Las matemáticas y la arquitectura están relacionadas, ya que, al igual que ocurre con otras artes , los arquitectos utilizan las matemáticas por varios motivos. Además de las matemáticas necesarias para diseñar edificios , los arquitectos utilizan la geometría : para definir la forma espacial de un edificio; desde los pitagóricos del siglo VI a. C. en adelante, crear formas consideradas armoniosas y así distribuir los edificios y su entorno según principios matemáticos, estéticos y, a veces, religiosos; decorar edificios con objetos matemáticos como teselados ; y para cumplir objetivos medioambientales, como minimizar la velocidad del viento alrededor de las bases de edificios altos.
En el antiguo Egipto , la antigua Grecia , la India y el mundo islámico , los edificios como pirámides , templos, mezquitas, palacios y mausoleos se disponían con proporciones específicas por motivos religiosos. En la arquitectura islámica, las formas geométricas y los patrones de mosaicos geométricos se utilizan para decorar los edificios, tanto en el interior como en el exterior. Algunos templos hindúes tienen una estructura similar a un fractal donde las partes se parecen al todo, lo que transmite un mensaje sobre el infinito en la cosmología hindú . En la arquitectura china , los tulou de la provincia de Fujian son estructuras defensivas comunitarias circulares. En el siglo XXI, la ornamentación matemática vuelve a utilizarse para cubrir los edificios públicos.
En la arquitectura renacentista , arquitectos como Leon Battista Alberti , Sebastiano Serlio y Andrea Palladio enfatizaron deliberadamente la simetría y la proporción , influenciados por el De arquitectoura de Vitruvio de la antigua Roma y la aritmética de los pitagóricos de la antigua Grecia. A finales del siglo XIX, Vladimir Shukhov en Rusia y Antoni Gaudí en Barcelona fueron pioneros en el uso de estructuras hiperboloides ; en la Sagrada Familia , Gaudí también incorporó paraboloides hiperbólicos , teselaciones, arcos catenarios , catenoides , helicoides y superficies regladas . En el siglo XX, estilos como la arquitectura moderna y el deconstructivismo exploraron diferentes geometrías para lograr los efectos deseados. Se han aprovechado superficies mínimas en cubiertas de tejados similares a tiendas de campaña, como en el Aeropuerto Internacional de Denver , mientras que Richard Buckminster Fuller fue pionero en el uso de estructuras fuertes y delgadas conocidas como cúpulas geodésicas .
Los arquitectos Michael Ostwald y Kim Williams , al considerar las relaciones entre arquitectura y matemáticas , señalan que los campos tal como comúnmente se entienden podrían parecer estar sólo débilmente conectados, ya que la arquitectura es una profesión relacionada con la cuestión práctica de construir edificios, mientras que las matemáticas son puramente estudio de números y otros objetos abstractos. Pero, argumentan, ambos están fuertemente conectados y lo han estado desde la antigüedad . En la antigua Roma, Vitruvio describía a un arquitecto como un hombre que sabía lo suficiente sobre una variedad de otras disciplinas, principalmente la geometría , para permitirle supervisar a artesanos calificados en todas las demás áreas necesarias, como albañiles y carpinteros. Lo mismo se aplicaba en la Edad Media , donde los graduados aprendían aritmética , geometría y estética junto con el programa básico de gramática, lógica y retórica (el trivium ) en elegantes salas construidas por maestros constructores que habían guiado a muchos artesanos. Un maestro de obras en la cima de su profesión recibía el título de arquitecto o ingeniero. En el Renacimiento , el cuadrivium de aritmética, geometría, música y astronomía se convirtió en un programa de estudios adicional que se esperaba de un hombre del Renacimiento como Leon Battista Alberti . De manera similar, en Inglaterra, Sir Christopher Wren , conocido hoy como arquitecto, fue al principio un destacado astrónomo. [3]
Williams y Ostwald, repasando además la interacción de las matemáticas y la arquitectura desde 1500 según el enfoque del sociólogo alemán Theodor Adorno , identifican tres tendencias entre los arquitectos, a saber: ser revolucionarios , introducir ideas totalmente nuevas; reaccionario , al no introducir cambios; o revivalista , en realidad yendo hacia atrás. Sostienen que los arquitectos han evitado buscar inspiración en las matemáticas en la época revivalista. Esto explicaría por qué en los períodos revivalistas, como el Renacimiento gótico en la Inglaterra del siglo XIX, la arquitectura tenía poca conexión con las matemáticas. Del mismo modo, señalan que en épocas reaccionarias, como el manierismo italiano de aproximadamente 1520 a 1580, o los movimientos barroco y palladiano del siglo XVII , apenas se consultaban las matemáticas. Por el contrario, los movimientos revolucionarios de principios del siglo XX, como el futurismo y el constructivismo, rechazaron activamente las viejas ideas, abrazaron las matemáticas y condujeron a la arquitectura modernista . También a finales del siglo XX los arquitectos aprovecharon rápidamente la geometría fractal , al igual que los mosaicos aperiódicos , para proporcionar revestimientos interesantes y atractivos a los edificios. [4]
Los arquitectos utilizan las matemáticas por varios motivos, dejando de lado el necesario uso de las matemáticas en la ingeniería de edificios . [5] En primer lugar, utilizan la geometría porque define la forma espacial de un edificio. [6] En segundo lugar, utilizan las matemáticas para diseñar formas que se consideran bellas o armoniosas. [7] Desde la época de los pitagóricos con su filosofía religiosa del número, [8] los arquitectos de la antigua Grecia , la antigua Roma , el mundo islámico y el Renacimiento italiano han elegido las proporciones del entorno construido (los edificios y su entorno diseñado) de acuerdo con a principios matemáticos, estéticos y, a veces, religiosos. [9] [10] [11] [12] En tercer lugar, pueden utilizar objetos matemáticos como teselados para decorar edificios. [13] [14] En cuarto lugar, pueden utilizar las matemáticas en forma de modelos informáticos para cumplir objetivos medioambientales, como minimizar las corrientes de aire giratorias en la base de los edificios altos. [1]
El influyente arquitecto romano antiguo Vitruvio argumentó que el diseño de un edificio como un templo depende de dos cualidades: la proporción y la simetría . La proporción garantiza que cada parte de un edificio se relacione armoniosamente con todas las demás. Symmetria en el uso de Vitruvio significa algo más cercano al término inglés modularidad que simetría especular , ya que nuevamente se relaciona con el ensamblaje de partes (modulares) en todo el edificio. En su Basílica de Fano , utiliza proporciones de números enteros pequeños, especialmente los números triangulares (1, 3, 6, 10,...) para proporcionar la estructura en módulos (de Vitruvio) . [a] Así, el ancho de la Basílica con respecto al largo es 1:2; el pasillo que lo rodea es tan alto como ancho, 1:1; las columnas tienen cinco pies de espesor y cincuenta pies de alto, 1:10. [9]
Vitruvio nombró tres cualidades requeridas de la arquitectura en su De Architectura , c. 15 aC : firmeza, utilidad (o "mercancía" en el inglés del siglo XVI de Henry Wotton ) y deleite. Éstas pueden utilizarse como categorías para clasificar las formas en que se utilizan las matemáticas en la arquitectura. La firmeza abarca el uso de las matemáticas para garantizar que un edificio se mantenga en pie, de ahí las herramientas matemáticas utilizadas en el diseño y para respaldar la construcción, por ejemplo para garantizar la estabilidad y modelar el rendimiento. La utilidad se deriva en parte de la aplicación efectiva de las matemáticas, razonando y analizando las relaciones espaciales y de otro tipo en un diseño. El deleite es un atributo del edificio resultante, resultante de la incorporación de relaciones matemáticas en el edificio; incluye cualidades estéticas, sensuales e intelectuales. [dieciséis]
El Panteón de Roma ha sobrevivido intacto, ilustrando la estructura, proporción y decoración clásica romana. La estructura principal es una cúpula, el vértice se deja abierto como un óculo circular para dejar entrar la luz; está precedido por una columnata corta con frontón triangular. La altura hasta el óculo y el diámetro del círculo interior son los mismos, 43,3 metros (142 pies), por lo que todo el interior encajaría exactamente dentro de un cubo, y el interior podría albergar una esfera del mismo diámetro. [17] Estas dimensiones tienen más sentido cuando se expresan en unidades de medida romanas antiguas : la cúpula se extiende por 150 pies romanos [b] ); el óculo tiene 30 pies romanos de diámetro; la puerta tiene 40 pies romanos de altura. [18] El Panteón sigue siendo la cúpula de hormigón no reforzado más grande del mundo. [19]
El primer tratado de arquitectura del Renacimiento fue De re aedificatoria (Sobre el arte de la construcción), de Leon Battista Alberti, de 1450; se convirtió en el primer libro impreso sobre arquitectura en 1485. Se basó en parte en De Architectura de Vitruvio y, a través de Nicómaco, en la aritmética pitagórica. Alberti comienza con un cubo y de él deriva razones. Así, la diagonal de una cara da la razón 1: √ 2 , mientras que el diámetro de la esfera que circunscribe el cubo da 1: √ 3 . [20] [21] Alberti también documentó el descubrimiento de la perspectiva lineal por parte de Filippo Brunelleschi , desarrollada para permitir el diseño de edificios que lucirían bellamente proporcionados cuando se vieran desde una distancia conveniente. [12]
El siguiente texto importante fue Regole generali d'architettura (Reglas generales de arquitectura) de Sebastiano Serlio ; el primer volumen apareció en Venecia en 1537; el volumen de 1545 (libros 1 y 2) cubría geometría y perspectiva . Dos de los métodos de Serlio para construir perspectivas eran incorrectos, pero esto no impidió que su trabajo fuera ampliamente utilizado. [23]
En 1570, Andrea Palladio publicó el influyente I quattro libri dell'architettura (Los cuatro libros de la arquitectura) en Venecia . Este libro ampliamente impreso fue en gran medida responsable de la difusión de las ideas del Renacimiento italiano por toda Europa, con la ayuda de defensores como el diplomático inglés Henry Wotton con su obra de 1624 Los elementos de la arquitectura . [24] Las proporciones de cada habitación dentro de la villa se calcularon en proporciones matemáticas simples como 3:4 y 4:5, y las diferentes habitaciones dentro de la casa estaban interrelacionadas mediante estas proporciones. Los arquitectos anteriores habían utilizado estas fórmulas para equilibrar una única fachada simétrica; sin embargo, los diseños de Palladio se referían a toda la villa, generalmente cuadrada. [25] Palladio permitió una variedad de proporciones en los Quattro libri , afirmando: [26] [27]
Hay siete tipos de habitaciones que son las más bellas, las más proporcionadas y las que quedan mejor: pueden ser circulares, aunque son raras; o cuadrado; o su largo será igual a la diagonal del cuadrado del ancho; o un cuadrado y un tercero; o un cuadrado y medio; o un cuadrado y dos tercios; o dos cuadrados. [C]
En 1615, Vincenzo Scamozzi publicó el tratado del Renacimiento tardío L'idea dell'architettura universale (La idea de una arquitectura universal). [28] Intentó relacionar el diseño de ciudades y edificios con las ideas de Vitruvio y los pitagóricos, y con las ideas más recientes de Palladio. [29]
Vladimir Shukhov utilizó estructuras hiperboloides a partir de finales del siglo XIX para mástiles, faros y torres de refrigeración. Su llamativa forma es estéticamente interesante y fuerte, y utiliza materiales estructurales de forma económica. La primera torre hiperboloidal de Shukhov se exhibió en Nizhny Novgorod en 1896. [30] [31] [32]
El movimiento de principios del siglo XX , la arquitectura moderna , iniciado [d] por el constructivismo ruso , [33] utilizó geometría rectilínea euclidiana (también llamada cartesiana ). En el movimiento De Stijl , lo horizontal y lo vertical eran vistos como algo universal. La forma arquitectónica consiste en unir estas dos tendencias direccionales, utilizando planos de techo, planos de paredes y balcones, que se deslizan o se cruzan entre sí, como en la Casa Rietveld Schröder de 1924 de Gerrit Rietveld . [34]
Los arquitectos modernistas eran libres de utilizar tanto curvas como planos. La estación Arnos de Charles Holden de 1933 tiene una taquilla circular de ladrillo con un techo plano de hormigón. [35] En 1938, el pintor de la Bauhaus László Moholy-Nagy adoptó los siete elementos biotecnológicos de Raoul Heinrich Francé , a saber, el cristal, la esfera, el cono, el plano, la franja (cuboidal), la varilla (cilíndrica) y el espiral, como los supuestos pilares básicos de la arquitectura inspirada en la naturaleza. [36] [37]
Le Corbusier propuso una escala antropométrica de proporciones en arquitectura, el Modulor , basada en la supuesta altura de un hombre. [38] La Chapelle Notre-Dame du Haut de Le Corbusier de 1955 utiliza curvas de forma libre que no se pueden describir en fórmulas matemáticas. [e] Se dice que las formas evocan formas naturales como la proa de un barco o las manos en oración. [41] El diseño es sólo a la escala más grande: no hay jerarquía de detalles en escalas más pequeñas y, por lo tanto, no hay dimensión fractal; lo mismo se aplica a otros edificios famosos del siglo XX como la Ópera de Sydney , el Aeropuerto Internacional de Denver y el Museo Guggenheim de Bilbao . [39]
La arquitectura contemporánea , en opinión de los 90 arquitectos destacados que respondieron a una Encuesta Mundial de Arquitectura de 2010 , es extremadamente diversa; Se consideró que el mejor era el Museo Guggenheim de Frank Gehry en Bilbao. [42]
El edificio de la terminal del Aeropuerto Internacional de Denver, terminado en 1995, tiene un techo de tela sostenido como una superficie mínima (es decir, su curvatura media es cero) mediante cables de acero. Evoca las montañas nevadas de Colorado y las tiendas tipi de los nativos americanos . [43] [44]
El arquitecto Richard Buckminster Fuller es famoso por diseñar fuertes estructuras de capa delgada conocidas como cúpulas geodésicas . La cúpula de la Biosfera de Montreal tiene 61 metros (200 pies) de altura; su diámetro es de 76 metros (249 pies). [45]
La Ópera de Sídney tiene un tejado espectacular formado por altísimas bóvedas blancas, que recuerdan a las velas de un barco; Para que sea posible construirlas utilizando componentes estandarizados, las bóvedas están compuestas por secciones triangulares de cáscaras esféricas con el mismo radio. Estos tienen la curvatura uniforme requerida en todas las direcciones. [46]
El movimiento deconstructivismo de finales del siglo XX crea un desorden deliberado con lo que Nikos Salingaros en Una teoría de la arquitectura llama formas aleatorias [47] de alta complejidad [48] mediante el uso de paredes no paralelas, cuadrículas superpuestas y superficies complejas en 2-D, como en Frank Gehry. Sala de Conciertos Disney y Museo Guggenheim, Bilbao. [49] [50] Hasta el siglo XX, los estudiantes de arquitectura estaban obligados a tener una base matemática. Salingaros sostiene que primero el modernismo "demasiado simplista y políticamente impulsado" y luego el deconstructivismo "anticientífico" han separado efectivamente la arquitectura de las matemáticas. Cree que esta "inversión de los valores matemáticos" es perjudicial, ya que la "estética omnipresente" de la arquitectura no matemática entrena a las personas "para rechazar la información matemática en el entorno construido"; Sostiene que esto tiene efectos negativos en la sociedad. [39]
Las pirámides del antiguo Egipto son tumbas construidas con proporciones matemáticas, pero aún se debate cuáles eran y si se utilizó el teorema de Pitágoras . La proporción entre la altura inclinada y la mitad de la longitud de la base de la Gran Pirámide de Giza es menos del 1% de la proporción áurea . [51] Si este fuera el método de diseño, implicaría el uso del triángulo de Kepler (ángulo de la cara 51°49'), [51] [52] pero según muchos historiadores de la ciencia , la proporción áurea no se conoció hasta el momento de los pitagóricos . [53]
Las proporciones de algunas pirámides también pueden haberse basado en el triángulo 3:4:5 (ángulo de la cara 53°8'), conocido por el Papiro Matemático de Rhind (c. 1650-1550 a. C.); esto fue conjeturado por primera vez por el historiador Moritz Cantor en 1882. [54] Se sabe que los ángulos rectos se trazaban con precisión en el antiguo Egipto utilizando cuerdas anudadas para medir, [54] que Plutarco registró en Isis y Osiris (c. 100 d.C.) que los egipcios admiraban el triángulo 3:4:5, [54] y que un pergamino anterior al 1700 a.C. demostraba fórmulas cuadradas básicas . [55] [f] El historiador Roger L. Cooke observa que "Es difícil imaginar que alguien esté interesado en tales condiciones sin conocer el teorema de Pitágoras", pero también señala que ningún texto egipcio anterior al 300 a. C. menciona realmente el uso del teorema para encontrar la longitud de los lados de un triángulo y que existen formas más sencillas de construir un ángulo recto. Cooke concluye que la conjetura de Cantor sigue siendo incierta; Supone que los antiguos egipcios probablemente conocían el teorema de Pitágoras, pero "no hay evidencia de que lo usaran para construir ángulos rectos". [54]
Vaastu Shastra , los antiguos cánones indios de arquitectura y urbanismo, emplea dibujos simétricos llamados mandalas . Se utilizan cálculos complejos para llegar a las dimensiones de un edificio y sus componentes. Los diseños pretenden integrar la arquitectura con la naturaleza, las funciones relativas de varias partes de la estructura y las creencias antiguas utilizando patrones geométricos ( yantra ), simetría y alineaciones direccionales . [56] [57] Sin embargo, los primeros constructores pueden haber encontrado proporciones matemáticas por accidente. El matemático Georges Ifrah señala que se pueden utilizar "trucos" sencillos con cuerdas y estacas para trazar formas geométricas, como elipses y ángulos rectos. [12] [58]
Se han utilizado las matemáticas de los fractales para mostrar que la razón por la que los edificios existentes tienen un atractivo universal y son visualmente satisfactorios es porque proporcionan al espectador una sensación de escala a diferentes distancias de visión. Por ejemplo, en las altas puertas de entrada gopuram de los templos hindúes , como el templo Virupaksha en Hampi construido en el siglo VII, y otros como el templo Kandariya Mahadev en Khajuraho , las partes y el todo tienen el mismo carácter, con dimensión fractal en el rango de 1,7 a 1,8. El grupo de torres más pequeñas ( shikhara , literalmente 'montaña') alrededor de la torre central más alta que representa el sagrado Monte Kailash , morada del Señor Shiva , representa la repetición interminable de universos en la cosmología hindú . [2] [59] El erudito en estudios religiosos William J. Jackson observó del patrón de torres agrupadas entre torres más pequeñas, a su vez agrupadas entre torres aún más pequeñas, que:
La forma ideal elegantemente artificada sugiere los infinitos niveles crecientes de existencia y conciencia, tamaños en expansión que se elevan hacia la trascendencia superior y, al mismo tiempo, albergan lo sagrado en lo profundo del interior. [59] [60]
El templo Meenakshi Amman es un gran complejo con múltiples santuarios, con las calles de Madurai dispuestas concéntricamente a su alrededor según los shastras. Las cuatro puertas de entrada son torres altas ( gopurams ) con una estructura repetitiva similar a un fractal como en Hampi. Los recintos alrededor de cada santuario son rectangulares y están rodeados por altos muros de piedra. [61]
Pitágoras (c. 569 - c. 475 a. C.) y sus seguidores, los pitagóricos, sostenían que "todas las cosas son números". Observaron las armonías producidas por notas con proporciones de frecuencia específicas de números enteros pequeños y argumentaron que los edificios también deberían diseñarse con tales proporciones. La palabra griega symmetria originalmente denotaba la armonía de las formas arquitectónicas en proporciones precisas, desde los detalles más pequeños de un edificio hasta su diseño completo. [12]
El Partenón mide 69,5 metros (228 pies) de largo, 30,9 metros (101 pies) de ancho y 13,7 metros (45 pies) de alto hasta la cornisa. Esto da una relación entre ancho y largo de 4:9, y lo mismo para alto y ancho. Poniéndolos juntos se obtiene una altura:ancho:largo de 16:36:81, o para el deleite [62] de los pitagóricos 4 2 :6 2 :9 2 . Esto establece el módulo en 0,858 m. Un rectángulo de 4:9 se puede construir como tres rectángulos contiguos con lados en una proporción de 3:4. Cada medio rectángulo es entonces un cómodo triángulo rectángulo de 3:4:5, lo que permite comprobar los ángulos y los lados con una cuerda adecuadamente anudada. El área interior (naos) también tiene proporciones 4:9 (21,44 metros (70,3 pies) de ancho por 48,3 m de largo); la relación entre el diámetro de las columnas exteriores, 1,905 metros (6,25 pies), y el espaciado de sus centros, 4,293 metros (14,08 pies), también es 4:9. [12]
El Partenón es considerado por autores como John Julius Norwich "el templo dórico más perfecto jamás construido". [63] Sus elaborados refinamientos arquitectónicos incluyen "una sutil correspondencia entre la curvatura del estilobato, la forma cónica de las paredes de la naos y el éntasis de las columnas". [63] Entasis se refiere a la sutil disminución del diámetro de las columnas a medida que se elevan. El estilobato es la plataforma sobre la que se asientan las columnas. Como en otros templos griegos clásicos, [64] la plataforma tiene una ligera curvatura parabólica hacia arriba para evacuar el agua de lluvia y reforzar el edificio contra los terremotos. Por lo tanto, se podría suponer que las columnas se inclinan hacia afuera, pero en realidad se inclinan ligeramente hacia adentro, de modo que, si continuaran, se encontrarían aproximadamente a un kilómetro y medio por encima del centro del edificio; como todos tienen la misma altura, la curvatura del borde estilobato exterior se transmite al arquitrabe y al techo de arriba: "todos siguen la regla de estar construidos con curvas delicadas". [sesenta y cinco]
La proporción áurea se conoció en el año 300 a.C., cuando Euclides describió el método de construcción geométrica. [66] Se ha argumentado que la proporción áurea se utilizó en el diseño del Partenón y otros edificios griegos antiguos, así como en esculturas, pinturas y jarrones. [67] Autores más recientes como Nikos Salingaros , sin embargo, dudan de todas estas afirmaciones. [68] Los experimentos realizados por el informático George Markowsky no lograron encontrar ninguna preferencia por el rectángulo áureo . [69]
El historiador del arte islámico Antonio Fernández-Puertas sugiere que la Alhambra , al igual que la Gran Mezquita de Córdoba , [70] fue diseñada utilizando el pie o codo hispanomusulmán de aproximadamente 0,62 metros (2,0 pies). En el Patio de los Leones del palacio , las proporciones siguen una serie de surcos . Un rectángulo de lados 1 y √ 2 tiene (según el teorema de Pitágoras ) una diagonal de √ 3 , que describe el triángulo rectángulo formado por los lados de la cancha; la serie continúa con √ 4 (dando una proporción de 1:2), √ 5 y así sucesivamente. Los patrones decorativos tienen proporciones similares: √ 2 genera cuadrados dentro de círculos y estrellas de ocho puntas, √ 3 genera estrellas de seis puntas. No hay evidencia que respalde afirmaciones anteriores de que la proporción áurea se utilizó en la Alhambra. [10] [71] El Patio de los Leones está delimitado por el Salón de las Dos Hermanas y el Salón de los Abencerrajes; Se puede dibujar un hexágono regular desde los centros de estos dos salones y las cuatro esquinas interiores del Patio de los Leones. [72]
La Mezquita Selimiye en Edirne , Turquía, fue construida por Mimar Sinan para proporcionar un espacio donde el mihrab pudiera verse desde cualquier lugar dentro del edificio. En consecuencia, el gran espacio central está dispuesto como un octágono, formado por ocho enormes pilares y coronado por una cúpula circular de 31,25 metros (102,5 pies) de diámetro y 43 metros (141 pies) de altura. El octágono tiene forma de cuadrado con cuatro semicúpulas y, exteriormente, cuatro minaretes excepcionalmente altos, de 83 metros (272 pies) de altura. La planta del edificio es, pues, un círculo, dentro de un octágono, dentro de un cuadrado. [73]
La arquitectura mogol , como se ve en la ciudad imperial abandonada de Fatehpur Sikri y el complejo Taj Mahal , tiene un orden matemático distintivo y una fuerte estética basada en la simetría y la armonía. [11] [74]
El Taj Mahal es un ejemplo de la arquitectura mogol, ya que representa el paraíso [75] y muestra el poder del emperador mogol Shah Jahan a través de su escala, simetría y costosa decoración. El mausoleo de mármol blanco , decorado con piedra dura , la gran puerta ( Darwaza-i rauza ), otros edificios, los jardines y los senderos forman juntos un diseño jerárquico unificado. Los edificios incluyen una mezquita de piedra arenisca roja al oeste y un edificio casi idéntico, el Jawab o "respuesta" al este para mantener la simetría bilateral del complejo. El charbagh formal ('jardín cuádruple') tiene cuatro partes, simboliza los cuatro ríos del Paraíso y ofrece vistas y reflejos del mausoleo. Estos se dividen a su vez en 16 parterres. [76]
El complejo Taj Mahal se dispuso en una cuadrícula, subdividida en cuadrículas más pequeñas. Los historiadores de la arquitectura Koch y Barraud están de acuerdo con los relatos tradicionales que dan que el ancho del complejo es de 374 yardas mogoles o gaz , [g] siendo el área principal tres cuadrados de 374 gaz. Estos se dividieron en áreas como el bazar y el caravanserai en módulos de 17 gaz; el jardín y terrazas están en módulos de 23 gaz, y tienen 368 gaz de ancho (16 x 23). El mausoleo, la mezquita y la casa de huéspedes están dispuestos sobre una cuadrícula de 7 gaz. Koch y Barraud observan que si a un octágono, utilizado repetidamente en el complejo, se le dan lados de 7 unidades, entonces tiene un ancho de 17 unidades, [h] lo que puede ayudar a explicar la elección de las proporciones en el complejo. [77]
La basílica patriarcal cristiana de Haghia Sophia en Bizancio (ahora Estambul ), construida por primera vez en 537 (y reconstruida dos veces), fue durante mil años [i] la catedral más grande jamás construida. Inspiró muchos edificios posteriores, incluidos el Sultán Ahmed y otras mezquitas de la ciudad. La arquitectura bizantina incluye una nave coronada por una cúpula circular y dos medias cúpulas, todas del mismo diámetro (31 metros (102 pies)), con otras cinco medias cúpulas más pequeñas que forman un ábside y cuatro esquinas redondeadas de un vasto rectángulo. interior. [78] Esto fue interpretado por los arquitectos medievales como una representación de lo mundano debajo (la base cuadrada) y los cielos divinos arriba (la altísima cúpula esférica). [79] El emperador Justiniano utilizó como arquitectos a dos geómetras, Isidoro de Mileto y Antemio de Tralles ; Isidoro recopiló las obras de Arquímedes sobre geometría sólida y fue influenciado por él. [12] [80]
La importancia del bautismo en agua en el cristianismo se reflejó en la escala de la arquitectura del baptisterio . El más antiguo, el Baptisterio de Letrán en Roma, construido en 440, [81] marcó la tendencia de los baptisterios octogonales; la pila bautismal dentro de estos edificios era a menudo octogonal, aunque el baptisterio más grande de Italia , el de Pisa , construido entre 1152 y 1363, es circular, con una pila octogonal. Tiene 54,86 metros (180,0 pies) de altura y un diámetro de 34,13 metros (112,0 pies) (una proporción de 8:5). [82] San Ambrosio escribió que las pilas y los baptisterios eran octogonales "porque en el octavo día, [j] al resucitar, Cristo libera las ataduras de la muerte y recibe a los muertos de sus tumbas". [83] [84] San Agustín describió de manera similar el octavo día como "eterno... santificado por la resurrección de Cristo". [84] [85] El Baptisterio octogonal de San Juan, Florencia , construido entre 1059 y 1128, es uno de los edificios más antiguos de esa ciudad, y uno de los últimos en la tradición directa de la antigüedad clásica; Fue extremadamente influyente en el posterior Renacimiento florentino, ya que importantes arquitectos, entre ellos Francesco Talenti , Alberti y Brunelleschi, lo utilizaron como modelo de la arquitectura clásica. [86]
El número cinco se utiliza "exuberantemente" [87] en la Iglesia de Peregrinación de San Juan Nepomuceno de 1721 en Zelená hora, cerca de Žďár nad Sázavou en la República Checa, diseñada por Jan Blažej Santini Aichel . La nave es circular, rodeada por cinco pares de columnas y cinco cúpulas ovaladas que se alternan con ábsides ojivales. La iglesia además tiene cinco puertas, cinco capillas, cinco altares y cinco estrellas; Una leyenda cuenta que cuando San Juan Nepomuceno fue martirizado, cinco estrellas aparecieron sobre su cabeza. [87] [88] La arquitectura quíntuple también puede simbolizar las cinco llagas de Cristo y las cinco letras de "Tacui" (latín: "Guardé silencio" [sobre los secretos del confesionario ]). [89]
Antoni Gaudí utilizó una amplia variedad de estructuras geométricas, algunas de ellas de superficies mínimas, en la Sagrada Familia , Barcelona , iniciada en 1882 (y no terminada en 2023). Estos incluyen paraboloides hiperbólicos e hiperboloides de revolución , [90] teselados, arcos catenarios , catenoides , helicoides y superficies regladas . Esta variada mezcla de geometrías se combina creativamente de diferentes maneras alrededor de la iglesia. Por ejemplo, en la Fachada de la Pasión de la Sagrada Familia, Gaudí ensambló "ramas" de piedra en forma de paraboloides hiperbólicos, que se superponen en sus cimas (directrices) sin, por tanto, encontrarse en un punto. Por el contrario, en la columnata hay superficies paraboloidales hiperbólicas que se unen suavemente a otras estructuras para formar superficies ilimitadas. Además, Gaudí explota patrones naturales , ellos mismos matemáticos, con columnas derivadas de las formas de los árboles y dinteles hechos de basalto no modificado naturalmente agrietado (por enfriamiento de roca fundida) en columnas hexagonales . [91] [92] [90]
La Catedral de Santa María de la Asunción, San Francisco de 1971, tiene un techo a dos aguas compuesto por ocho segmentos de paraboloides hiperbólicos, dispuestos de modo que la sección transversal horizontal inferior del techo sea un cuadrado y la sección transversal superior sea una cruz cristiana . El edificio es un cuadrado de 77,7 metros (255 pies) de lado y 57,9 metros (190 pies) de altura. [93] La Catedral de Brasilia de 1970 de Oscar Niemeyer hace un uso diferente de una estructura hiperboloide; está construido a partir de 16 vigas de hormigón idénticas, cada una de las cuales pesa 90 toneladas, [k] dispuestas en un círculo para formar un hiperboloide de revolución, las vigas blancas crean una forma como manos rezando al cielo. Sólo la cúpula es visible desde el exterior: la mayor parte del edificio está bajo tierra. [94] [95] [96] [97]
Varias iglesias medievales de Escandinavia son circulares , incluidas cuatro en la isla danesa de Bornholm . Una de las más antiguas, la iglesia de Østerlars de c. 1160 , tiene una nave circular alrededor de una enorme columna circular de piedra, perforada por arcos y decorada con un fresco. La estructura circular tiene tres plantas y aparentemente estaba fortificada, ya que la planta superior servía de defensa. [98] [99]
Los edificios islámicos suelen estar decorados con patrones geométricos que normalmente hacen uso de varios teselados matemáticos , formados por baldosas de cerámica ( girih , zellige ) que pueden ser lisas o decoradas con rayas. [12] En los patrones islámicos se utilizan simetrías como estrellas con seis, ocho o múltiplos de ocho puntas. Algunos de ellos se basan en el "Khatem Sulemani" o motivo del sello de Salomón, que es una estrella de ocho puntas formada por dos cuadrados, uno girado 45 grados respecto del otro en el mismo centro. [100] Los patrones islámicos explotan muchos de los 17 posibles grupos de papel tapiz ; Ya en 1944, Edith Müller demostró que la Alhambra utilizaba 11 grupos de papel pintado en su decoración, mientras que en 1986 Branko Grünbaum afirmó haber encontrado 13 grupos de papel pintado en la Alhambra, afirmando de forma controvertida que los cuatro grupos restantes no se encuentran en ninguna parte del mundo islámico. ornamento. [100]
Hacia finales del siglo XX, los arquitectos aprovecharon nuevas construcciones matemáticas, como la geometría fractal y los mosaicos aperiódicos, para proporcionar revestimientos interesantes y atractivos para los edificios. [4] En 1913, el arquitecto modernista Adolf Loos había declarado que "la ornamentación es un crimen", [101] influyendo en el pensamiento arquitectónico durante el resto del siglo XX. En el siglo XXI, los arquitectos vuelven a empezar a explorar el uso de la ornamentación . La ornamentación del siglo XXI es sumamente diversa. El centro de conferencias y conciertos Harpa 2011 de Henning Larsen en Reykjavik tiene lo que parece una pared de roca de cristal hecha de grandes bloques de vidrio. [101] El Ravensbourne College de Londres de 2010 de Foreign Office Architects está decorado en mosaico con 28.000 baldosas de aluminio anodizado en rojo, blanco y marrón, que interconectan ventanas circulares de diferentes tamaños. El teselado utiliza tres tipos de mosaicos, un triángulo equilátero y dos pentágonos irregulares. [102] [103] [l] La Biblioteca Kanazawa Umimirai de Kazumi Kudo crea una cuadrícula decorativa hecha de pequeños bloques circulares de vidrio colocados en paredes de concreto simples. [101]
La arquitectura de las fortificaciones evolucionó desde fortalezas medievales , que contaban con altos muros de mampostería, hasta fuertes en forma de estrella , bajos y simétricos, capaces de resistir el bombardeo de artillería entre mediados del siglo XV y el XIX. La geometría de las formas de las estrellas estaba dictada por la necesidad de evitar zonas muertas donde la infantería atacante pudiera protegerse del fuego defensivo; los lados de los puntos salientes estaban en ángulo para permitir que dicho fuego barriera el suelo y proporcionar fuego cruzado (desde ambos lados) más allá de cada punto saliente. Entre los arquitectos conocidos que diseñaron este tipo de defensas se encuentran Miguel Ángel , Baldassare Peruzzi , Vincenzo Scamozzi y Sébastien Le Prestre de Vauban . [104] [105]
El historiador de la arquitectura Siegfried Giedion argumentó que la fortificación en forma de estrella tuvo una influencia formativa en el diseño de la ciudad ideal del Renacimiento : "El Renacimiento quedó hipnotizado por un tipo de ciudad que durante siglo y medio, desde Filarete hasta Scamozzi, quedó impresionado. Todos esquemas utópicos: ésta es la ciudad en forma de estrella." [106]
En la arquitectura china , los tulou de la provincia de Fujian son estructuras defensivas comunitarias circulares con paredes principalmente en blanco y una única puerta de madera revestida de hierro, algunas de las cuales datan del siglo XVI. Los muros están rematados con tejados que se inclinan suavemente tanto hacia el exterior como hacia el interior, formando un anillo. El centro del círculo es un patio abierto adoquinado, a menudo con un pozo, rodeado de galerías de madera de hasta cinco pisos de altura. [107]
Los arquitectos también pueden seleccionar la forma de un edificio para cumplir con objetivos ambientales. [87] Por ejemplo, Foster and Partners '30 St Mary Axe , Londres, conocido como "The Gherkin" por su forma de pepino , es un sólido de revolución diseñado utilizando modelado paramétrico . Su geometría fue elegida no sólo por razones estéticas, sino para minimizar las corrientes de aire arremolinadas en su base. A pesar de la superficie aparentemente curva del edificio, todos los paneles de vidrio que forman su piel son planos, excepto la lente en la parte superior. La mayoría de los paneles son cuadriláteros , ya que se pueden cortar a partir de vidrio rectangular con menos desperdicio que los paneles triangulares. [1]
El tradicional yakhchal (pozo de hielo) de Persia funcionaba como enfriador por evaporación . En la superficie, la estructura tenía forma de cúpula, pero tenía un espacio de almacenamiento subterráneo para hielo y, a veces, también para alimentos. El espacio subterráneo y la gruesa construcción resistente al calor aislaron el espacio de almacenamiento durante todo el año. El espacio interior a menudo se enfriaba aún más con cortavientos . [108]
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