valoración p-ádica

Mayor potencia de p que divide un número dado

En teoría de números , la valoración p -ádica u orden p -ádico de un número entero n es el exponente de la potencia más alta del número primo p que divide a n . Se denota . De manera equivalente, es el exponente al que aparece en la factorización prima de . ${\displaystyle \nu _{p}(n)}$ ${\displaystyle \nu _{p}(n)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n}$

La valoración p -ádica es una valoración y da lugar a un análogo del valor absoluto habitual . Mientras que la compleción de los números racionales con respecto al valor absoluto habitual da como resultado los números reales , la compleción de los números racionales con respecto al valor absoluto -ádico da como resultado los números p -ádicos . ^[1] ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$

Distribución de números naturales por su valoración 2-ádica, rotulados con las correspondientes potencias de dos en decimal. El cero tiene una valoración infinita.

Definición y propiedades

Sea p un número primo .

Enteros

La valoración p -ádica de un número entero se define como ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \nu _{p}(n)={\begin{cases}\mathrm {max} \{k\in \mathbb {N} _{0}:p^{k}\mid n\}&{\text{if }}n\neq 0\\\infty &{\text{if }}n=0,\end{cases}}}$

donde denota el conjunto de números naturales (incluido el cero) y denota divisibilidad de por . En particular, es una función . ^[2] ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$ ${\displaystyle m\mid n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \nu _{p}}$ ${\displaystyle \nu _{p}\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {N} _{0}\cup \{\infty \}}$

Por ejemplo, , y desde . ${\displaystyle \nu _{2}(-12)=2}$ ${\displaystyle \nu _{3}(-12)=1}$ ${\displaystyle \nu _{5}(-12)=0}$ ${\displaystyle |{-12}|=12=2^{2}\cdot 3^{1}\cdot 5^{0}}$

La notación se utiliza a veces para significar . ^[3] ${\displaystyle p^{k}\parallel n}$ ${\displaystyle k=\nu _{p}(n)}$

Si es un entero positivo, entonces ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \nu _{p}(n)\leq \log _{p}n}$;

esto se sigue directamente de . ${\displaystyle n\geq p^{\nu _{p}(n)}}$

Numeros racionales

La valoración p -ádica se puede extender a los números racionales como la función

${\displaystyle \nu _{p}:\mathbb {Q} \to \mathbb {Z} \cup \{\infty \}}$^{[4] [5]}

definido por

${\displaystyle \nu _{p}\left({\frac {r}{s}}\right)=\nu _{p}(r)-\nu _{p}(s).}$

Por ejemplo, y desde . ${\displaystyle \nu _{2}{\bigl (}{\tfrac {9}{8}}{\bigr )}=-3}$ ${\displaystyle \nu _{3}{\bigl (}{\tfrac {9}{8}}{\bigr )}=2}$ ${\displaystyle {\tfrac {9}{8}}=2^{-3}\cdot 3^{2}}$

Algunas propiedades son:

${\displaystyle \nu _{p}(r\cdot s)=\nu _{p}(r)+\nu _{p}(s)}$

${\displaystyle \nu _{p}(r+s)\geq \min {\bigl \{}\nu _{p}(r),\nu _{p}(s){\bigr \}}}$

Además, si , entonces ${\displaystyle \nu _{p}(r)\neq \nu _{p}(s)}$

${\displaystyle \nu _{p}(r+s)=\min {\bigl \{}\nu _{p}(r),\nu _{p}(s){\bigr \}}}$

¿Dónde está el mínimo (es decir, el menor de los dos)? ${\displaystyle \min }$

valor absoluto p -ádico

El valor absoluto p -ádico (o norma p -ádica, ^{[ cita necesaria ]} aunque no es una norma en el sentido de análisis) es la función ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle |\cdot |_{p}\colon \mathbb {Q} \to \mathbb {R} _{\geq 0}}$

definido por

${\displaystyle |r|_{p}=p^{-\nu _{p}(r)}.}$

De este modo, para todos y por ejemplo, y ${\displaystyle |0|_{p}=p^{-\infty }=0}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle |{-12}|_{2}=2^{-2}={\tfrac {1}{4}}}$ ${\displaystyle {\bigl |}{\tfrac {9}{8}}{\bigr |}_{2}=2^{-(-3)}=8.}$

El valor absoluto p -ádico satisface las siguientes propiedades.

De la multiplicatividad se deduce que para las raíces de la unidad y , en consecuencia, también la subaditividad se deriva de la desigualdad del triángulo no arquimediano . ${\displaystyle |rs|_{p}=|r|_{p}|s|_{p}}$ ${\displaystyle |1|_{p}=1=|-1|_{p}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle |{-r}|_{p}=|r|_{p}.}$ ${\displaystyle |r+s|_{p}\leq |r|_{p}+|s|_{p}}$ ${\displaystyle |r+s|_{p}\leq \max \left(|r|_{p},|s|_{p}\right)}$

La elección de la base p en la exponenciación no hace ninguna diferencia para la mayoría de las propiedades, pero respalda la fórmula del producto: ${\displaystyle p^{-\nu _{p}(r)}}$

${\displaystyle \prod _{0,p}|r|_{p}=1}$

donde el producto se toma entre todos los números primos p y el valor absoluto habitual, denotado . Esto se deduce simplemente de tomar la factorización prima : cada factor de potencia prima contribuye con su recíproco a su valor absoluto p -ádico, y luego el valor absoluto habitual de Arquímedes los cancela todos. ${\displaystyle |r|_{0}}$ ${\displaystyle p^{k}}$

Se puede formar un espacio métrico en el conjunto con una métrica ( no arquimediana , invariante en la traducción ). ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle d\colon \mathbb {Q} \times \mathbb {Q} \to \mathbb {R} _{\geq 0}}$

definido por

${\displaystyle d(r,s)=|r-s|_{p}.}$

La finalización de con respecto a esta métrica conduce al conjunto de p -números ádicos. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$

Ver también

• p -número ádico
• Valoración (álgebra)
• propiedad de Arquímedes
• Multiplicidad (matemáticas)
• teorema de ostrowski
• La fórmula de Legendre.

Referencias

1. Tonto, David S.; Foote, Richard M. (2003). Álgebra abstracta (3ª ed.). Wiley. págs. 758–759. ISBN 0-471-43334-9.
2. Irlanda, K.; Rosen, M. (2000). Una introducción clásica a la teoría de números moderna . Nueva York: Springer-Verlag. pag. 3.^{[ Falta el ISBN ]}
3. Niven, Iván ; Zuckerman, Herbert S.; Montgomery, Hugh L. (1991). Introducción a la teoría de los números (5ª ed.). John Wiley e hijos . pag. 4.ISBN​ 0-471-62546-9.
4. con la relación de orden habitual, a saber

   ${\displaystyle \infty >n}$,

   y reglas para operaciones aritméticas,

   ${\displaystyle \infty +n=n+\infty =\infty }$,

   en la recta numérica extendida.
5. Jrennikov, A.; Nilsson, M. (2004). p -ádica Dinámica determinista y aleatoria . Editores académicos de Kluwer. pag. 9.^{[ Falta el ISBN ]}