Aquí, dH denota la distancia de Hausdorff entre subconjuntos de M y el embebimiento isométrico se entiende en sentido global, esto es, debe preservar todas las distancias, no solo las infinitesimalmente pequeñas.El espacio de Grómov-Hausdorff es conexo por caminos, completo y separable.[6] En el sentido global, el espacio de Grómov-Hausdorff es totalmente heterogéneo, esto es, su grupo de isometría es trivial,[7] pero localmente existen muchas isometrías no triviales.[9] La noción de convergencia de Grómov-Hausdorff fue utilizada en primer lugar por Grómov para probar que cualquier grupo discreto con crecimiento polinomial es virtualmente nilpotente (esto es, contiene un subgrupo nilpotente de índice finito).Cheeger y Colding han probado propiedades adicionales en los espacios de longitud.
Diagrama de cercanía y lejanía de algunas figuras bajo la distancia de Grómov-Hausdorff
