director de orquesta artín

En matemáticas , el conductor de Artin es un número o ideal asociado a un carácter de un grupo de Galois de un campo local o global , introducido por Emil Artin  (1930, 1931) como una expresión que aparece en la ecuación funcional de una función L de Artin .

Directores locales de Artin

Supongamos que L es una extensión finita de Galois del campo local K , con grupo de Galois G. Si es un carácter de G , entonces el conductor de Artin es el número ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \chi }$

${\displaystyle f(\chi )=\sum _{i\geq 0}{\frac {g_{i}}{g_{0}}}(\chi (1)-\chi (G_{i}))}$

donde G _i es el i -ésimo grupo de ramificación (en numeración inferior ), de orden g _i , y χ( G _i ) es el valor promedio de G _i . ^[1] Según el resultado de Artin, el conductor local es un número entero. ^{[2] [3]} Heurísticamente, el conductor de Artin mide hasta qué punto la acción de los grupos de ramificación superiores está lejos de ser trivial. En particular, si χ no está ramificado, entonces su conductor Artin es cero. Por tanto, si L no está ramificado sobre K , entonces los conductores Artin de todos los χ son cero. ${\displaystyle \chi }$

El invariante salvaje ^[3] o conductor del cisne ^[4] del personaje es

${\displaystyle f(\chi )-(\chi (1)-\chi (G_{0})),}$

en otras palabras, la suma de los términos de orden superior con i > 0.

Directores globales de Artin

El conductor global de Artin de una representación del grupo G de Galois de una extensión finita L / K de campos globales es un ideal de K , definido como ${\displaystyle \chi }$

${\displaystyle {\mathfrak {f}}(\chi )=\prod _{p}p^{f(\chi ,p)}}$

donde el producto está sobre los primos p de K , y f (χ, p ) es el conductor local de Artin de la restricción de al grupo de descomposición de algún primo de L que se encuentra sobre p . ^[2] Dado que el conductor local de Artin es cero en los primos no ramificados, el producto anterior sólo necesita tomarse sobre los primos que se ramifican en L / K . ${\displaystyle \chi }$

Representación de Artin y carácter de Artin.

Supongamos que L es una extensión finita de Galois del campo local K , con grupo de  Galois G. El personaje de Artin un _G de G es el personaje

${\displaystyle a_{G}=\sum _{\chi }f(\chi )\chi }$

y la representación de Artin _AG es la representación lineal compleja de G con este carácter. Weil (1946) pidió una construcción directa de la representación de Artin. Serre (1960) demostró que la representación de Artin se puede realizar sobre el campo local Q _l , para cualquier primo l que no sea igual a la característica del residuo p . Fontaine (1971) demostró que se puede realizar sobre el correspondiente anillo de vectores de Witt. En general, no se puede realizar sobre los racionales o sobre el campo local Q _p , lo que sugiere que no hay una manera fácil de construir explícitamente la representación de Artin. ^[5]

Representación del cisne

El carácter del cisne sw _G viene dado por

${\displaystyle sw_{G}=a_{G}-r_{G}+1}$

donde r _g es el carácter de la representación regular y 1 es el carácter de la representación trivial. ^[6] El personaje del Cisne es el personaje de una representación de G. Swan  (1963) demostró que existe una representación proyectiva única de G sobre los enteros l -ádicos con carácter Swan.

Aplicaciones

El conductor de Artin aparece en la fórmula conductor-discriminante para el discriminante de un campo global. ^[5]

El nivel óptimo en la conjetura de modularidad de Serre se expresa en términos del conductor de Artin.

El conductor Artin aparece en la ecuación funcional de la función L de Artin .

Las representaciones de Artin y Swan se utilizan para definir el conductor de una curva elíptica o variedad abeliana.

Notas

1. Serre (1967) p.158
2. Serre (1967) p.159
3. Manin, Yu. I.; Panchishkin, AA (2007). Introducción a la teoría de números moderna . Enciclopedia de Ciencias Matemáticas. vol. 49 (Segunda ed.). pag. 329.ISBN​ 978-3-540-20364-3. ISSN  0938-0396.
4. Snaith (1994) p.249
5. Serre (1967) p.160
6. Snaith (1994) p.248

Referencias

• Artin, Emil (1930), "Zur Theorie der L-Reihen mit allgemeinen Gruppencharakteren.", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg (en alemán), 8 : 292–306, doi :10.1007/BF02941010, JFM  56.0173.02, S2CID  120987633
• Artin, Emil (1931), "Die gruppentheoretische Struktur der Diskriminanten algebraischer Zahlkörper.", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (en alemán), 1931 (164): 1–11, doi :10.1515/crll.1931.164.1, ISSN  0075-4102, S2CID  117731518, Zbl  0001.00801
• Fontaine, Jean-Marc (1971), "Sur les représentations d'Artin", Colloque de Théorie des Nombres (Univ. Bordeaux, Burdeos, 1969), Mémoires de la Société Mathématique de France, vol. 25, París: Société Mathématique de France , págs. 71–81, MR  0374106
• Serre, Jean-Pierre (1960), "Sur la racionalité des représentations d'Artin", Anales de Matemáticas , Segunda Serie, 72 (2): 405–420, doi :10.2307/1970142, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970142, Señor  0171775
• Serre, Jean-Pierre (1967), "VI. Teoría de campos de clases locales", en Cassels, JWS ; Fröhlich, A. (eds.), Teoría algebraica de números. Actas de una conferencia de instrucción organizada por la Sociedad Matemática de Londres (un Instituto de Estudios Avanzados de la OTAN) con el apoyo de la Unión Matemática Internacional , Londres: Academic Press, págs. 128–161, Zbl  0153.07403
• Snaith, VP (1994), Inducción explícita de Brauer: con aplicaciones al álgebra y la teoría de números , Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas, vol. 40, Prensa de la Universidad de Cambridge , ISBN 0-521-46015-8, Zbl  0991.20005
• Swan, Richard G. (1963), "El anillo de Grothendieck de un grupo finito", Topología , 2 (1–2): 85–110, doi :10.1016/0040-9383(63)90025-9, ISSN  0040-9383 , SEÑOR  0153722
• Weil, André (1946), "L'avenir des mathématiques", Bol. Soc. Estera. São Paulo , 1 : 55–68, SEÑOR  0020961