La teoría algebraica de números es una rama de la teoría de números que utiliza las técnicas del álgebra abstracta para estudiar los números enteros , los números racionales y sus generalizaciones. Las preguntas de teoría de números se expresan en términos de propiedades de objetos algebraicos, como campos numéricos algebraicos y sus anillos de números enteros , campos finitos y campos funcionales . Estas propiedades, como si un anillo admite factorización única , el comportamiento de los ideales y los grupos de campos de Galois , pueden resolver cuestiones de primordial importancia en la teoría de números, como la existencia de soluciones a las ecuaciones diofánticas .
Los inicios de la teoría algebraica de números se remontan a las ecuaciones diofánticas, [1] que llevan el nombre del matemático alejandrino del siglo III, Diofanto , quien las estudió y desarrolló métodos para la solución de algunos tipos de ecuaciones diofánticas. Un problema diofántico típico es encontrar dos números enteros x e y tales que su suma y la suma de sus cuadrados sean iguales a dos números dados A y B , respectivamente:
Las ecuaciones diofánticas se han estudiado durante miles de años. Por ejemplo, las soluciones a la ecuación cuadrática diofántica
x 2 + y 2 = z 2 están dadas por las ternas pitagóricas , resueltas originalmente por los babilonios ( c. 1800 a. C. ). [2] Las soluciones a ecuaciones diofánticas lineales, como 26 x + 65 y = 13, se pueden encontrar utilizando el algoritmo euclidiano (c. siglo V a. C.). [3]
La obra principal de Diofanto fue la Arithmetica , de la que sólo se conserva una parte.
El último teorema de Fermat fue conjeturado por primera vez por Pierre de Fermat en 1637, en el famoso margen de una copia de Arithmetica , donde afirmaba que tenía una prueba que era demasiado grande para caber en el margen. No se publicó ninguna prueba exitosa hasta 1995, a pesar de los esfuerzos de innumerables matemáticos durante los 358 años transcurridos. El problema no resuelto estimuló el desarrollo de la teoría algebraica de números en el siglo XIX y la demostración del teorema de modularidad en el siglo XX.
Una de las obras fundadoras de la teoría algebraica de números, las Disquisitiones Arithmeticae ( latín : Investigaciones aritméticas ) es un libro de texto de teoría de números escrito en latín [4] por Carl Friedrich Gauss en 1798 cuando Gauss tenía 21 años y publicado por primera vez en 1801 cuando tenía 24. En este libro, Gauss reúne resultados en teoría de números obtenidos por matemáticos como Fermat, Euler , Lagrange y Legendre y añade nuevos e importantes resultados propios. Antes de que se publicaran las Disquisiciones , la teoría de números consistía en una colección de teoremas y conjeturas aisladas. Gauss reunió el trabajo de sus predecesores con su propio trabajo original en un marco sistemático, llenó lagunas, corrigió pruebas erróneas y amplió el tema de numerosas maneras.
Las Disquisiciones fueron el punto de partida del trabajo de otros matemáticos europeos del siglo XIX, entre ellos Ernst Kummer , Peter Gustav Lejeune Dirichlet y Richard Dedekind . Muchas de las anotaciones dadas por Gauss son en realidad anuncios de nuevas investigaciones propias, algunas de las cuales permanecieron inéditas. Debieron parecer particularmente crípticos a sus contemporáneos; ahora podemos leerlos como si contuvieran los gérmenes de las teorías de las funciones L y de la multiplicación compleja , en particular.
En un par de artículos de 1838 y 1839, Peter Gustav Lejeune Dirichlet demostró la fórmula numérica de primera clase , para formas cuadráticas (posteriormente refinada por su alumno Leopold Kronecker ). La fórmula, que Jacobi llamó un resultado "que toca la máxima perspicacia humana", abrió el camino para resultados similares con respecto a campos numéricos más generales . [5] Basándose en su investigación de la estructura del grupo unitario de campos cuadráticos , demostró el teorema unitario de Dirichlet , un resultado fundamental en la teoría algebraica de números. [6]
Primero utilizó el principio del casillero , un argumento básico de conteo, en la demostración de un teorema de aproximación diofántica , que más tarde recibió su nombre como teorema de aproximación de Dirichlet . Publicó importantes contribuciones al último teorema de Fermat, para el cual demostró los casos n = 5 y n = 14, y a la ley de reciprocidad bicuadrática . [5] El problema del divisor de Dirichlet , para el cual encontró los primeros resultados, sigue siendo un problema sin resolver en la teoría de números a pesar de las contribuciones posteriores de otros investigadores.
El estudio de Richard Dedekind sobre el trabajo de Lejeune Dirichlet fue lo que lo llevó a su estudio posterior de los ideales y campos de números algebraicos. En 1863, publicó las conferencias de Lejeune Dirichlet sobre teoría de números como Vorlesungen über Zahlentheorie ("Conferencias sobre teoría de números") sobre las cuales se ha escrito que:
"Aunque el libro está seguramente basado en las conferencias de Dirichlet, y aunque el propio Dedekind se refirió al libro durante toda su vida como de Dirichlet, el libro en sí fue escrito íntegramente por Dedekind, en su mayor parte después de la muerte de Dirichlet". (Edwards 1983)
Las ediciones de 1879 y 1894 de las Vorlesungen incluyeron suplementos que introducían la noción de ideal, fundamental para la teoría de los anillos . (La palabra "Anillo", introducida más tarde por Hilbert , no aparece en la obra de Dedekind.) Dedekind definió un ideal como un subconjunto de un conjunto de números, compuesto de números enteros algebraicos que satisfacen ecuaciones polinómicas con coeficientes enteros. El concepto experimentó mayor desarrollo de la mano de Hilbert y, especialmente, de Emmy Noether . Los ideales generalizan los números ideales de Ernst Eduard Kummer , ideados como parte del intento de Kummer en 1843 de demostrar el último teorema de Fermat.
David Hilbert unificó el campo de la teoría algebraica de números con su tratado Zahlbericht de 1897 (literalmente "informe sobre números"). También resolvió un importante problema de teoría de números formulado por Waring en 1770. Al igual que con el teorema de finitud, utilizó una prueba de existencia que muestra que debe haber soluciones para el problema en lugar de proporcionar un mecanismo para producir las respuestas. [7] Luego tuvo poco más que publicar sobre el tema; pero la aparición de las formas modulares de Hilbert en la disertación de un estudiante significa que su nombre se vincula aún más a un área importante.
Hizo una serie de conjeturas sobre la teoría de campos de clases . Los conceptos fueron muy influyentes y su propia contribución sigue viva en los nombres del campo de clases de Hilbert y del símbolo de Hilbert de la teoría de campos de clases locales . Los resultados se comprobaron en su mayoría en 1930, después del trabajo de Teiji Takagi . [8]
Emil Artin estableció la ley de reciprocidad de Artin en una serie de artículos (1924; 1927; 1930). Esta ley es un teorema general de la teoría de números que forma una parte central de la teoría de campos de clases globales. [9] El término " ley de reciprocidad " se refiere a una larga línea de enunciados teóricos de números más concretos que generalizó, desde la ley de reciprocidad cuadrática y las leyes de reciprocidad de Eisenstein y Kummer hasta la fórmula del producto de Hilbert para el símbolo de norma . El resultado de Artin proporcionó una solución parcial al noveno problema de Hilbert .
Alrededor de 1955, los matemáticos japoneses Goro Shimura y Yutaka Taniyama observaron un posible vínculo entre dos ramas de las matemáticas aparentemente completamente distintas: las curvas elípticas y las formas modulares . El teorema de modularidad resultante (en ese momento conocido como conjetura de Taniyama-Shimura) establece que toda curva elíptica es modular , lo que significa que puede asociarse con una forma modular única .
Inicialmente se descartó como improbable o altamente especulativo, pero se tomó más en serio cuando el teórico de números André Weil encontró evidencia que lo respaldaba, pero ninguna prueba; como resultado, la conjetura "asombrosa" [10] se conoció a menudo como la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil. Se convirtió en parte del programa Langlands , una lista de conjeturas importantes que necesitaban prueba o refutación.
De 1993 a 1994, Andrew Wiles proporcionó una prueba del teorema de modularidad para curvas elípticas semiestables que, junto con el teorema de Ribet , proporcionó una prueba del último teorema de Fermat. Casi todos los matemáticos de la época habían considerado previamente que tanto el último teorema de Fermat como el teorema de la modularidad eran imposibles o prácticamente imposibles de demostrar, incluso teniendo en cuenta los desarrollos más avanzados. Wiles anunció por primera vez su prueba en junio de 1993 [11] en una versión que pronto se reconoció que tenía una laguna importante en un punto clave. La prueba fue corregida por Wiles, en parte en colaboración con Richard Taylor , y la versión final, ampliamente aceptada, se publicó en septiembre de 1994 y se publicó formalmente en 1995. La prueba utiliza muchas técnicas de la geometría algebraica y la teoría de números, y tiene muchas ramificaciones en estas ramas de las matemáticas. También utiliza construcciones estándar de la geometría algebraica moderna, como la categoría de esquemas y la teoría de Iwasawa , y otras técnicas del siglo XX que no estaban disponibles para Fermat.
Una propiedad importante del anillo de números enteros es que satisface el teorema fundamental de la aritmética , que cada número entero (positivo) tiene una factorización en un producto de números primos , y esta factorización es única hasta el orden de los factores. Es posible que esto ya no sea cierto en el anillo de números enteros O de un campo numérico algebraico K.
Un elemento primo es un elemento p de O tal que si p divide un producto ab , entonces divide uno de los factores a o b . Esta propiedad está estrechamente relacionada con la primalidad de los números enteros, porque cualquier número entero positivo que satisfaga esta propiedad es 1 o un número primo. Sin embargo, es estrictamente más débil. Por ejemplo, −2 no es un número primo porque es negativo, pero es un elemento primo. Si se permiten las factorizaciones en elementos primos, entonces, incluso en los números enteros, existen factorizaciones alternativas como
En general, si u es una unidad , es decir, un número con un inverso multiplicativo en O , y si p es un elemento primo, entonces up también es un elemento primo. Se dice que números como py up están asociados . En los números enteros, los primos p y − p están asociados, pero sólo uno de ellos es positivo. Al exigir que los números primos sean positivos, se selecciona un elemento único de entre un conjunto de elementos primos asociados. Sin embargo, cuando K no son los números racionales, no existe ningún análogo de la positividad. Por ejemplo, en los enteros gaussianos Z [ i ] , [12] los números 1 + 2 i y −2 + i están asociados porque este último es el producto del primero por i , pero no hay manera de seleccionar uno como siendo más canónico que el otro. Esto lleva a ecuaciones como
los cuales prueban que en Z [ i ] , no es cierto que las factorizaciones sean únicas hasta el orden de los factores. Por esta razón, se adopta la definición de factorización única utilizada en dominios de factorización única (UFD). En una UFD, solo se espera que los elementos primos que aparecen en una factorización sean únicos hasta las unidades y su orden.
Sin embargo, incluso con esta definición más débil, muchos anillos de números enteros en campos numéricos algebraicos no admiten factorización única. Existe una obstrucción algebraica llamada grupo de clases ideal. Cuando el grupo de clases ideal es trivial, el anillo es un UFD. Cuando no lo es, existe una distinción entre un elemento primo y un elemento irreducible . Un elemento irreducible x es un elemento tal que si x = yz , entonces y o z es una unidad. Estos son los elementos que no se pueden factorizar más. Todo elemento en O admite una factorización en elementos irreducibles, pero puede admitir más de uno. Esto se debe a que, si bien todos los elementos primos son irreducibles, algunos elementos irreducibles pueden no ser primos. Por ejemplo, considere el anillo Z [√ -5 ] . [13] En este anillo, los números 3 , 2 + √ -5 y 2 - √ -5 son irreducibles. Esto significa que el número 9 tiene dos factorizaciones en elementos irreducibles,
Esta ecuación muestra que 3 divide el producto (2 + √ -5 )(2 - √ -5 ) = 9 . Si 3 fuera un elemento primo, entonces dividiría a 2 + √ -5 o 2 - √ -5 , pero no es así, porque todos los elementos divisibles por 3 son de la forma 3 a + 3 b √ -5 . De manera similar, 2 + √ -5 y 2 - √ -5 dividen el producto 3 2 , pero ninguno de estos elementos divide a 3 , por lo que ninguno de ellos es primo. Como no hay ningún sentido en el que los elementos 3 , 2 + √ -5 y 2 - √ -5 puedan hacerse equivalentes, la factorización única falla en Z [√ -5 ] . A diferencia de la situación de las unidades, donde la unicidad podría repararse debilitando la definición, superar este fallo requiere una nueva perspectiva.
Si I es un ideal en O , entonces siempre hay una factorización
donde cada uno es un ideal primo y donde esta expresión es única hasta el orden de los factores. En particular, esto es cierto si I es el ideal principal generado por un solo elemento. Este es el sentido más fuerte en el que el anillo de números enteros de un campo numérico general admite factorización única. En el lenguaje de la teoría de anillos, se dice que los anillos de números enteros son dominios de Dedekind .
Cuando O es un UFD, todo ideal primo es generado por un elemento primo. De lo contrario, existen ideales primos que no son generados por elementos primos. En Z [√ -5 ] , por ejemplo, el ideal (2, 1 + √ -5 ) es un ideal primo que no puede ser generado por un solo elemento.
Históricamente, la idea de factorizar ideales en ideales primos fue precedida por la introducción de los números ideales por parte de Ernst Kummer. Estos son números que se encuentran en un campo de extensión E de K. Este campo de extensión ahora se conoce como campo de clase de Hilbert. Según el teorema del ideal principal , todo ideal primo de O genera un ideal principal del anillo de números enteros de E. Un generador de este ideal principal se llama número ideal. Kummer los utilizó como sustituto del fracaso de la factorización única en campos ciclotómicos . Esto finalmente llevó a Richard Dedekind a introducir un precursor de ideales y a demostrar una factorización de ideales única.
Un ideal que es primo en el anillo de números enteros en un campo numérico puede no ser primo cuando se extiende a un campo numérico mayor. Consideremos, por ejemplo, los números primos. Los ideales correspondientes p Z son ideales primos del anillo Z . Sin embargo, cuando este ideal se extiende a los enteros gaussianos para obtener p Z [ i ] , puede ser primo o no. Por ejemplo, la factorización 2 = (1 + i )(1 − i ) implica que
tenga en cuenta que debido a que 1 + i = (1 − i ) ⋅ i , los ideales generados por 1 + i y 1 − i son los mismos. El teorema de Fermat sobre sumas de dos cuadrados proporciona una respuesta completa a la pregunta de qué ideales siguen siendo primos en los enteros gaussianos . Implica que para un número primo impar p , p Z [ i ] es un ideal primo si p ≡ 3 (mod 4) y no es un ideal primo si p ≡ 1 (mod 4) . Esto, junto con la observación de que el ideal (1 + i ) Z [ i ] es primo, proporciona una descripción completa de los ideales primos en los enteros gaussianos. Generalizar este resultado simple a anillos de números enteros más generales es un problema básico en la teoría algebraica de números. La teoría de campos de clases logra este objetivo cuando K es una extensión abeliana de Q (es decir, una extensión de Galois con un grupo abeliano de Galois).
La factorización única falla si y sólo si hay ideales primos que no logran ser principales. El objeto que mide el fracaso de los ideales primos para ser principales se llama grupo de clases ideal. Definir el grupo de clases ideal requiere ampliar el conjunto de ideales en un anillo de números enteros algebraicos para que admitan una estructura de grupo . Esto se hace generalizando ideales a ideales fraccionarios . Un ideal fraccionario es un subgrupo aditivo J de K que está cerrado bajo multiplicación por elementos de O , lo que significa que xJ ⊆ J si x ∈ O. Todos los ideales de O son también ideales fraccionarios. Si I y J son ideales fraccionarios, entonces el conjunto IJ de todos los productos de un elemento en I y un elemento en J también es un ideal fraccionario. Esta operación convierte el conjunto de ideales fraccionarios distintos de cero en un grupo. La identidad del grupo es el ideal (1) = O , y el inverso de J es un cociente ideal (generalizado) :
Los principales ideales fraccionarios, es decir, los de la forma Ox donde x ∈ K × , forman un subgrupo del grupo de todos los ideales fraccionarios distintos de cero. El cociente del grupo de ideales fraccionarios distintos de cero por este subgrupo es el grupo de clases ideal. Dos ideales fraccionarios I y J representan el mismo elemento del grupo de clases ideal si y sólo si existe un elemento x ∈ K tal que xI = J . Por lo tanto, el grupo de clases ideal hace que dos ideales fraccionarios sean equivalentes si uno está tan cerca de ser principal como el otro. El grupo de clases ideal generalmente se denomina Cl K , Cl O o Pic O (y la última notación lo identifica con el grupo Picard en geometría algebraica).
El número de elementos en el grupo de clases se llama número de clase de K. El número de clase de Q (√ -5 ) es 2. Esto significa que solo hay dos clases ideales, la clase de ideales fraccionarios principales y la clase de un ideal fraccionario no principal como (2, 1 + √ -5 ) .
El grupo de clases ideal tiene otra descripción en términos de divisores . Estos son objetos formales que representan posibles factorizaciones de números. El grupo divisor Div K se define como el grupo abeliano libre generado por los ideales primos de O. Existe un homomorfismo de grupo desde K × , los elementos distintos de cero de K hasta la multiplicación, hasta Div K . Supongamos que x ∈ K satisface
Entonces div x se define como el divisor
El núcleo de div es el grupo de unidades en O , mientras que el cokernel es el grupo de clases ideal. En el lenguaje del álgebra homológica , esto dice que hay una secuencia exacta de grupos abelianos (escritos multiplicativamente),
Algunos campos numéricos, como Q (√ 2 ) , se pueden especificar como subcampos de los números reales. Otros, como Q (√ −1 ) , no pueden. De manera abstracta, tal especificación corresponde a un homomorfismo de campo K → R o K → C . Estos se denominan incrustaciones reales e incrustaciones complejas , respectivamente.
Un campo cuadrático real Q (√ a ) , con a ∈ Q , a > 0 y a no es un cuadrado perfecto , se llama así porque admite dos incrustaciones reales pero ninguna incrustación compleja. Estos son los homomorfismos de campo que envían √ a a √ a y a −√ a , respectivamente. Dualmente, un campo cuadrático imaginario Q (√ − a ) no admite incrustaciones reales pero admite un par conjugado de incrustaciones complejas. Una de estas incrustaciones envía √ − a a √ − a , mientras que la otra lo envía a su conjugado complejo , −√ − a .
Convencionalmente, el número de incrustaciones reales de K se denota por r 1 , mientras que el número de pares conjugados de incrustaciones complejas se denota por r 2 . La firma de K es el par ( r 1 , r 2 ) . Es un teorema que r 1 + 2 r 2 = d , donde d es el grado de K .
Considerar todas las incrustaciones a la vez determina una función , o de manera equivalente. Esto se llama incrustación de Minkowski .
El subespacio del codominio fijado por conjugación compleja es un espacio vectorial real de dimensión d llamado espacio de Minkowski . Debido a que la incrustación de Minkowski está definida por homomorfismos de campo, la multiplicación de elementos de K por un elemento x ∈ K corresponde a la multiplicación por una matriz diagonal en la incrustación de Minkowski. El producto escalar en el espacio de Minkowski corresponde a la forma de traza .
La imagen de O bajo la incrustación de Minkowski es una red d -dimensional . Si B es una base para esta red, entonces det B T B es el discriminante de O . El discriminante se denota como Δ o D. El covolumen de la imagen de O es .
Las incorporaciones reales y complejas pueden equipararse a los ideales primordiales adoptando una perspectiva basada en valoraciones . Consideremos, por ejemplo, los números enteros. Además de la habitual función de valor absoluto |·| : Q → R , existen funciones p-ádicas de valor absoluto |·| p : Q → R , definido para cada número primo p , que mide la divisibilidad por p . El teorema de Ostrowski establece que todas estas son posibles funciones de valor absoluto en Q (hasta la equivalencia). Por lo tanto, los valores absolutos son un lenguaje común para describir tanto la incrustación real de Q como los números primos.
Un lugar de un campo numérico algebraico es una clase de equivalencia de funciones de valor absoluto en K. Hay dos tipos de lugares. Hay un valor absoluto -ádico para cada ideal primo de O y, al igual que los valores absolutos p -ádicos, mide la divisibilidad. Estos se llaman lugares finitos . El otro tipo de lugar se especifica utilizando una incrustación real o compleja de K y la función de valor absoluto estándar en R o C. Estos son lugares infinitos . Debido a que los valores absolutos no pueden distinguir entre una incrustación compleja y su conjugado, una incrustación compleja y su conjugado determinan el mismo lugar. Por tanto, existen r 1 lugares reales y r 2 lugares complejos. Debido a que los lugares abarcan los números primos, a veces se hace referencia a los lugares como primos . Cuando se hace esto, los lugares finitos se llaman números primos finitos y los lugares infinitos se llaman números primos infinitos . Si v es una valoración correspondiente a un valor absoluto, entonces frecuentemente se escribe en el sentido de que v es un lugar infinito y de que es un lugar finito.
Considerando todos los lugares del campo juntos se produce el anillo Adele del campo numérico. El anillo de Adele permite rastrear simultáneamente todos los datos disponibles utilizando valores absolutos. Esto produce ventajas significativas en situaciones en las que el comportamiento en un lugar puede afectar el comportamiento en otros lugares, como en la ley de reciprocidad de Artin .
Existe una analogía geométrica para lugares en el infinito que se cumple en los campos funcionales de las curvas. Por ejemplo, sea y una curva algebraica , proyectiva y suave . El campo de función tiene muchos valores absolutos o lugares, y cada uno corresponde a un punto de la curva. Si es la terminación proyectiva de una curva afín , entonces los puntos en corresponden a los lugares en el infinito. Entonces, la finalización de en uno de estos puntos da un análogo de los -ádicos.
Por ejemplo, si entonces su campo de función es isomorfo a donde es un indeterminante y el campo es el campo de fracciones de polinomios en . Entonces, un lugar en un punto mide el orden de desaparición o el orden de un polo de una fracción de polinomios en el punto . Por ejemplo, si en el gráfico afín esto corresponde al punto , la valoración mide el orden de desaparición de menos el orden de desaparición de en . El campo de función de la terminación en el lugar es entonces cuál es el campo de la serie de potencias en la variable , por lo que un elemento es de la forma
para algunos . Para el lugar en el infinito, esto corresponde al campo funcional que son series de potencias de la forma
Los números enteros tienen sólo dos unidades, 1 y −1 . Otros anillos de números enteros pueden admitir más unidades. Los enteros gaussianos tienen cuatro unidades, las dos anteriores además de ± i . Los enteros de Eisenstein Z [exp(2π i / 3)] tienen seis unidades. Los números enteros en campos de números cuadráticos reales tienen infinitas unidades. Por ejemplo, en Z [√ 3 ] , cada potencia de 2 + √ 3 es una unidad y todas estas potencias son distintas.
En general, el grupo de unidades de O , denotado O × , es un grupo abeliano generado finitamente. Por tanto, el teorema fundamental de los grupos abelianos generados finitamente implica que es una suma directa de una parte de torsión y una parte libre. Reinterpretando esto en el contexto de un campo numérico, la parte de torsión consta de las raíces de la unidad que se encuentran en O. Este grupo es cíclico. La parte libre se describe mediante el teorema unitario de Dirichlet . Este teorema dice que el rango de la parte libre es r 1 + r 2 − 1 . Así, por ejemplo, los únicos campos para los cuales el rango de la parte libre es cero son Q y los campos cuadráticos imaginarios. También es posible una afirmación más precisa que proporcione la estructura de O × ⊗ Z Q como un módulo de Galois para el grupo de Galois de K / Q. [14]
La parte libre del grupo unitario se puede estudiar utilizando los infinitos lugares de K. Considere la función
donde v varía en los infinitos lugares de K y |·| v es el valor absoluto asociado con v . La función L es un homomorfismo de K × a un espacio vectorial real. Se puede demostrar que la imagen de O × es una red que abarca el hiperplano definido por El covolumen de esta red es el regulador del campo numérico. Una de las simplificaciones posibles al trabajar con el anillo de Adele es que hay un único objeto, el grupo de clases ideal , que describe tanto el cociente de esta red como el grupo de clases ideal.
La función zeta de Dedekind de un campo numérico, análoga a la función zeta de Riemann , es un objeto analítico que describe el comportamiento de los ideales primos en K. Cuando K es una extensión abeliana de Q , las funciones zeta de Dedekind son productos de funciones L de Dirichlet , existiendo un factor para cada carácter de Dirichlet . El carácter trivial corresponde a la función zeta de Riemann. Cuando K es una extensión de Galois , la función zeta de Dedekind es la función L de Artin de la representación regular del grupo de Galois de K , y tiene una factorización en términos de representaciones de Artin irreducibles del grupo de Galois.
La función zeta está relacionada con las otras invariantes descritas anteriormente mediante la fórmula del número de clase .
Completar un campo numérico K en un lugar w da un campo completo . Si la valoración es de Arquímedes, se obtiene R o C , si no es de Arquímedes y se encuentra sobre un primo p de los racionales, se obtiene una extensión finita de un campo valorado completo y discreto con un campo de residuos finito. Este proceso simplifica la aritmética del campo y permite el estudio local de los problemas. Por ejemplo, el teorema de Kronecker-Weber se puede deducir fácilmente a partir del enunciado local análogo. La filosofía detrás del estudio de campos locales está motivada en gran medida por métodos geométricos. En geometría algebraica, es común estudiar variedades localmente en un punto localizándolas en un ideal máximo. Luego, la información global se puede recuperar uniendo datos locales. Este espíritu se adopta en la teoría algebraica de números. Dado un número primo en el anillo de números enteros algebraicos en un cuerpo numérico, es deseable estudiar el cuerpo localmente en ese cuerpo primo. Por lo tanto, uno localiza el anillo de números enteros algebraicos en ese primo y luego completa el campo fraccionario en gran medida en el espíritu de la geometría.
Uno de los resultados clásicos de la teoría algebraica de números es que el grupo de clases ideal de un campo numérico algebraico K es finito. Esto es una consecuencia del teorema de Minkowski , ya que sólo hay un número finito de ideales integrales con norma menor que un entero positivo fijo [15] página 78 . El orden del grupo de clases se denomina número de clase y, a menudo, se indica con la letra h .
El teorema de la unidad de Dirichlet proporciona una descripción de la estructura del grupo multiplicativo de unidades O × del anillo de números enteros O. Específicamente, establece que O × es isomorfo a G × Z r , donde G es el grupo cíclico finito que consta de todas las raíces de la unidad en O , y r = r 1 + r 2 − 1 (donde r 1 (respectivamente, r 2 ) denota el número de incrustaciones reales (respectivamente, pares de incrustaciones conjugadas no reales) de K ). En otras palabras, O × es un grupo abeliano finitamente generado de rango r 1 + r 2 − 1 cuya torsión consta de las raíces de la unidad en O .
En términos del símbolo de Legendre , la ley de reciprocidad cuadrática para estados primos impares positivos
Una ley de reciprocidad es una generalización de la ley de reciprocidad cuadrática .
Hay varias formas diferentes de expresar las leyes de reciprocidad. Las primeras leyes de reciprocidad encontradas en el siglo XIX generalmente se expresaban en términos de un símbolo de residuo de potencia ( p / q ) que generalizaba el símbolo de reciprocidad cuadrática , que describe cuando un número primo es un n- ésimo módulo de residuo de potencia de otro primo, y daba una relación entre ( p / q ) y ( q / p ). Hilbert reformuló las leyes de reciprocidad diciendo que un producto sobre p de los símbolos de Hilbert ( a , b / p ), tomando valores en raíces de la unidad, es igual a 1. La ley de reciprocidad reformulada de Artin establece que el símbolo de Artin de los ideales (o ideles) a elementos de un grupo de Galois es trivial en un determinado subgrupo. Varias generalizaciones más recientes expresan leyes de reciprocidad utilizando cohomología de grupos o representaciones de grupos adélicos o grupos K algebraicos, y su relación con la ley de reciprocidad cuadrática original puede ser difícil de ver.
La fórmula del número de clase relaciona muchos invariantes importantes de un campo numérico con un valor especial de su función zeta de Dedekind.
La teoría algebraica de números interactúa con muchas otras disciplinas matemáticas. Utiliza herramientas del álgebra homológica . A través de la analogía entre campos funcionales y campos numéricos, se basa en técnicas e ideas de la geometría algebraica. Además, el estudio de esquemas de dimensiones superiores sobre Z en lugar de anillos numéricos se denomina geometría aritmética . La teoría algebraica de números también se utiliza en el estudio de 3 variedades aritméticas hiperbólicas .
Medios relacionados con la teoría algebraica de números en Wikimedia Commons
![{\displaystyle 2\mathbf {Z} [i]=(1+i)\mathbf {Z} [i]\cdot (1-i)\mathbf {Z} [i]=((1+i)\mathbf {Z} [i])^{2};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a995ddb754419ff3e9fd05db0fd8d435e781c2df)
![{\displaystyle \operatorname {div} x=\sum _{i=1}^{t}e_{i}[{\mathfrak {p}}_{i}].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78443e03990ae119341b0b6a9305b99eb6aabeab)
![{\displaystyle p=[2:1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a4307ceccfe0f808749a10601f98a74c01a50d3)
