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Geometría

La geometría (del griego antiguo γεωμετρία ( geōmetría )  'medición de la tierra'; de γῆ ( gê )  'tierra, tierra' y μέτρον ( métron )  'una medida') [1] es una rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades del espacio como la distancia, forma, tamaño y posición relativa de las figuras. [2] La geometría es, junto con la aritmética , una de las ramas más antiguas de las matemáticas. Se llama geómetra a un matemático que trabaja en el campo de la geometría . Hasta el siglo XIX, la geometría se dedicó casi exclusivamente a la geometría euclidiana , [a] que incluye las nociones de punto , recta , plano , distancia , ángulo , superficie y curva , como conceptos fundamentales. [3]

Desarrollada originalmente para modelar el mundo físico, la geometría tiene aplicaciones en casi todas las ciencias , y también en el arte , la arquitectura y otras actividades relacionadas con los gráficos . [4] La geometría también tiene aplicaciones en áreas de las matemáticas que aparentemente no están relacionadas. Por ejemplo, los métodos de geometría algebraica son fundamentales en la prueba de Wiles del último teorema de Fermat , un problema que se planteó en términos de aritmética elemental y permaneció sin resolver durante varios siglos.

Durante el siglo XIX, varios descubrimientos ampliaron dramáticamente el alcance de la geometría. Uno de los descubrimientos más antiguos es el Theorema Egregium de Carl Friedrich Gauss ("teorema notable") que afirma aproximadamente que la curvatura gaussiana de una superficie es independiente de cualquier incrustación específica en un espacio euclidiano . Esto implica que las superficies se pueden estudiar intrínsecamente , es decir, como espacios independientes, y se ha ampliado a la teoría de las variedades y la geometría de Riemann . Más adelante, en el siglo XIX, resultó que las geometrías sin el postulado de las paralelas ( geometrías no euclidianas ) podían desarrollarse sin introducir ninguna contradicción. La geometría que subyace a la relatividad general es una famosa aplicación de la geometría no euclidiana.

Desde finales del siglo XIX, el alcance de la geometría se ha ampliado enormemente y el campo se ha dividido en muchos subcampos que dependen de los métodos subyacentes: geometría diferencial , geometría algebraica , geometría computacional , topología algebraica , geometría discreta (también conocida como geometría combinatoria) . geometría ), etc.—o en las propiedades de los espacios euclidianos que se ignoran— geometría proyectiva que considera sólo la alineación de puntos pero no la distancia y el paralelismo, geometría afín que omite el concepto de ángulo y distancia, geometría finita que omite la continuidad , y otras . Esta ampliación del alcance de la geometría provocó un cambio de significado de la palabra "espacio", que originalmente se refería al espacio tridimensional del mundo físico y su modelo proporcionado por la geometría euclidiana; Actualmente un espacio geométrico , o simplemente un espacio es una estructura matemática sobre la cual se define cierta geometría.

Historia

Un europeo y un árabe practicando la geometría en el siglo XV

Los inicios más antiguos registrados de la geometría se remontan a la antigua Mesopotamia y Egipto en el segundo milenio antes de Cristo. [5] [6] La geometría temprana era una colección de principios descubiertos empíricamente sobre longitudes, ángulos, áreas y volúmenes, que se desarrollaron para satisfacer algunas necesidades prácticas en topografía , construcción , astronomía y diversos oficios. Los textos más antiguos conocidos sobre geometría son el papiro egipcio de Rhind (2000-1800 a. C.) y el papiro de Moscú ( c.  1890 a. C. ), y las tablillas de arcilla babilónicas , como Plimpton 322 (1900 a. C.). Por ejemplo, el Papiro de Moscú da una fórmula para calcular el volumen de una pirámide truncada o frustum . [7] Tablillas de arcilla posteriores (350-50 a. C.) demuestran que los astrónomos babilónicos implementaron procedimientos trapezoidales para calcular la posición y el movimiento de Júpiter dentro del espacio-tiempo-velocidad. Estos procedimientos geométricos se adelantaron a las calculadoras de Oxford , incluido el teorema de la velocidad media , en 14 siglos. [8] Al sur de Egipto, los antiguos nubios establecieron un sistema de geometría que incluía las primeras versiones de relojes solares. [9] [10]

En el siglo VII a. C., el matemático griego Tales de Mileto utilizó la geometría para resolver problemas como calcular la altura de las pirámides y la distancia de los barcos a la costa. Se le atribuye el primer uso del razonamiento deductivo aplicado a la geometría, al derivar cuatro corolarios del teorema de Tales . [11] Pitágoras estableció la Escuela Pitágoras , a la que se le atribuye la primera demostración del teorema de Pitágoras , [12] aunque el enunciado del teorema tiene una larga historia. [13] [14] Eudoxo (408– c.  355 a.C. ) desarrolló el método de agotamiento , que permitía el cálculo de áreas y volúmenes de figuras curvilíneas, [15] así como una teoría de razones que evitaba el problema de las magnitudes inconmensurables . , lo que permitió a los geómetras posteriores realizar avances significativos. Alrededor del año 300 a. C., la geometría fue revolucionada por Euclides, cuyos Elementos , ampliamente considerado el libro de texto más exitoso e influyente de todos los tiempos, [16] introdujo el rigor matemático a través del método axiomático y es el ejemplo más antiguo del formato que todavía se utiliza en las matemáticas hoy en día, que de definición, axioma, teorema y demostración. Aunque ya se conocía la mayor parte del contenido de los Elementos , Euclides los organizó en un marco lógico único y coherente. [17] Los Elementos eran conocidos por todas las personas educadas en Occidente hasta mediados del siglo XX y su contenido todavía se enseña en las clases de geometría en la actualidad. [18] Arquímedes ( c.  287-212 a. C. ) de Siracusa, Italia, utilizó el método de agotamiento para calcular el área bajo el arco de una parábola con la suma de una serie infinita , y dio aproximaciones notablemente precisas de pi . [19] También estudió la espiral que lleva su nombre y obtuvo fórmulas para los volúmenes de las superficies de revolución .

Mujer enseñando geometría . Ilustración al inicio de una traducción medieval de los Elementos de Euclides , ( c.  1310 ).

Los matemáticos indios también hicieron muchas contribuciones importantes en geometría. El Shatapatha Brahmana (siglo III a. C.) contiene reglas para construcciones geométricas rituales similares a los Sulba Sutras . [20] Según (Hayashi 2005, p. 363), los Śulba Sūtras contienen "la expresión verbal más antigua existente del Teorema de Pitágoras en el mundo, aunque ya era conocida por los antiguos babilonios. Contienen listas de ternas pitagóricas , [b] que son casos particulares de ecuaciones diofánticas . [21] En el manuscrito de Bakhshali , hay un puñado de problemas geométricos (incluidos problemas sobre volúmenes de sólidos irregulares). El manuscrito de Bakhshali también "emplea un sistema de valor decimal con un punto para cero." [22] Aryabhatiya (499) de Aryabhata incluye el cálculo de áreas y volúmenes. Brahmagupta escribió su obra astronómica Brāhmasphuṭasiddhānta en 628. El capítulo 12, que contiene 66 versos sánscritos , se dividió en dos secciones: "operaciones básicas" ( incluyendo raíces cúbicas, fracciones, razones y proporciones y trueque) y "matemáticas prácticas" (incluyendo mezclas, series matemáticas, figuras planas, apilado de ladrillos, aserrado de madera y amontonamiento de grano). [23] En la última sección, Expuso su famoso teorema sobre las diagonales de un cuadrilátero cíclico . El capítulo 12 también incluyó una fórmula para el área de un cuadrilátero cíclico (una generalización de la fórmula de Heron ), así como una descripción completa de los triángulos racionales ( es decir, triángulos con lados racionales y áreas racionales). [23]

En la Edad Media , las matemáticas en el Islam medieval contribuyeron al desarrollo de la geometría, especialmente la geometría algebraica . [24] [25] Al-Mahani (n. 853) concibió la idea de reducir problemas geométricos como la duplicación del cubo a problemas de álgebra. [26] Thābit ibn Qurra (conocido como Thebit en latín ) (836–901) se ocupó de operaciones aritméticas aplicadas a proporciones de cantidades geométricas y contribuyó al desarrollo de la geometría analítica . [27] Omar Khayyam (1048-1131) encontró soluciones geométricas a ecuaciones cúbicas . [28] Los teoremas de Ibn al-Haytham (Alhazen), Omar Khayyam y Nasir al-Din al-Tusi sobre los cuadriláteros , incluidos el cuadrilátero de Lambert y el cuadrilátero de Saccheri , fueron los primeros resultados de la geometría hiperbólica , y junto con sus postulados alternativos, tales Como axioma de Playfair , estas obras tuvieron una influencia considerable en el desarrollo de la geometría no euclidiana entre los geómetras europeos posteriores, incluidos Vitello ( c.  1230  – c.  1314 ), Gersonides (1288-1344), Alfonso, John Wallis y Giovanni Girolamo. Saccheri . [ dudoso – discutir ] [29]

A principios del siglo XVII, hubo dos avances importantes en geometría. El primero fue la creación de la geometría analítica, o geometría con coordenadas y ecuaciones , por René Descartes (1596-1650) y Pierre de Fermat (1601-1665). [30] Este fue un precursor necesario para el desarrollo del cálculo y una ciencia cuantitativa precisa de la física . [31] El segundo desarrollo geométrico de este período fue el estudio sistemático de la geometría proyectiva realizado por Girard Desargues (1591-1661). [32] La geometría proyectiva estudia las propiedades de las formas que no cambian bajo proyecciones y secciones , especialmente en lo que se refiere a la perspectiva artística . [33]

Dos avances en geometría en el siglo XIX cambiaron la forma en que se había estudiado anteriormente. [34] Estos fueron el descubrimiento de geometrías no euclidianas por Nikolai Ivanovich Lobachevsky, János Bolyai y Carl Friedrich Gauss y de la formulación de la simetría como consideración central en el programa de Erlangen de Felix Klein (que generalizó las geometrías euclidianas y no euclidianas). ). Dos de los maestros geómetras de la época fueron Bernhard Riemann (1826-1866), que trabajó principalmente con herramientas de análisis matemático e introdujo la superficie de Riemann , y Henri Poincaré , el fundador de la topología algebraica y la teoría geométrica de los sistemas dinámicos . Como consecuencia de estos importantes cambios en la concepción de la geometría, el concepto de " espacio " se convirtió en algo rico y variado, y en el trasfondo natural de teorías tan diferentes como el análisis complejo y la mecánica clásica . [35]

Conceptos principales

Los siguientes son algunos de los conceptos más importantes en geometría. [3] [36] [37]

Axiomas

Una ilustración del postulado paralelo de Euclides.

Euclides adoptó un enfoque abstracto de la geometría en sus Elementos , [38] uno de los libros más influyentes jamás escritos. [39] Euclides introdujo ciertos axiomas o postulados que expresaban propiedades primarias o evidentes de puntos, líneas y planos. [40] Procedió a deducir rigurosamente otras propiedades mediante razonamiento matemático. El rasgo característico del enfoque de Euclides sobre la geometría fue su rigor, y se le ha llegado a conocer como geometría axiomática o sintética . [41] A principios del siglo XIX, el descubrimiento de geometrías no euclidianas por Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1792–1856), János Bolyai (1802–1860), Carl Friedrich Gauss (1777–1855) y otros [42] condujo a un resurgimiento del interés en esta disciplina, y en el siglo XX, David Hilbert (1862-1943) empleó el razonamiento axiomático en un intento de proporcionar una base moderna de la geometría. [43]

Objetos

Puntos

Los puntos generalmente se consideran objetos fundamentales para la construcción de geometría. Pueden definirse por las propiedades que deben tener, como en la definición de Euclides como "aquello que no tiene parte", [44] o en la geometría sintética . En matemáticas modernas, generalmente se definen como elementos de un conjunto llamado espacio , que a su vez está definido axiomáticamente .

Con estas definiciones modernas, toda forma geométrica se define como un conjunto de puntos; este no es el caso de la geometría sintética, donde una línea es otro objeto fundamental que no se considera como el conjunto de los puntos por los que pasa.

Sin embargo, existen geometrías modernas en las que los puntos no son objetos primitivos, o incluso sin puntos. [45] [46] Una de las geometrías más antiguas es la geometría sin puntos de Whitehead , formulada por Alfred North Whitehead en 1919-1920.

Líneas

Euclides describió una línea como "longitud sin anchura" que "se encuentra igualmente con respecto a los puntos sobre sí misma". [44] En las matemáticas modernas, dada la multitud de geometrías, el concepto de línea está estrechamente ligado a la forma en que se describe la geometría. Por ejemplo, en geometría analítica , una línea en el plano a menudo se define como el conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen una ecuación lineal dada , [47] pero en un entorno más abstracto, como la geometría de incidencia , una línea puede ser un objeto independiente. , distinto del conjunto de puntos que se encuentran sobre él. [48] ​​En geometría diferencial, una geodésica es una generalización de la noción de línea a espacios curvos . [49]

Aviones

En geometría euclidiana, un plano es una superficie plana bidimensional que se extiende infinitamente; [44] las definiciones para otros tipos de geometrías son generalizaciones de eso. Los planos se utilizan en muchas áreas de la geometría. Por ejemplo, los planos pueden estudiarse como una superficie topológica sin referencia a distancias o ángulos; [50] se puede estudiar como un espacio afín , donde se pueden estudiar la colinealidad y las proporciones, pero no las distancias; [51] se puede estudiar como el plano complejo utilizando técnicas de análisis complejo ; [52] y así sucesivamente.

Anglos

Euclides define un ángulo plano como la inclinación entre sí, en un plano, de dos líneas que se encuentran y no son rectas entre sí. [44] En términos modernos, un ángulo es la figura formada por dos rayos , llamados lados del ángulo, que comparten un punto final común, llamado vértice del ángulo. [53]

Ángulos agudos (a), obtusos (b) y rectos (c). Los ángulos agudos y obtusos también se conocen como ángulos oblicuos.

En la geometría euclidiana , los ángulos se utilizan para estudiar polígonos y triángulos , además de formar un objeto de estudio por derecho propio. [44] El estudio de los ángulos de un triángulo o de los ángulos en un círculo unitario forma la base de la trigonometría . [54]

En geometría diferencial y cálculo , los ángulos entre curvas planas o curvas o superficies espaciales se pueden calcular utilizando la derivada . [55] [56]

Curvas

Una curva es un objeto unidimensional que puede ser recto (como una línea) o no; Las curvas en el espacio bidimensional se llaman curvas planas y las del espacio tridimensional se llaman curvas espaciales . [57]

En topología, una curva está definida por una función desde un intervalo de números reales hasta otro espacio. [50] En geometría diferencial, se utiliza la misma definición, pero se requiere que la función definitoria sea diferenciable. [58] La geometría algebraica estudia curvas algebraicas , que se definen como variedades algebraicas de dimensión uno. [59]

Superficies

Una esfera es una superficie que se puede definir paramétricamente (por x = r sin θ cos φ , y = r sin θ sin φ , z = r cos θ ) o implícitamente (por x 2 + y 2 + z 2 − r 2 = 0. )

Una superficie es un objeto bidimensional, como una esfera o un paraboloide. [60] En geometría diferencial [58] y topología , [50] las superficies se describen mediante 'parches' (o vecindades ) bidimensionales que se ensamblan mediante difeomorfismos u homeomorfismos , respectivamente. En geometría algebraica, las superficies se describen mediante ecuaciones polinómicas . [59]

Sólidos

En el espacio euclidiano , una pelota es el volumen delimitado por una esfera

Un sólido es un objeto tridimensional limitado por una superficie cerrada; por ejemplo, una pelota es el volumen acotado por una esfera.

Colectores

Una variedad es una generalización de los conceptos de curva y superficie. En topología , una variedad es un espacio topológico donde cada punto tiene una vecindad que es homeomorfa al espacio euclidiano. [50] En geometría diferencial , una variedad diferenciable es un espacio donde cada vecindad es difeomorfa al espacio euclidiano. [58]

Las variedades se utilizan ampliamente en física, incluida la relatividad general y la teoría de cuerdas . [61]

Medidas: longitud, área y volumen.

Longitud , área y volumen describen el tamaño o extensión de un objeto en una dimensión, dos dimensiones y tres dimensiones respectivamente. [62]

En geometría euclidiana y geometría analítica , la longitud de un segmento de línea a menudo puede calcularse mediante el teorema de Pitágoras . [63]

El área y el volumen se pueden definir como cantidades fundamentales separadas de la longitud, o se pueden describir y calcular en términos de longitudes en un plano o espacio tridimensional. [62] Los matemáticos han encontrado muchas fórmulas explícitas para el área y fórmulas para el volumen de varios objetos geométricos. En cálculo , el área y el volumen se pueden definir en términos de integrales , como la integral de Riemann [64] o la integral de Lebesgue . [sesenta y cinco]

Otras medidas geométricas incluyen la medida angular , curvatura , medidas de compacidad .

Métricas y medidas

Comprobación visual del teorema de Pitágoras para el triángulo (3, 4, 5) como en Zhoubi Suanjing 500-200 a. C. El teorema de Pitágoras es consecuencia de la métrica euclidiana .

El concepto de longitud o distancia se puede generalizar, dando lugar a la idea de métrica . [66] Por ejemplo, la métrica euclidiana mide la distancia entre puntos en el plano euclidiano , mientras que la métrica hiperbólica mide la distancia en el plano hiperbólico . Otros ejemplos importantes de métricas incluyen la métrica de Lorentz de la relatividad especial y las métricas semi-riemannianas de la relatividad general . [67]

En otra dirección, los conceptos de longitud, área y volumen son ampliados por la teoría de la medida , que estudia métodos de asignación de un tamaño o medida a conjuntos , donde las medidas siguen reglas similares a las del área y el volumen clásicos. [68]

Congruencia y similitud

La congruencia y la similitud son conceptos que describen cuando dos formas tienen características similares. [69] En la geometría euclidiana, la similitud se usa para describir objetos que tienen la misma forma, mientras que la congruencia se usa para describir objetos que son iguales tanto en tamaño como en forma. [70] Hilbert , en su trabajo sobre la creación de una base más rigurosa para la geometría, trató la congruencia como un término indefinido cuyas propiedades están definidas por axiomas .

La congruencia y la similitud se generalizan en la geometría de transformaciones , que estudia las propiedades de los objetos geométricos que se conservan mediante diferentes tipos de transformaciones. [71]

Construcciones con compás y regla

Los geómetras clásicos prestaron especial atención a la construcción de objetos geométricos que habían sido descritos de alguna otra manera. Clásicamente, los únicos instrumentos utilizados en la mayoría de las construcciones geométricas son el compás y la regla . [c] Además, cada construcción tenía que completarse en un número finito de pasos. Sin embargo, algunos problemas resultaron difíciles o imposibles de resolver sólo por estos medios, y se encontraron ingeniosas construcciones utilizando neusis , parábolas y otras curvas, o dispositivos mecánicos.

Rotación y orientación

Los conceptos geométricos de rotación y orientación definen parte de la colocación de objetos incrustados en el plano o en el espacio.

Dimensión

El copo de nieve de Koch , con dimensión fractal =log4/log3 y dimensión topológica =1

Mientras que la geometría tradicional permitía las dimensiones 1 (una línea ), 2 (un plano ) y 3 (nuestro mundo ambiental concebido como un espacio tridimensional ), los matemáticos y físicos han utilizado dimensiones superiores durante casi dos siglos. [72] Un ejemplo de un uso matemático de dimensiones superiores es el espacio de configuración de un sistema físico, que tiene una dimensión igual a los grados de libertad del sistema . Por ejemplo, la configuración de un tornillo se puede describir mediante cinco coordenadas. [73]

En topología general , el concepto de dimensión se ha extendido desde los números naturales , hasta la dimensión infinita ( espacios de Hilbert , por ejemplo) y los números reales positivos (en geometría fractal ). [74] En geometría algebraica , la dimensión de una variedad algebraica ha recibido una serie de definiciones aparentemente diferentes, todas ellas equivalentes en los casos más comunes. [75]

Simetría

Un mosaico del plano hiperbólico.

El tema de la simetría en geometría es casi tan antiguo como la propia ciencia de la geometría. [76] Las formas simétricas como el círculo , los polígonos regulares y los sólidos platónicos tuvieron un profundo significado para muchos filósofos antiguos [77] y fueron investigadas en detalle antes de la época de Euclides. [40] Los patrones simétricos ocurren en la naturaleza y fueron representados artísticamente en una multitud de formas, incluidos los gráficos de Leonardo da Vinci , MC Escher y otros. [78] En la segunda mitad del siglo XIX, la relación entre simetría y geometría fue objeto de un intenso escrutinio. El programa de Erlangen de Felix Klein proclamó que, en un sentido muy preciso, la simetría, expresada mediante la noción de grupo de transformación , determina qué es la geometría . [79] La simetría en la geometría euclidiana clásica está representada por congruencias y movimientos rígidos, mientras que en la geometría proyectiva un papel análogo lo desempeñan las colineaciones , transformaciones geométricas que convierten líneas rectas en líneas rectas. [80] Sin embargo, fue en las nuevas geometrías de Bolyai y Lobachevsky, Riemann, Clifford y Klein, y Sophus Lie donde la idea de Klein de 'definir una geometría a través de su grupo de simetría ' encontró su inspiración. [81] Tanto las simetrías discretas como las continuas desempeñan papeles destacados en geometría, la primera en topología y teoría de grupos geométricos , [82] [83] la segunda en teoría de Lie y geometría de Riemann . [84] [85]

Un tipo diferente de simetría es el principio de dualidad en la geometría proyectiva , entre otros campos. Este metafenómeno se puede describir aproximadamente de la siguiente manera: en cualquier teorema , se intercambia el punto con el plano , se une con el encuentro , se encuentra con contiene , y el resultado es un teorema igualmente verdadero. [86] Existe una forma de dualidad similar y estrechamente relacionada entre un espacio vectorial y su espacio dual . [87]

Geometría contemporánea

Geometría euclidiana

La geometría euclidiana es geometría en su sentido clásico. [88] Como modela el espacio del mundo físico, se utiliza en muchas áreas científicas, como la mecánica , la astronomía , la cristalografía , [89] y muchos campos técnicos, como la ingeniería , [90] la arquitectura , [91] la geodesia. , [92] aerodinámica , [93] y navegación . [94] El plan de estudios educativo obligatorio de la mayoría de las naciones incluye el estudio de conceptos euclidianos como puntos , líneas , planos , ángulos , triángulos , congruencia , semejanza , figuras sólidas , círculos y geometría analítica . [36]

Vectores euclidianos

Los vectores euclidianos se utilizan para una infinidad de aplicaciones en física e ingeniería, como posición , desplazamiento , deformación , velocidad , aceleración , fuerza , etc.

Geometría diferencial

La geometría diferencial utiliza herramientas del cálculo para estudiar problemas que involucran curvatura.

La geometría diferencial utiliza técnicas de cálculo y álgebra lineal para estudiar problemas de geometría. [95] Tiene aplicaciones en física , [96] econometría , [97] y bioinformática , [98] entre otras.

En particular, la geometría diferencial es de importancia para la física matemática debido al postulado de la relatividad general de Albert Einstein de que el universo es curvo . [99] La geometría diferencial puede ser intrínseca (lo que significa que los espacios que considera son variedades suaves cuya estructura geométrica se rige por una métrica de Riemann , que determina cómo se miden las distancias cerca de cada punto) o extrínseca (donde el objeto en estudio es parte de algún espacio ambiental plano euclidiano). [100]

Geometría no euclidiana

Comportamiento de rectas con perpendicular común en cada uno de los tres tipos de geometría
En matemáticas , la geometría no euclidiana consta de dos geometrías basadas en axiomas estrechamente relacionados con los que especifican la geometría euclidiana . Como la geometría euclidiana se encuentra en la intersección de la geometría métrica y la geometría afín , la geometría no euclidiana surge reemplazando el postulado de las paralelas por una alternativa o relajando el requisito métrico. En el primer caso se obtiene una geometría hiperbólica y una geometría elíptica , las tradicionales geometrías no euclidianas. Cuando se relaja el requisito métrico, entonces existen planos afines asociados con las álgebras planas, que dan lugar a geometrías cinemáticas que también han sido llamadas geometría no euclidiana.

Topología

Un engrosamiento del nudo trébol.

La topología es el campo que se ocupa de las propiedades de los mapeos continuos , [101] y puede considerarse una generalización de la geometría euclidiana. [102] En la práctica, la topología a menudo significa tratar con propiedades de espacios a gran escala, como la conectividad y la compacidad . [50]

El campo de la topología, que experimentó un desarrollo masivo en el siglo XX, es en un sentido técnico un tipo de geometría de transformación , en la que las transformaciones son homeomorfismos . [103] Esto se ha expresado a menudo con el dicho "la topología es geometría de lámina de caucho". Los subcampos de la topología incluyen topología geométrica , topología diferencial , topología algebraica y topología general . [104]

geometría algebraica

Quintic Calabi – Yau triple

La geometría algebraica es fundamentalmente el estudio mediante métodos algebraicos de algunas formas geométricas, llamadas conjuntos algebraicos , y definidas como ceros comunes de polinomios multivariados . [105] La geometría algebraica se convirtió en un subcampo autónomo de la geometría c.  1900 , con un teorema llamado Nullstellensatz de Hilbert que establece una fuerte correspondencia entre conjuntos algebraicos e ideales de anillos polinomiales . Esto llevó a un desarrollo paralelo de la geometría algebraica y su contraparte algebraica, llamada álgebra conmutativa . [106] Desde finales de la década de 1950 hasta mediados de la década de 1970, la geometría algebraica había experimentado un importante desarrollo fundamental, con la introducción por parte de Alexander Grothendieck de la teoría de esquemas , que permite utilizar métodos topológicos , incluidas teorías de cohomología en un contexto puramente algebraico. [106] La teoría de esquemas permitió resolver muchos problemas difíciles no solo en geometría, sino también en teoría de números . La prueba de Wiles del último teorema de Fermat es un ejemplo famoso de un problema de larga data de la teoría de números cuya solución utiliza la teoría de esquemas y sus extensiones, como la teoría de pilas . Uno de los siete problemas del Premio del Milenio , la conjetura de Hodge , es una cuestión de geometría algebraica. [107]

La geometría algebraica tiene aplicaciones en muchas áreas, incluida la criptografía [108] y la teoría de cuerdas . [109]

Geometría compleja

La geometría compleja estudia la naturaleza de las estructuras geométricas modeladas en el plano complejo o que surgen de él . [110] [111] [112] La geometría compleja se encuentra en la intersección de la geometría diferencial, la geometría algebraica y el análisis de varias variables complejas , y ha encontrado aplicaciones en la teoría de cuerdas y la simetría especular . [113]

La geometría compleja apareció por primera vez como un área de estudio distinta en el trabajo de Bernhard Riemann en su estudio de las superficies de Riemann . [114] [115] [116] La escuela italiana de geometría algebraica llevó a cabo trabajos en el espíritu de Riemann a principios del siglo XX. El tratamiento contemporáneo de la geometría compleja comenzó con el trabajo de Jean-Pierre Serre , quien introdujo el concepto de gavillas en el tema e iluminó las relaciones entre la geometría compleja y la geometría algebraica. [117] [118] Los principales objetos de estudio en geometría compleja son variedades complejas , variedades algebraicas complejas y variedades analíticas complejas , y paquetes de vectores holomorfos y haces coherentes sobre estos espacios. Ejemplos especiales de espacios estudiados en geometría compleja incluyen las superficies de Riemann y las variedades de Calabi-Yau , y estos espacios encuentran usos en la teoría de cuerdas. En particular, las hojas de mundo de cuerdas se modelan mediante superficies de Riemann, y la teoría de supercuerdas predice que las seis dimensiones adicionales del espacio-tiempo de 10 dimensiones pueden modelarse mediante variedades de Calabi-Yau.

Geometría discreta

La geometría discreta incluye el estudio de varios empaquetamientos de esferas .

La geometría discreta es un tema que tiene estrechas conexiones con la geometría convexa . [119] [120] [121] Se ocupa principalmente de cuestiones de posición relativa de objetos geométricos simples, como puntos, líneas y círculos. Los ejemplos incluyen el estudio de empaquetamientos de esferas , triangulaciones , la conjetura de Kneser-Poulsen, etc. [122] [123] Comparte muchos métodos y principios con la combinatoria .

Geometría Computacional

La geometría computacional se ocupa de algoritmos y sus implementaciones para manipular objetos geométricos. Históricamente, los problemas importantes han incluido el problema del viajante , los árboles de expansión mínima , la eliminación de líneas ocultas y la programación lineal . [124]

Aunque es un área joven de la geometría, tiene muchas aplicaciones en visión por computadora , procesamiento de imágenes , diseño asistido por computadora , imágenes médicas , etc. [125]

Teoría de grupos geométricos

El gráfico de Cayley del grupo libre en dos generadores a y b

La teoría de grupos geométricos utiliza técnicas geométricas a gran escala para estudiar grupos generados finitamente . [126] Está estrechamente relacionado con la topología de baja dimensión , como en la prueba de Grigori Perelman de la conjetura de geometrización , que incluía la prueba de la conjetura de Poincaré , un problema del Premio del Milenio . [127]

La teoría de grupos geométricos a menudo gira en torno al gráfico de Cayley , que es una representación geométrica de un grupo. Otros temas importantes incluyen cuasiisometrías , grupos hiperbólicos de Gromov y grupos de Artin en ángulo recto . [126] [128]

geometría convexa

La geometría convexa investiga formas convexas en el espacio euclidiano y sus análogos más abstractos, a menudo utilizando técnicas de análisis real y matemáticas discretas . [129] Tiene estrechas conexiones con el análisis convexo , la optimización y el análisis funcional y aplicaciones importantes en la teoría de números .

La geometría convexa se remonta a la antigüedad. [129] Arquímedes dio la primera definición precisa conocida de convexidad. El problema isoperimétrico , un concepto recurrente en la geometría convexa, fue estudiado también por los griegos, incluido Zenodoro . Arquímedes, Platón , Euclides y más tarde Kepler y Coxeter estudiaron los politopos convexos y sus propiedades. A partir del siglo XIX, los matemáticos han estudiado otras áreas de las matemáticas convexas, incluidos los politopos de dimensiones superiores, el volumen y el área de superficie de los cuerpos convexos, la curvatura gaussiana , los algoritmos , los mosaicos y las celosías .

Aplicaciones

La geometría ha encontrado aplicaciones en muchos campos, algunos de los cuales se describen a continuación.

Arte

Bou Inania Madrasa, Fez, Marruecos, mosaicos zellige formando elaboradas teselaciones geométricas

Las matemáticas y el arte están relacionados de diversas maneras. Por ejemplo, la teoría de la perspectiva demostró que la geometría es más que solo las propiedades métricas de las figuras: la perspectiva es el origen de la geometría proyectiva . [130]

Los artistas han utilizado durante mucho tiempo conceptos de proporción en el diseño. Vitruvio desarrolló una complicada teoría de las proporciones ideales de la figura humana. [131] Estos conceptos han sido utilizados y adaptados por artistas desde Miguel Ángel hasta artistas de cómics modernos. [132]

La proporción áurea es una proporción particular que ha tenido un papel controvertido en el arte. A menudo se afirma que es la proporción de longitudes más agradable desde el punto de vista estético, y con frecuencia se afirma que se incorpora a obras de arte famosas, aunque los ejemplos más confiables e inequívocos fueron creados deliberadamente por artistas conscientes de esta leyenda. [133]

Los mosaicos , o teselados, se han utilizado en el arte a lo largo de la historia. El arte islámico hace uso frecuente de teselados, al igual que el arte de MC Escher . [134] El trabajo de Escher también hizo uso de la geometría hiperbólica .

Cézanne avanzó la teoría de que todas las imágenes pueden construirse a partir de la esfera , el cono y el cilindro . Esto todavía se utiliza hoy en día en la teoría del arte, aunque la lista exacta de formas varía de un autor a otro. [135] [136]

Arquitectura

La geometría tiene muchas aplicaciones en arquitectura. De hecho, se ha dicho que la geometría es el núcleo del diseño arquitectónico. [137] [138] Las aplicaciones de la geometría a la arquitectura incluyen el uso de geometría proyectiva para crear una perspectiva forzada , [139] el uso de secciones cónicas en la construcción de cúpulas y objetos similares, [91] el uso de teselados , [91] y el uso de la simetría. [91]

Física

El campo de la astronomía , especialmente en lo que se refiere al mapeo de las posiciones de estrellas y planetas en la esfera celeste y a la descripción de la relación entre los movimientos de los cuerpos celestes, ha servido como una fuente importante de problemas geométricos a lo largo de la historia. [140]

En la relatividad general se utiliza la geometría riemanniana y la geometría pseudoriemanniana . [141] La teoría de cuerdas hace uso de varias variantes de la geometría, [142] al igual que la teoría de la información cuántica . [143]

Otros campos de las matemáticas

Los pitagóricos descubrieron que los lados de un triángulo podían tener longitudes inconmensurables .

El cálculo estuvo fuertemente influenciado por la geometría. [30] Por ejemplo, la introducción de las coordenadas por René Descartes y los desarrollos simultáneos del álgebra marcaron una nueva etapa para la geometría, ya que figuras geométricas como las curvas planas ahora podían representarse analíticamente en forma de funciones y ecuaciones. Esto jugó un papel clave en el surgimiento del cálculo infinitesimal en el siglo XVII. La geometría analítica sigue siendo un pilar del plan de estudios de precálculo y cálculo. [144] [145]

Otra importante área de aplicación es la teoría de números . [146] En la antigua Grecia, los pitagóricos consideraron el papel de los números en la geometría. Sin embargo, el descubrimiento de longitudes inconmensurables contradecía sus puntos de vista filosóficos. [147] Desde el siglo XIX, la geometría se ha utilizado para resolver problemas en la teoría de números, por ejemplo a través de la geometría de números o, más recientemente, la teoría de esquemas , que se utiliza en la prueba de Wiles del último teorema de Fermat . [148]

Ver también

Liza
Temas relacionados
Otras aplicaciones

Notas

  1. ^ Hasta el siglo XIX, la geometría estuvo dominada por la suposición de que todas las construcciones geométricas eran euclidianas. En el siglo XIX y posteriormente, esto fue desafiado por el desarrollo de la geometría hiperbólica por Lobachevsky y otras geometrías no euclidianas por Gauss y otros. Entonces se comprendió que la geometría implícitamente no euclidiana había aparecido a lo largo de la historia, incluido el trabajo de Desargues en el siglo XVII, hasta el uso implícito de la geometría esférica para comprender la geodesia de la Tierra y navegar por los océanos desde la antigüedad.
  2. ^ Las ternas pitagóricas son ternas de números enteros con la propiedad: . Así, , , etc.
  3. ^ Los antiguos griegos tenían algunas construcciones utilizando otros instrumentos.

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Fuentes

Otras lecturas

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