En geometría , una catenoide es un tipo de superficie que surge al girar una curva catenaria alrededor de un eje (una superficie de revolución ). [1] Es una superficie mínima , lo que significa que ocupa la menor área cuando está delimitada por un espacio cerrado. [2] Fue descrito formalmente en 1744 por el matemático Leonhard Euler .
La película de jabón unida a anillos circulares gemelos tomará la forma de una catenoide. [2] Debido a que son miembros de la misma familia asociada de superficies, una catenoide se puede doblar en una porción de un helicoidal y viceversa.
Geometría
La catenoide fue la primera superficie mínima no trivial en el espacio euclidiano tridimensional descubierta aparte del plano . La catenoide se obtiene haciendo girar una catenaria alrededor de su directriz . [2] Leonhard Euler lo encontró y demostró que era mínimo en 1744. [3] [4]
La catenoide se puede definir mediante las siguientes ecuaciones paramétricas:
donde y y es una constante real distinta de cero.
En coordenadas cilíndricas:
donde es una constante real.
Se puede formar un modelo físico de una catenoide sumergiendo dos anillos circulares en una solución jabonosa y separando lentamente los círculos.
La catenoide también se puede definir aproximadamente mediante el método de rejilla estirada como un modelo facetario 3D.
Transformación helicoidal
Debido a que son miembros de la misma familia asociada de superficies, se puede doblar una catenoide en una porción de una helicoidal sin estirarla. En otras palabras, se puede realizar una deformación (mayormente) continua e isométrica de una catenoide a una porción del helicoidal de modo que cada miembro de la familia de deformaciones sea mínimo (con una curvatura media de cero). Una parametrización de dicha deformación viene dada por el sistema
for , con parámetro de deformación , donde:
^ Helveticae, Euler, Leonhard (1952) [reimpresión de la edición de 1744]. Carathëodory Constantin (ed.). Methodus inveniendi lineas curvas: maximi minimive proprietate gaudentes sive solutio problematis isoperimetrici latissimo sensu Accepti (en latín). Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN3-76431-424-9.{{cite book}}: Mantenimiento CS1: varios nombres: lista de autores ( enlace )
^ ab Enfriamiento, TH; Minicozzi, WP (17 de julio de 2006). "Formas de superficies mínimas empotradas". Procedimientos de la Academia Nacional de Ciencias . 103 (30): 11106–11111. Código bibliográfico : 2006PNAS..10311106C. doi : 10.1073/pnas.0510379103 . PMC 1544050 . PMID 16847265.
^ Meusnier, JB (1881). Mémoire sur la courbure des Surfaces [ Memoria sobre la curvatura de las superficies. ] (PDF) (en francés). Bruselas: F. Hayez, Imprimeur De L'Acdemie Royale De Belgique. págs. 477–510. ISBN9781147341744.
^ "Catenoide". Wolfram MathWorld . Consultado el 15 de enero de 2017 .
Otras lecturas
Krivoshapko, Sergey; Ivanov, VN (2015). "Superficies mínimas". Enciclopedia de superficies analíticas . Saltador. ISBN 9783319117737.