Artin reciprocidad

La ley de reciprocidad de Artin , que fue establecida por Emil Artin en una serie de artículos (1924; 1927; 1930), es un teorema general en teoría de números que forma una parte central de la teoría de campos de clases globales . ^[1] El término " ley de reciprocidad " se refiere a una larga línea de enunciados teóricos de números más concretos que generalizó, desde la ley de reciprocidad cuadrática y las leyes de reciprocidad de Eisenstein y Kummer hasta la fórmula del producto de Hilbert para el símbolo de norma . El resultado de Artin proporcionó una solución parcial al noveno problema de Hilbert .

Declaración

Sea una extensión de Galois de campos globales y represente el grupo de clases inactivo de . Una de las afirmaciones de la ley de reciprocidad de Artin es que existe un isomorfismo canónico llamado mapa de símbolos global ^{[2] [3]} ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle C_{L}}$ ${\displaystyle L}$

${\displaystyle \theta :C_{K}/{N_{L/K}(C_{L})}\to \operatorname {Gal} (L/K)^{\text{ab}},}$

donde denota la abelianización de un grupo, y es el grupo de Galois de más . El mapa se define ensamblando los mapas llamados símbolo local de Artin , mapa de reciprocidad local o símbolo de residuo de norma ^{[4] [5]} ${\displaystyle {\text{ab}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \theta _{v}:K_{v}^{\times }/N_{L_{v}/K_{v}}(L_{v}^{\times })\to G^{\text{ab}},}$

para diferentes lugares de . Más precisamente, viene dado por los mapas locales en el componente - de una clase idéle. Los mapas son isomorfismos. Éste es el contenido de la ley de reciprocidad local , un teorema principal de la teoría del campo de clases local . ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta _{v}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \theta _{v}}$

Prueba

Se puede lograr una prueba cohomológica de la ley de reciprocidad global estableciendo primero que

${\displaystyle (\operatorname {Gal} (K^{\text{sep}}/K),\varinjlim C_{L})}$

constituye una formación de clase en el sentido de Artin y Tate. ^[6] Entonces se demuestra que

${\displaystyle {\hat {H}}^{0}(\operatorname {Gal} (L/K),C_{L})\simeq {\hat {H}}^{-2}(\operatorname {Gal} (L/K),\mathbb {Z} ),}$

donde denotamos los grupos de cohomología de Tate . Resolver los grupos de cohomología establece que se trata de un isomorfismo. ${\displaystyle {\hat {H}}^{i}}$ ${\displaystyle \theta }$

Significado

La ley de reciprocidad de Artin implica una descripción de la abelianización del grupo absoluto de Galois de un campo global K que se basa en el principio local-global de Hasse y el uso de los elementos de Frobenius . Junto con el teorema de existencia de Takagi , se utiliza para describir las extensiones abelianas de K en términos de la aritmética de K y para comprender el comportamiento de los lugares no arquímedes en ellas. Por tanto, la ley de reciprocidad de Artin puede interpretarse como uno de los principales teoremas de la teoría de campos de clases globales. Se puede utilizar para demostrar que las funciones L de Artin son meromórficas y también para demostrar el teorema de densidad de Chebotarev . ^[7]

Dos años después de la publicación de su ley general de reciprocidad en 1927, Artin redescubrió el homomorfismo de transferencia de I. Schur y utilizó la ley de reciprocidad para traducir el problema de principalización para clases ideales de campos numéricos algebraicos a la tarea teórica de grupo de determinar los núcleos de transferencias. de grupos finitos no abelianos. ^[8]

Extensiones finitas de campos globales.

(Consulte https://math.stackexchange.com/questions/4131855/frobenius-elements#:~:text=A%20Frobenius%20element%20for%20P,some%20%CF%84%E2%88%88KP para obtener una explicación de algunos de los términos utilizados aquí)

La definición del mapa de Artin para una extensión abeliana finita L / K de campos globales (como una extensión abeliana finita de ) tiene una descripción concreta en términos de ideales primos y elementos de Frobenius . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Si es un primo de K , entonces los grupos de descomposición de los primos anteriores son iguales en Gal ( L / K ) ya que el último grupo es abeliano . Si no está ramificado en L , entonces el grupo de descomposición es canónicamente isomorfo al grupo de Galois de la extensión de los campos de residuos sobre . Por lo tanto, existe un elemento de Frobenius canónicamente definido en Gal( L / K ) denotado por o . Si Δ denota el discriminante relativo de L / K , el símbolo de Artin (o mapa de Artin , o mapa de reciprocidad (global) ) de L / K se define en el grupo de ideales fraccionarios primos a Δ , por linealidad: ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle D_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L,{\mathfrak {P}}}/{\mathfrak {P}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K,{\mathfrak {p}}}/{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle \mathrm {Frob} _{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle \left({\frac {L/K}{\mathfrak {p}}}\right)}$ ${\displaystyle I_{K}^{\Delta }}$

${\displaystyle {\begin{cases}\left({\frac {L/K}{\cdot }}\right):I_{K}^{\Delta }\longrightarrow \operatorname {Gal} (L/K)\\\prod _{i=1}^{m}{\mathfrak {p}}_{i}^{n_{i}}\longmapsto \prod _{i=1}^{m}\left({\frac {L/K}{{\mathfrak {p}}_{i}}}\right)^{n_{i}}\end{cases}}}$

La ley de reciprocidad de Artin (o ley de reciprocidad global ) establece que existe un módulo c de K tal que el mapa de Artin induce un isomorfismo

${\displaystyle I_{K}^{\mathbf {c} }/i(K_{\mathbf {c} ,1})\mathrm {N} _{L/K}(I_{L}^{\mathbf {c} }){\overset {\sim }{\longrightarrow }}\mathrm {Gal} (L/K)}$

donde K _{c ,1} es el módulo del rayo c , N _{L / K} es el mapa de normas asociado a L / K y son los ideales fraccionarios de L primo a c . Tal módulo c se llama módulo definitorio para L / K . El módulo definitorio más pequeño se llama conductor de L / K y normalmente se denota ${\displaystyle I_{L}^{\mathbf {c} }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {f}}(L/K).}$

Ejemplos

Campos cuadráticos

Si es un entero libre de cuadrados y , entonces se puede identificar con {±1}. El discriminante Δ de L over es d o 4 d dependiendo de si d ≡ 1 (mod 4) o no. El mapa de Artin se define entonces sobre los números primos p que no dividen a Δ por ${\displaystyle d\neq 1}$ ${\displaystyle K=\mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle L=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle p\mapsto \left({\frac {\Delta }{p}}\right)}$

¿Dónde está el símbolo de Kronecker ? ^[9] Más específicamente, el conductor de es el ideal principal (Δ) o (Δ)∞ según si Δ es positivo o negativo, ^[10] y se da el mapa de Artin en un ideal primo a Δ ( n ) por el símbolo de Kronecker Esto muestra que un primo p es dividido o inerte en L según sea 1 o −1. ${\displaystyle \left({\frac {\Delta }{p}}\right)}$ ${\displaystyle L/\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \left({\frac {\Delta }{n}}\right).}$ ${\displaystyle \left({\frac {\Delta }{p}}\right)}$

Campos ciclotómicos

Sea m > 1 un entero impar o un múltiplo de 4, sea una m -ésima raíz primitiva de la unidad y sea el m -ésimo campo ciclotómico . se puede identificar enviando σ a un _σ dado por la regla ${\displaystyle \zeta _{m}}$ ${\displaystyle L=\mathbb {Q} (\zeta _{m})}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}$

${\displaystyle \sigma (\zeta _{m})=\zeta _{m}^{a_{\sigma }}.}$

El conductor de es ( m )∞, ^[11] y el mapa de Artin en un ideal primo- m ( n ) es simplemente n (mod m ) en ^[12] ${\displaystyle L/\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }.}$

Relación con la reciprocidad cuadrática

Sean p y primos impares distintos. Por conveniencia, let (que siempre es 1 (mod 4)). Entonces, la reciprocidad cuadrática establece que ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \ell ^{*}=(-1)^{\frac {\ell -1}{2}}\ell }$

${\displaystyle \left({\frac {\ell ^{*}}{p}}\right)=\left({\frac {p}{\ell }}\right).}$

La relación entre las leyes de reciprocidad cuadrática y de Artin se obtiene estudiando el campo cuadrático y el campo ciclotómico de la siguiente manera. ^[9] Primero, F es un subcampo de L , entonces si H = Gal( L / F ) y luego Dado que este último tiene orden 2, el subgrupo H debe ser el grupo de cuadrados en Una propiedad básica del símbolo de Artin dice que para cada ideal primo a ℓ ( n ) ${\displaystyle F=\mathbb {Q} ({\sqrt {\ell ^{*}}})}$ ${\displaystyle L=\mathbb {Q} (\zeta _{\ell })}$ ${\displaystyle G=\operatorname {Gal} (L/\mathbb {Q} ),}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (F/\mathbb {Q} )=G/H.}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} /\ell \mathbb {Z} )^{\times }.}$

${\displaystyle \left({\frac {F/\mathbb {Q} }{(n)}}\right)=\left({\frac {L/\mathbb {Q} }{(n)}}\right){\pmod {H}}.}$

Cuando n = p , esto muestra que si y sólo si, p módulo ℓ está en H , es decir, si y sólo si, p es un cuadrado módulo ℓ. ${\displaystyle \left({\frac {\ell ^{*}}{p}}\right)=1}$

Declaración en términos de funciones L

Una versión alternativa de la ley de reciprocidad, que conduce al programa Langlands , conecta funciones L de Artin asociadas a extensiones abelianas de un campo numérico con funciones L de Hecke asociadas a caracteres del grupo de clases idèle. ^[13]

Un carácter Hecke (o Größencharakter) de un campo numérico K se define como un cuasicarácter del grupo de clases inactivo de K. Robert Langlands interpretó los caracteres de Hecke como formas automórficas en el grupo algebraico reductivo GL (1) sobre el anillo de adeles de K. ^[14]

Sea una extensión abeliana de Galois con grupo G de Galois . Entonces, para cualquier carácter (es decir, una representación compleja unidimensional del grupo G ), existe un carácter de Hecke de K tal que ${\displaystyle E/K}$ ${\displaystyle \sigma :G\to \mathbb {C} ^{\times }}$ ${\displaystyle \chi }$

${\displaystyle L_{E/K}^{\mathrm {Artin} }(\sigma ,s)=L_{K}^{\mathrm {Hecke} }(\chi ,s)}$

donde el lado izquierdo es la función L de Artin asociada a la extensión con el carácter σ y el lado derecho es la función L de Hecke asociada a χ, Sección 7.D de. ^[14]

La formulación de la ley de reciprocidad de Artin como una igualdad de L -funciones permite la formulación de una generalización a n -representaciones dimensionales, aunque todavía falta una correspondencia directa.

Notas

1. Helmut Hasse , Historia de la teoría de campos de clases , en Teoría algebraica de números , editado por Cassels y Frölich, Academic Press, 1967, págs.
2. Neukirch (1999) p.391
3. Jürgen Neukirch , Algebraische Zahlentheorie , Springer, 1992, p. 408. De hecho, una versión más precisa de la ley de reciprocidad sigue la pista de las ramificaciones.
4. Serre (1967) p.140
5. Serre (1979) p.197
6. Serre (1979) p.164
7. Jürgen Neukirch, Algebraische Zahlentheorie , Springer, 1992, Capítulo VII
8. Artin, Emil (diciembre de 1929), "Idealklassen in oberkörpern und allgemeines reziprozitätsgesetz", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg , 7 (1): 46–51, doi :10.1007/BF02941159.
9. Lemmermeyer 2000, §3.2
10. Milne 2008, ejemplo 3.11
11. Milne 2008, ejemplo 3.10
12. Milne 2008, ejemplo 3.2
13. James Milne, Teoría de campos de clases
14. Gelbart, Stephen S. (1975), Formas automórficas en grupos adèle , Annals of Mathematics Studies, vol. 83, Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press, SEÑOR  0379375.

Referencias

• Emil Artin (1924) "Über eine neue Art von L-Reihen", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg 3: 89–108; Artículos recopilados , Addison Wesley (1965), 105-124
• Emil Artin (1927) "Beweis des allgemeinen Reziprozitätsgesetzes", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg 5: 353–363; Artículos recopilados , 131-141
• Emil Artin (1930) "Idealklassen in Oberkörpern und allgemeines Reziprozitätsgesetzes", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg 7: 46–51; Artículos recopilados , 159-164
• Frei, Günther (2004), "Sobre la historia de la ley de reciprocidad de Artin en extensiones abelianas de campos numéricos algebraicos: cómo Artin llegó a su ley de reciprocidad", en Olav Arnfinn Laudal; Ragni Piene (eds.), El legado de Niels Henrik Abel. Artículos de la conferencia del bicentenario de Abel, Universidad de Oslo, Oslo, Noruega, 3 al 8 de junio de 2002 , Berlín: Springer-Verlag , págs. 267–294, ISBN 978-3-540-43826-7, SEÑOR  2077576, Zbl  1065.11001
• Janusz, Gerald (1973), Campos de números algebraicos , Matemática pura y aplicada, vol. 55, Prensa académica, ISBN 0-12-380250-4
• Lang, Serge (1994), Teoría algebraica de números , Textos de Graduado en Matemáticas , vol. 110 (2 ed.), Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94225-4, señor  1282723
• Lemmermeyer, Franz (2000), Leyes de reciprocidad: de Euler a Eisenstein , Springer Monographs in Mathematics, Berlín: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-66957-9, SEÑOR  1761696, Zbl  0949.11002
• Milne, James (2008), Teoría de campos de clases (v4.0 ed.) , consultado el 22 de febrero de 2010
• Neukirch, Jürgen (1999), Teoría algebraica de números , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 322, traducido del alemán por Norbert Schappacher, Berlín: Springer-Verlag , ISBN 3-540-65399-6, Zbl  0956.11021
• Serre, Jean-Pierre (1979), Campos locales , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 67, traducido por Greenberg, Marvin Jay , Nueva York, Heidelberg, Berlín: Springer-Verlag , ISBN 3-540-90424-7, Zbl  0423.12016
• Serre, Jean-Pierre (1967), "VI. Teoría de campos de clases locales", en Cassels, JWS ; Fröhlich, A. (eds.), Teoría algebraica de números. Actas de una conferencia de instrucción organizada por la Sociedad Matemática de Londres (un Instituto de Estudios Avanzados de la OTAN) con el apoyo de la Unión Matemática Internacional , Londres: Academic Press, págs. 128–161, Zbl  0153.07403
• Tate, John (1967), "VII. Teoría de campos de clases globales", en Cassels, JWS ; Fröhlich, A. (eds.), Teoría algebraica de números. Actas de una conferencia de instrucción organizada por la Sociedad Matemática de Londres (un Instituto de Estudios Avanzados de la OTAN) con el apoyo de la Unión Matemática Internacional , Londres: Academic Press, págs. 162–203, Zbl  0153.07403