Grado de extensión de un campo

Dimensión del campo de extensión visto como un espacio vectorial sobre el campo base

En matemáticas , más específicamente en teoría de campos , el grado de extensión de un campo es una medida aproximada del "tamaño" de la extensión de un campo . El concepto juega un papel importante en muchas áreas de las matemáticas, incluidas el álgebra y la teoría de números ; de hecho, en cualquier área donde los campos aparezcan de manera prominente.

Definición y notación

Supongamos que E / F es una extensión de campo . Entonces, E puede considerarse como un espacio vectorial sobre F (el campo de escalares). La dimensión de este espacio vectorial se denomina grado de la extensión de campo y se denota por [ E : F ].

El grado puede ser finito o infinito, denominándose al campo extensión finita o extensión infinita según corresponda. A veces también se dice que una extensión E / F es simplemente finita si es una extensión finita; esto no debe confundirse con que los campos en sí sean campos finitos (campos con un número finito de elementos).

El grado no debe confundirse con el grado de trascendencia de un campo; por ejemplo, el campo Q ( X ) de funciones racionales tiene grado infinito sobre Q , pero grado de trascendencia sólo igual a 1.

La fórmula de multiplicidad para grados

Dados tres campos dispuestos en una torre , digamos K un subcampo de L que a su vez es un subcampo de M , existe una relación simple entre los grados de las tres extensiones L / K , M / L y M / K :

${\displaystyle [M:K]=[M:L]\cdot [L:K].}$

En otras palabras, el grado que va del campo "inferior" al "superior" es simplemente el producto de los grados que van del "inferior" al "medio" y luego del "medio" al "superior". Es bastante análogo al teorema de Lagrange en la teoría de grupos , que relaciona el orden de un grupo con el orden y el índice de un subgrupo; de hecho, la teoría de Galois muestra que esta analogía es más que una mera coincidencia.

La fórmula es válida tanto para extensiones de grado finito como infinito. En el caso infinito, el producto se interpreta en el sentido de productos de números cardinales . En particular, esto significa que si M / K es finito, entonces tanto M / L como L / K son finitos.

Si M / K es finito, entonces la fórmula impone fuertes restricciones sobre los tipos de campos que pueden ocurrir entre M y K , a través de consideraciones aritméticas simples. Por ejemplo, si el grado [ M : K ] es un número primo p , entonces para cualquier campo intermedio L , una de dos cosas puede suceder: o bien [ M : L ] = p y [ L : K ] = 1, en cuyo caso L es igual a K , o bien [ M : L ] = 1 y [ L : K ] = p , en cuyo caso L es igual a M . Por lo tanto, no hay campos intermedios (aparte de M y K mismos).

Prueba de la fórmula de la multiplicidad en el caso finito

Supóngase que K , L y M forman una torre de campos como en la fórmula de grado anterior, y que tanto d = [ L : K ] como e = [ M : L ] son ​​finitos. Esto significa que podemos seleccionar una _base { u1 , ..., _ud } para L sobre K , y una base { w1 , ..., _we } para M sobre L. Demostraremos que los elementos umwn , para m que pasa por 1, 2, ..., _d y n _que pasa _por 1 , 2, ..., e , forman una base para M / K ; dado que hay precisamente de de ellos, esto demuestra que la dimensión de M / K es de , que es el resultado deseado.

Primero comprobamos que abarcan M / K . Si x es cualquier elemento de M , entonces como los w _n forman una base para M sobre L , podemos encontrar elementos a _n en L tales que

${\displaystyle x=\sum _{n=1}^{e}a_{n}w_{n}=a_{1}w_{1}+\cdots +a_{e}w_{e}.}$

Entonces, como las u _m forman una base para L sobre K , podemos encontrar elementos b _{m , n} en K tales que para cada n ,

${\displaystyle a_{n}=\sum _{m=1}^{d}b_{m,n}u_{m}=b_{1,n}u_{1}+\cdots +b_{d,n}u_{d}.}$

Luego, utilizando la ley distributiva y la asociatividad de la multiplicación en M, tenemos

${\displaystyle x=\sum _{n=1}^{e}\left(\sum _{m=1}^{d}b_{m,n}u_{m}\right)w_{n}=\sum _{n=1}^{e}\sum _{m=1}^{d}b_{m,n}(u_{m}w_{n}),}$

lo que demuestra que x es una combinación lineal de u _m w _n con coeficientes de K ; en otras palabras, abarcan M sobre K .

En segundo lugar, debemos comprobar que son linealmente independientes sobre K. Por lo tanto, supongamos que

${\displaystyle 0=\sum _{n=1}^{e}\sum _{m=1}^{d}b_{m,n}(u_{m}w_{n})}$

para algunos coeficientes b _{m , n} en K . Usando distributividad y asociatividad nuevamente, podemos agrupar los términos como

${\displaystyle 0=\sum _{n=1}^{e}\left(\sum _{m=1}^{d}b_{m,n}u_{m}\right)w_{n},}$

y vemos que los términos entre paréntesis deben ser cero, porque son elementos de L , y las w _n son linealmente independientes sobre L . Es decir,

${\displaystyle 0=\sum _{m=1}^{d}b_{m,n}u_{m}}$

para cada n . Entonces, como los coeficientes b _{m , n} están en K , y los u _m son linealmente independientes en K , debemos tener que b _{m , n} = 0 para todo m y todo n . Esto _demuestra que los elementos um _w n son linealmente independientes en K . Esto concluye la prueba.

Demostración de la fórmula en el caso infinito

En este caso, comenzamos con las bases u _α y w _β de L / K y M / L respectivamente, donde α se toma de un conjunto de indexación A , y β de un conjunto de indexación B . Usando un argumento completamente similar al anterior, encontramos que los productos u _α w _β forman una base para M / K . Estos están indexados por el producto cartesiano A × B , que por definición tiene cardinalidad igual al producto de las cardinalidades de A y B .

Ejemplos

• Los números complejos son una extensión de campo sobre los números reales con grado [ C : R ] = 2, y por lo tanto no hay campos no triviales entre ellos.
• La extensión de campo Q ( √ 2 , √ 3 ), obtenida al adjuntar √ 2 y √ 3 al campo Q de los números racionales , tiene grado 4, es decir, [ Q ( √ 2 , √ 3 ): Q ] = 4. El campo intermedio Q ( √ 2 ) tiene grado 2 sobre Q ; concluimos de la fórmula de la multiplicidad que [ Q ( √ 2 , √ 3 ): Q ( √ 2 )] = 4/2 = 2.
• El cuerpo finito (cuerpo de Galois) GF (125) = GF (5 ³ ) tiene grado 3 sobre su subcuerpo GF (5). De manera más general, si p es primo y n , m son números enteros positivos con n dividiéndolo a m , entonces [ GF ( p ^m ): GF ( p ⁿ )] = m / n .
• La extensión de campo C ( T )/ C , donde C ( T ) es el campo de funciones racionales sobre C , tiene grado infinito (de hecho es una extensión puramente trascendental ). Esto se puede ver observando que los elementos 1, T , T ² , etc., son linealmente independientes sobre C .
• La extensión del campo C ( T ² ) también tiene grado infinito sobre C . Sin embargo, si vemos C ( T ² ) como un subcuerpo de C ( T ), entonces de hecho [ C ( T ): C ( T ² )] = 2. De manera más general, si X e Y son curvas algebraicas sobre un cuerpo K , y F  : X → Y es un morfismo sobreyectivo entre ellos de grado d , entonces los cuerpos de funciones K ( X ) y K ( Y ) son ambos de grado infinito sobre K , pero el grado [ K ( X ): K ( Y )] resulta ser igual a d .

Generalización

Dados dos anillos de división E y F con F contenido en E y la multiplicación y adición de F siendo la restricción de las operaciones en E , podemos considerar E como un espacio vectorial sobre F de dos maneras: haciendo que los escalares actúen a la izquierda, dando una dimensión [ E : F ] _l , y haciendo que actúen a la derecha, dando una dimensión [ E : F ] _r . Las dos dimensiones no necesitan coincidir. Sin embargo, ambas dimensiones satisfacen una fórmula de multiplicación para torres de anillos de división; la prueba anterior se aplica a escalares que actúan a la izquierda sin cambio.

Referencias

• página 215, Jacobson, N. (1985). Álgebra básica I. WH Freeman and Company. ISBN 0-7167-1480-9.Prueba de la fórmula de multiplicidad.
• página 465, Jacobson, N. (1989). Álgebra básica II . WH Freeman and Company. ISBN 0-7167-1933-9.Se analiza brevemente el caso de dimensión infinita.