Espacio métrico

En matemática, un espacio métrico es un conjunto que lleva asociada una función distancia, es decir, que esta función está definida sobre dicho conjunto, cumpliendo propiedades atribuidas a la distancia, de modo que para cualquier par de puntos del conjunto, estos están a una cierta distancia asignada por dicha función.En particular, cualquier espacio métrico será, además, un espacio topológico porque cualquier función de distancia definida sobre un conjunto dado induce una topología sobre dicho conjunto.Se trata de la topología inducida por las bolas abiertas asociadas a la función distancia del espacio métrico.Otros ejemplos conocidos son una esfera dotada de la distancia angular y el plano hiperbólico.Otras nociones, como continuidad, compacidad, y abierto y conjunto cerrado, pueden definirse para espacios métricos, pero también en el entorno aún más general de espacio topológico.[4]​ Los espacios métricos generales se han convertido en una parte fundamental del currículo matemático.[5]​ Ejemplos destacados de espacios métricos en la investigación matemática incluyen los colectores riemannianos y los espacios vectoriales normados, que son el dominio de la geometría diferencial y el análisis funcional, respectivamente.[6]​ Geometría fractal es una fuente de algunos espacios métricos exóticos.Por último, han surgido muchas aplicaciones nuevas de los espacios métricos finitos y discretos en informática.También podemos medir la distancia en línea recta entre dos puntos a través del interior de la Tierra; esta noción es, por ejemplo, natural en sismología, ya que corresponde aproximadamente a la longitud de tiempo que tardan las ondas sísmicas en viajar entre esos dos puntos.Esta generalidad confiere a los espacios métricos una gran flexibilidad.Al mismo tiempo, la noción es lo suficientemente fuerte como para codificar muchos hechos intuitivos sobre el significado de la distancia.Esto significa que los resultados generales sobre espacios métricos pueden aplicarse en muchos contextos diferentes.(a cuyos elementos se les denomina puntos) con una función distancia asociada (también llamada una métrica): (dondey un número real positivo o cero, respectivamente: La distanciaEn consecuencia, todo espacio métrico cumple el Primer Axioma de Numerabilidad.Algunos autores usan la recta real extendida y admiten que la distancia tome el valor) y los dos conceptos de espacio métrico son equivalentes en lo que a topología se refiere.Una métrica es llamada ultramétrica si satisface la siguiente versión, más fuerte, de la desigualdad triangular: Si se elimina la propiedad 3, se obtiene un espacio pseudométrico.Sacando, en cambio, la propiedad 4, se obtiene un espacio quasimétrico.No obstante, perdiéndose simetría en este caso, se cambia, usualmente, la propiedad 3 tal que ambasTodas las combinaciones de lo anterior son posibles y referidas por sus nomenclaturas respectivas (por ejemplo como quasi-pseudo-ultramétrico).se dirá totalmente acotado si y solamente si cumple la siguiente propiedad:Esta propiedad es útil precisamente para demostrar compacidad, pues se tiene que existe equivalencia entre ser compacto y ser totalmente acotado y completo.se llama espacio discreto; ver Análisis real de Haaser y Sullivan.expresa (sin ninguna referencia a una operación en los reales positivos, |x - y| es la distancia allí) el hecho que d(x, -) es función corta (luego uniforme, luego continua).Todo espacio topológico regular que cumpla el segundo axioma de numerabilidad es metrizable.Todo espacio regular con una base numerable localmente finita es metrizable.Un espacio topológico completamente separable es metrizable si y solo si es regular.... durante la mayor parte del siglo pasado fue creencia común que la "geometría de los múltiples" se reducía básicamente a "análisis sobre múltiples".