resolver problemas como calcular la altura de las pirámides y la distancia de los barcos a la costa. Se le atribuye el primer uso del razonamiento deductivo aplicado a la geometría, al derivar cuatro corolarios del teorema de Tales . [11] Pitágoras estableció la Escuela Pitágoras , a la que se le atribuye la primera demostración del teorema de Pitágoras , [12] aunque el enunciado del teorema tiene una larga historia. [13] [14] Eudoxo (408– c. 355 a. C. ) desarrolló el método de agotamiento , que permitía el cálculo de áreas y volúmenes de figuras curvilíneas, [15] así como una teoría de razones que evitaba el problema de las magnitudes inconmensurables. , lo que permitió a los geómetras posteriores realizar avances significativos. Alrededor del año 300 a.C., la geometría fue revolucionada por Euclides, cuyos Elementos , ampliamente considerado el libro de texto más exitoso e influyente de todos los tiempos, [16] introdujo el rigor matemático a través del método axiomático y es el ejemplo más antiguo del formato que todavía se utiliza en las matemáticas hoy en día, que de definición, axioma, teorema y demostración. Aunque ya se conocía la mayor parte del contenido de los Elementos , Euclides los organizó en un marco lógico único y coherente. [17] Los Elementos eran conocidos por todas las personas educadas en Occidente hasta mediados del siglo XX y su contenido todavía se enseña en las clases de geometría en la actualidad. [18] Arquímedes ( c. 287-212 a. C. ) de Siracusa, Italia, utilizó el método de agotamiento para calcular el área bajo el arco de una parábola con la suma de una serie infinita , y dio aproximaciones notablemente precisas de pi . [19] También estudió la espiral que lleva su nombre y obtuvo fórmulas para los volúmenes de las superficies de revolución .
Los matemáticos indios también hicieron muchas contribuciones importantes en geometría. El Shatapatha Brahmana (siglo III a. C.) contiene reglas para construcciones geométricas rituales similares a los Sulba Sutras . [20] Según (Hayashi 2005, p. 363), los Śulba Sūtras contienen "la expresión verbal más antigua existente del Teorema de Pitágoras en el mundo, aunque ya era conocida por los antiguos babilonios. Contienen listas de ternas pitagóricas , [b] que son casos particulares de ecuaciones diofánticas . [21]
En el manuscrito de Bakhshali , hay un puñado de problemas geométricos (incluidos problemas sobre volúmenes de sólidos irregulares). El manuscrito de Bakhshali también "emplea un sistema de valor posicional decimal con un punto". para cero." [22] Aryabhatiya (499) de Aryabhata incluye el cálculo de áreas y volúmenes. Brahmagupta escribió su obra astronómica Brāhmasphuṭasiddhānta en 628. El capítulo 12, que contiene 66 versos sánscritos , se dividió en dos secciones: "operaciones básicas" ( incluidas raíces cúbicas, fracciones, razones y proporciones y trueque) y "matemáticas prácticas" (incluidas mezclas, series matemáticas, figuras planas, apilamiento de ladrillos, aserrado de madera y amontonamiento de grano [23] En la última sección, él ). Expuso su famoso teorema sobre las diagonales de un cuadrilátero cíclico . El capítulo 12 también incluyó una fórmula para el área de un cuadrilátero cíclico (una generalización de la fórmula de Heron ), así como una descripción completa de los triángulos racionales ( es decir, triángulos con lados racionales y áreas racionales). [23]
A principios del siglo XVII, hubo dos avances importantes en geometría. El primero fue la creación de la geometría analítica, o geometría con coordenadas y ecuaciones , por René Descartes (1596-1650) y Pierre de Fermat (1601-1665). [30] Este fue un precursor necesario para el desarrollo del cálculo y una ciencia cuantitativa precisa de la física . [31] El segundo desarrollo geométrico de este período fue el estudio sistemático de la geometría proyectiva realizado por Girard Desargues (1591-1661). [32] La geometría proyectiva estudia las propiedades de las formas que no cambian bajo proyecciones y secciones , especialmente en lo que se refiere a la perspectiva artística . [33]
Dos avances en geometría en el siglo XIX cambiaron la forma en que se estudiaba anteriormente. [34] Estos fueron el descubrimiento de geometrías no euclidianas por Nikolai Ivanovich Lobachevsky, János Bolyai y Carl Friedrich Gauss y de la formulación de la simetría como consideración central en el programa de Erlangen de Felix Klein (que generalizó las geometrías euclidianas y no euclidianas). ). Dos de los maestros geómetras de la época fueron Bernhard Riemann (1826-1866), que trabajó principalmente con herramientas de análisis matemático e introdujo la superficie de Riemann , y Henri Poincaré , el fundador de la topología algebraica y la teoría geométrica de los sistemas dinámicos . Como consecuencia de estos importantes cambios en la concepción de la geometría, el concepto de " espacio " se convirtió en algo rico y variado, y en el trasfondo natural de teorías tan diferentes como el análisis complejo y la mecánica clásica . [35]
Conceptos principales
Los siguientes son algunos de los conceptos más importantes de la geometría. [3] [36]
Axiomas
Euclides adoptó un enfoque abstracto de la geometría en sus Elementos , [37] uno de los libros más influyentes jamás escritos. [38] Euclides introdujo ciertos axiomas o postulados que expresaban propiedades primarias o evidentes de puntos, líneas y planos. [39] Procedió a deducir rigurosamente otras propiedades mediante razonamiento matemático. El rasgo característico del enfoque de Euclides sobre la geometría fue su rigor, y se le ha llegado a conocer como geometría axiomática o sintética . [40] A principios del siglo XIX, el descubrimiento de geometrías no euclidianas por Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1792–1856), János Bolyai (1802–1860), Carl Friedrich Gauss (1777–1855) y otros [41] condujo a un resurgimiento del interés en esta disciplina, y en el siglo XX, David Hilbert (1862-1943) empleó el razonamiento axiomático en un intento de proporcionar una base moderna de la geometría. [42]
Objetos
Agujas
Los puntos generalmente se consideran objetos fundamentales para la construcción de geometría. Pueden definirse por las propiedades que deben tener, como en la definición de Euclides como "aquello que no tiene parte", [43] o en la geometría sintética . En matemáticas modernas, generalmente se definen como elementos de un conjunto llamado espacio , que a su vez está definido axiomáticamente .
Con estas definiciones modernas, toda forma geométrica se define como un conjunto de puntos; este no es el caso de la geometría sintética, donde una línea es otro objeto fundamental que no se considera como el conjunto de los puntos por los que pasa.
Sin embargo, existen geometrías modernas en las que los puntos no son objetos primitivos, o incluso sin puntos. [44] [45] Una de las geometrías más antiguas es la geometría sin puntos de Whitehead , formulada por Alfred North Whitehead en 1919-1920.
Pauta
Euclides describió una línea como "longitud sin anchura" que "se encuentra igualmente con respecto a los puntos sobre sí misma". [43] En las matemáticas modernas, dada la multitud de geometrías, el concepto de línea está estrechamente ligado a la forma en que se describe la geometría. Por ejemplo, en geometría analítica , una línea en el plano a menudo se define como el conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen una ecuación lineal dada , [46] pero en un entorno más abstracto, como la geometría de incidencia , una línea puede ser un objeto independiente. , distinto del conjunto de puntos que se encuentran sobre él. [47] En geometría diferencial, una geodésica es una generalización de la noción de línea a espacios curvos . [48]
Aviones
En geometría euclidiana, un plano es una superficie plana bidimensional que se extiende infinitamente; [43] las definiciones para otros tipos de geometrías son generalizaciones de eso. Los planos se utilizan en muchas áreas de la geometría. Por ejemplo, los planos pueden estudiarse como una superficie topológica sin referencia a distancias o ángulos; [49] se puede estudiar como un espacio afín , donde se pueden estudiar la colinealidad y las proporciones, pero no las distancias; [50] puede estudiarse como el plano complejo utilizando técnicas de análisis complejo ; [51] y así sucesivamente.
Anglos
Euclides define un ángulo plano como la inclinación entre sí, en un plano, de dos líneas que se encuentran y no son rectas entre sí. [43] En términos modernos, un ángulo es la figura formada por dos rayos , llamados lados del ángulo, que comparten un punto final común, llamado vértice del ángulo. [52]
Una curva es un objeto unidimensional que puede ser recto (como una línea) o no; Las curvas en el espacio bidimensional se llaman curvas planas y las del espacio tridimensional se llaman curvas espaciales . [56]
En topología, una curva está definida por una función desde un intervalo de números reales hasta otro espacio. [49] En geometría diferencial, se utiliza la misma definición, pero se requiere que la función definitoria sea diferenciable. [57] La geometría algebraica estudia las curvas algebraicas , que se definen como variedades algebraicas de dimensión uno. [58]
El área y el volumen se pueden definir como cantidades fundamentales separadas de la longitud, o se pueden describir y calcular en términos de longitudes en un plano o espacio tridimensional. [61] Los matemáticos han encontrado muchas fórmulas explícitas para el área y fórmulas para el volumen de varios objetos geométricos. En cálculo , el área y el volumen se pueden definir en términos de integrales , como la integral de Riemann [63] o la integral de Lebesgue . [64]
En otra dirección, los conceptos de longitud, área y volumen son ampliados por la teoría de la medida , que estudia métodos de asignación de un tamaño o medida a conjuntos , donde las medidas siguen reglas similares a las del área y el volumen clásicos. [67]
Congruencia y similitud
La congruencia y la similitud son conceptos que describen cuando dos formas tienen características similares. [68] En la geometría euclidiana, la similitud se usa para describir objetos que tienen la misma forma, mientras que la congruencia se usa para describir objetos que son iguales tanto en tamaño como en forma. [69] Hilbert , en su trabajo sobre la creación de una base más rigurosa para la geometría, trató la congruencia como un término indefinido cuyas propiedades están definidas por axiomas .
La congruencia y la similitud se generalizan en la geometría de transformaciones , que estudia las propiedades de los objetos geométricos que se conservan mediante diferentes tipos de transformaciones. [70]
Construcciones con compás y regla
Los geómetras clásicos prestaron especial atención a la construcción de objetos geométricos que habían sido descritos de alguna otra manera. Clásicamente, los únicos instrumentos utilizados en la mayoría de las construcciones geométricas son el compás y la regla . [c] Además, cada construcción tenía que completarse en un número finito de pasos. Sin embargo, algunos problemas resultaron difíciles o imposibles de resolver sólo por estos medios, y se encontraron ingeniosas construcciones utilizando neusis , parábolas y otras curvas, o dispositivos mecánicos.
Rotación y orientación
Los conceptos geométricos de rotación y orientación definen parte de la colocación de objetos incrustados en el plano o en el espacio.
El tema de la simetría en geometría es casi tan antiguo como la propia ciencia de la geometría. [75] Las formas simétricas como el círculo , los polígonos regulares y los sólidos platónicos tuvieron un profundo significado para muchos filósofos antiguos [76] y fueron investigadas en detalle antes de la época de Euclides. [39] Los patrones simétricos ocurren en la naturaleza y fueron representados artísticamente en una multitud de formas, incluidos los gráficos de Leonardo da Vinci , MC Escher y otros. [77] En la segunda mitad del siglo XIX, la relación entre simetría y geometría fue objeto de un intenso escrutinio. El programa de Erlangen de Felix Klein proclamó que, en un sentido muy preciso, la simetría, expresada mediante la noción de grupo de transformación , determina qué es la geometría . [78] La simetría en la geometría euclidiana clásica está representada por congruencias y movimientos rígidos, mientras que en la geometría proyectiva un papel análogo lo desempeñan las colineaciones , transformaciones geométricas que convierten líneas rectas en líneas rectas. [79] Sin embargo, fue en las nuevas geometrías de Bolyai y Lobachevsky, Riemann, Clifford y Klein, y Sophus Lie donde la idea de Klein de 'definir una geometría a través de su grupo de simetría ' encontró su inspiración. [80] Tanto las simetrías discretas como las continuas desempeñan papeles destacados en geometría, la primera en topología y teoría de grupos geométricos , [81] [82] la segunda en teoría de Lie y geometría de Riemann . [83] [84]
Un tipo diferente de simetría es el principio de dualidad en la geometría proyectiva , entre otros campos. Este metafenómeno se puede describir aproximadamente de la siguiente manera: en cualquier teorema , se intercambia el punto con el plano , se une con el encuentro , se encuentra con contiene , y el resultado es un teorema igualmente verdadero. [85] Existe una forma de dualidad similar y estrechamente relacionada entre un espacio vectorial y su espacio dual . [86]
En particular, la geometría diferencial es de importancia para la física matemática debido al postulado de la relatividad general de Albert Einstein de que el universo es curvo . [99] La geometría diferencial puede ser intrínseca (lo que significa que los espacios que considera son variedades suaves cuya estructura geométrica se rige por una métrica de Riemann , que determina cómo se miden las distancias cerca de cada punto) o extrínseca (donde el objeto en estudio es parte de algún espacio ambiental plano euclidiano). [100]
Geometría no euclidiana
En matemáticas , la geometría no euclidiana consta de dos geometrías basadas en axiomas estrechamente relacionados con los que especifican la geometría euclidiana . Como la geometría euclidiana se encuentra en la intersección de la geometría métrica y la geometría afín , la geometría no euclidiana surge reemplazando el postulado de las paralelas por una alternativa o relajando el requisito métrico. En el primer caso se obtiene una geometría hiperbólica y una geometría elíptica , las tradicionales geometrías no euclidianas. Cuando se relaja el requisito métrico, entonces existen planos afines asociados con las álgebras planas, que dan lugar a geometrías cinemáticas que también han sido denominadas geometría no euclidiana.
Topología
La topología es el campo que se ocupa de las propiedades de los mapeos continuos , [101] y puede considerarse una generalización de la geometría euclidiana. [102] En la práctica, la topología a menudo significa tratar con propiedades de espacios a gran escala, como la conectividad y la compacidad . [49]
La geometría discreta es un tema que tiene estrechas conexiones con la geometría convexa . [119] [120] [121] Se ocupa principalmente de cuestiones de posición relativa de objetos geométricos simples, como puntos, líneas y círculos. Los ejemplos incluyen el estudio de empaquetamientos de esferas , triangulaciones , la conjetura de Kneser-Poulsen, etc. [122] [123] Comparte muchos métodos y principios con la combinatoria .
La geometría convexa se remonta a la antigüedad. [129] Arquímedes dio la primera definición precisa conocida de convexidad. El problema isoperimétrico , un concepto recurrente en la geometría convexa, fue estudiado también por los griegos, incluido Zenodoro . Arquímedes, Platón , Euclides y más tarde Kepler y Coxeter estudiaron los politopos convexos y sus propiedades. A partir del siglo XIX, los matemáticos han estudiado otras áreas de las matemáticas convexas, incluidos los politopos de dimensiones superiores, el volumen y el área de superficie de los cuerpos convexos, la curvatura gaussiana , los algoritmos , los mosaicos y las celosías .
Aplicaciones
La geometría ha encontrado aplicaciones en muchos campos, algunos de los cuales se describen a continuación.
Arte
Las matemáticas y el arte están relacionados de diversas maneras. Por ejemplo, la teoría de la perspectiva demostró que la geometría es más que solo las propiedades métricas de las figuras: la perspectiva es el origen de la geometría proyectiva . [130]
Los artistas han utilizado durante mucho tiempo conceptos de proporción en el diseño. Vitruvio desarrolló una complicada teoría de las proporciones ideales de la figura humana. [131] Estos conceptos han sido utilizados y adaptados por artistas desde Miguel Ángel hasta artistas de cómics modernos. [132]
La proporción áurea es una proporción particular que ha tenido un papel controvertido en el arte. A menudo se afirma que es la proporción de longitudes más agradable desde el punto de vista estético, y con frecuencia se afirma que se incorpora a obras de arte famosas, aunque los ejemplos más confiables e inequívocos fueron creados deliberadamente por artistas conscientes de esta leyenda. [133]
Cézanne avanzó la teoría de que todas las imágenes pueden construirse a partir de la esfera , el cono y el cilindro . Esto todavía se utiliza hoy en día en la teoría del arte, aunque la lista exacta de formas varía de un autor a otro. [135] [136]
Arquitectura
La geometría tiene muchas aplicaciones en arquitectura. De hecho, se ha dicho que la geometría es el núcleo del diseño arquitectónico. [137] [138] Las aplicaciones de la geometría a la arquitectura incluyen el uso de geometría proyectiva para crear una perspectiva forzada , [139] el uso de secciones cónicas en la construcción de cúpulas y objetos similares, [90] el uso de teselados , [90] y el uso de la simetría. [90]
Física
El campo de la astronomía , especialmente en lo que se refiere al mapeo de las posiciones de estrellas y planetas en la esfera celeste y a la descripción de la relación entre los movimientos de los cuerpos celestes, ha servido como una fuente importante de problemas geométricos a lo largo de la historia. [140]
El cálculo estuvo fuertemente influenciado por la geometría. [30] Por ejemplo, la introducción de las coordenadas por parte de René Descartes y los desarrollos simultáneos del álgebra marcaron una nueva etapa para la geometría, ya que figuras geométricas como las curvas planas ahora podían representarse analíticamente en forma de funciones y ecuaciones. Esto jugó un papel clave en el surgimiento del cálculo infinitesimal en el siglo XVII. La geometría analítica sigue siendo un pilar del plan de estudios de precálculo y cálculo. [144] [145]
↑ Hasta el siglo XIX, la geometría estuvo dominada por la suposición de que todas las construcciones geométricas eran euclidianas. En el siglo XIX y posteriormente, esto fue desafiado por el desarrollo de la geometría hiperbólica por Lobachevsky y otras geometrías no euclidianas por Gauss y otros. Entonces se comprendió que la geometría implícitamente no euclidiana había aparecido a lo largo de la historia, incluido el trabajo de Desargues en el siglo XVII, hasta el uso implícito de la geometría esférica para comprender la geodesia de la Tierra y navegar por los océanos desde la antigüedad.
^ Las ternas pitagóricas son ternas de números enteros con la propiedad: . Así, , , etc.
^ Los antiguos griegos tenían algunas construcciones utilizando otros instrumentos.
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"Tres científicos, Ibn al-Haytham, Khayyam y al-Tusi, habían hecho la contribución más considerable a esta rama de la geometría cuya importancia llegó a ser plenamente reconocida sólo en el siglo XIX. En esencia, sus proposiciones sobre las propiedades de los cuadriláteros que consideraban, asumiendo que algunos de los ángulos de estas figuras eran agudos o obtusos, incorporaban los primeros teoremas de las geometrías hiperbólica y elíptica. Sus otras propuestas demostraron que varios enunciados geométricos eran equivalentes al postulado euclidiano V. Es extremadamente. Es importante que estos estudiosos establecieran la conexión mutua entre este postulado y la suma de los ángulos de un triángulo y un cuadrángulo. Con sus trabajos sobre la teoría de las líneas paralelas, los matemáticos árabes influyeron directamente en las investigaciones relevantes de sus homólogos europeos. La prueba del postulado en líneas paralelas, formulada por Witelo, los científicos polacos del siglo XIII, mientras revisaban el Libro de Óptica de Ibn al-Haytham ( Kitab al-Manazir ), fue indudablemente impulsada por fuentes árabes. Las pruebas presentadas en el siglo XIV por el erudito judío Levi ben Gerson, que vivió en el sur de Francia, y por el ya mencionado Alfonso de España, lindan directamente con la demostración de Ibn al-Haytham. Arriba, hemos demostrado que la Exposición de Euclides de Pseudo-Tusi había estimulado los estudios de la teoría de las líneas paralelas tanto de J. Wallis como de G. Saccheri."
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Lectura adicional
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Nikolai I. Lobachevsky (2010). Pangeometría . Serie Patrimonio de las Matemáticas Europeas. vol. 4. traductor y editor: A. Papadopoulos. Sociedad Matemática Europea.
Leonard Mlodinow (2002). La ventana de Euclides: la historia de la geometría desde las líneas paralelas al hiperespacio (edición del Reino Unido). Allen Lane. ISBN 978-0-7139-9634-0.
Nature Precedings – Geometría de clavijas y cuerdas en Stonehenge
El Atlas Matemático – Áreas Geométricas de las Matemáticas
"4000 Years of Geometry", conferencia de Robin Wilson impartida en Gresham College , 3 de octubre de 2007 (disponible para descarga en MP3 y MP4, así como como archivo de texto)
Finitismo en geometría en la Enciclopedia de Filosofía de Stanford
El depósito de chatarra de geometría
Referencia de geometría interactiva con cientos de subprogramas
Bocetos de geometría dinámica (con algunas exploraciones de los estudiantes)