Teoría de números

La teoría de números (o aritmética o aritmética superior en el uso más antiguo) es una rama de las matemáticas puras dedicada principalmente al estudio de los números enteros y las funciones aritméticas . El matemático alemán Carl Friedrich Gauss (1777-1855) dijo: "Las matemáticas son la reina de las ciencias, y la teoría de números es la reina de las matemáticas". ^[1] Los teóricos de números estudian los números primos , así como las propiedades de los objetos matemáticos construidos a partir de números enteros (por ejemplo, números racionales ) o definidos como generalizaciones de los números enteros (por ejemplo, números enteros algebraicos ).

Los números enteros pueden considerarse en sí mismos o como soluciones de ecuaciones ( geometría diofántica ). Las cuestiones de teoría de números suelen entenderse mejor mediante el estudio de objetos analíticos (por ejemplo, la función zeta de Riemann ) que codifican propiedades de los números enteros, primos u otros objetos de la teoría de números de alguna manera ( teoría analítica de números ). También se pueden estudiar los números reales en relación con los números racionales; por ejemplo, tal como se aproximan a estos últimos ( aproximación diofántica ).

El término más antiguo para la teoría de números es aritmética . A principios del siglo XX, había sido reemplazado por la teoría de números . ^{[nota 1]} (La palabra aritmética es utilizada por el público en general para significar " cálculos elementales "; también ha adquirido otros significados en lógica matemática , como en aritmética de Peano , y en informática , como en aritmética de punto flotante ). El uso del término aritmética para la teoría de números recuperó algo de terreno en la segunda mitad del siglo XX, posiblemente en parte debido a la influencia francesa. ^{[nota 2]} En particular, aritmético se prefiere comúnmente como adjetivo para teórico de números .

Historia

Orígenes

El amanecer de la aritmética

El hallazgo histórico más antiguo de naturaleza aritmética es un fragmento de una tabla: la tablilla de arcilla rota Plimpton 322 ( Larsa, Mesopotamia , ca. 1800 a. C.) contiene una lista de " ternas pitagóricas ", es decir, números enteros tales que . Las ternas son demasiadas y demasiado grandes para haber sido obtenidas por la fuerza bruta . El encabezado sobre la primera columna dice: "El takiltum de la diagonal que se ha restado de modo que el ancho..." ^[2] $(a,b,c)$ $a^{2}+b^{2}=c^{2}$

La disposición de la tabla sugiere ^[3] que fue construida mediante lo que equivale, en lenguaje moderno, a la identidad

\left({\frac {1}{2}}\left(x-{\frac {1}{x}}\right)\right)^{2}+1=\left({\frac {1}{2}}\left(x+{\frac {1}{x}}\right)\right)^{2},

lo cual está implícito en los ejercicios rutinarios del Antiguo Babilónico . ^[4] Si se utilizó algún otro método, ^[5] primero se construían los triples y luego se reordenaban mediante , presumiblemente para su uso real como una "tabla", por ejemplo, con vistas a aplicaciones. $c/a$

No se sabe cuáles pudieron haber sido estas aplicaciones, o si pudo haberlas tenido; la astronomía babilónica , por ejemplo, realmente alcanzó su auge sólo más tarde. Se ha sugerido, en cambio, que la tabla era una fuente de ejemplos numéricos para problemas escolares. ^[6]^{[nota 3]}

Aunque solo la tablilla Plimpton 322 sobrevive como prueba de la teoría de números babilónica, algunos autores afirman que el álgebra babilónica estaba excepcionalmente bien desarrollada e incluía los fundamentos del álgebra elemental moderna . ^[7] Fuentes neoplatónicas tardías ^[8] afirman que Pitágoras aprendió matemáticas de los babilonios. Fuentes mucho más antiguas ^[9] afirman que Tales y Pitágoras viajaron y estudiaron en Egipto .

En el libro nueve de los Elementos de Euclides , las proposiciones 21-34 están muy probablemente influidas por las enseñanzas pitagóricas ; ^[10] es un material muy simple ("impar por par es par", "si un número impar mide [= divide] un número par, entonces también mide [= divide] la mitad de él"), pero es todo lo que se necesita para demostrar que es irracional . ^[11]Los místicos pitagóricos dieron gran importancia a lo impar y lo par. ^[12] El descubrimiento de que es irracional se atribuye a los primeros pitagóricos (pre- Teodoro ). ^[13] Al revelar (en términos modernos) que los números podían ser irracionales, este descubrimiento parece haber provocado la primera crisis fundacional en la historia matemática; su prueba o su divulgación a veces se atribuyen a Hippasus , quien fue expulsado o se escindió de la secta pitagórica. ^[14] Esto forzó una distinción entre números (enteros y racionales, los temas de la aritmética), por un lado, y longitudes y proporciones (que pueden identificarse con números reales, sean racionales o no), por el otro. ${\sqrt {2}}$ ${\sqrt {2}}$

La tradición pitagórica hablaba también de los llamados números poligonales o figurados . ^[15] Mientras que los números cuadrados , cúbicos , etc., se consideran ahora más naturales que los triangulares , pentagonales , etc., el estudio de las sumas de números triangulares y pentagonales resultaría fructífero en el período moderno temprano (siglos XVII a principios del XIX).

El teorema del resto chino aparece como un ejercicio ^[16] en Sunzi Suanjing (siglo III, IV o V d.C.). ^[17] (Hay un paso importante que se pasa por alto en la solución de Sunzi: ^{[nota 4]} es el problema que luego fue resuelto por el Kuṭṭaka de Āryabhaṭa ; véase más abajo). El resultado fue generalizado posteriormente con una solución completa llamada Da-yan-shu (大衍術) en el Tratado matemático en nueve secciones de Qin Jiushao de 1247 ^[18] que fue traducido al inglés a principios del siglo XIX por el misionero británico Alexander Wylie . ^[19]

También hay cierto misticismo numérico en las matemáticas chinas, ^{[nota 5]} pero, a diferencia del de los pitagóricos, no parece haber conducido a ninguna parte.

La Grecia clásica y el período helenístico temprano

Aparte de unos pocos fragmentos, conocemos las matemáticas de la Grecia clásica ya sea a través de los informes de no matemáticos contemporáneos o a través de obras matemáticas del período helenístico temprano . ^[20] En el caso de la teoría de números, esto significa, en general, Platón y Euclides , respectivamente.

Aunque las matemáticas asiáticas influyeron en el aprendizaje griego y helenístico, parece ser que las matemáticas griegas también son una tradición indígena.

Eusebio , PE X, capítulo 4 menciona a Pitágoras :

"De hecho, el susodicho Pitágoras, mientras estudiaba afanosamente la sabiduría de cada nación, visitó Babilonia, Egipto y toda Persia, siendo instruido por los magos y los sacerdotes: y además de estos, se dice que estudió con los brahmanes (estos son filósofos indios); y de algunos aprendió astrología, de otros geometría, y aritmética y música de otros, y diferentes cosas de diferentes naciones, y sólo de los sabios de Grecia no obtuvo nada, casados como estaban con una pobreza y escasez de sabiduría: así que, por el contrario, él mismo se convirtió en el autor de instrucción para los griegos en el conocimiento que había adquirido del extranjero". ^[21]

Aristóteles afirmó que la filosofía de Platón seguía de cerca las enseñanzas de los pitagóricos, ^[22] y Cicerón repite esta afirmación: Platonem ferunt didicisse Pythagorea omnia ("Dicen que Platón aprendió todas las cosas pitagóricas"). ^[23]

Platón tenía un gran interés por las matemáticas y distinguía claramente entre aritmética y cálculo. (Por aritmética se refería, en parte, a la teorización sobre los números, en lugar de lo que la aritmética o la teoría de números han llegado a significar). Es a través de uno de los diálogos de Platón, concretamente Teeteto , que se sabe que Teodoro había demostrado que son irracionales. Teeteto era, como Platón, discípulo de Teodoro; trabajó en la distinción de diferentes tipos de inconmensurables y, por lo tanto, podría decirse que fue un pionero en el estudio de los sistemas numéricos . ( Papus describe el Libro X de los Elementos de Euclides como basado en gran medida en el trabajo de Teeteto). ${\sqrt {3}},{\sqrt {5}},\dots ,{\sqrt {17}}$

Euclides dedicó parte de sus Elementos a los números primos y a la divisibilidad, temas que pertenecen inequívocamente a la teoría de números y son básicos para ella (libros VII a IX de los Elementos de Euclides ). En particular, dio un algoritmo para calcular el máximo común divisor de dos números (el algoritmo de Euclides ; Elementos , Prop. VII.2) y la primera prueba conocida de la infinitud de los primos ( Elementos , Prop. IX.20).

En 1773, Lessing publicó un epigrama que había encontrado en un manuscrito durante su trabajo como bibliotecario; afirmaba ser una carta enviada por Arquímedes a Eratóstenes . ^[24]^[25] El epigrama proponía lo que se ha conocido como el problema del ganado de Arquímedes ; su solución (ausente en el manuscrito) requiere resolver una ecuación cuadrática indeterminada (que se reduce a lo que más tarde se llamaría erróneamente ecuación de Pell ). Hasta donde se sabe, tales ecuaciones fueron tratadas con éxito por primera vez por la escuela india. No se sabe si el propio Arquímedes tenía un método de solución.

Diofanto

Se sabe muy poco sobre Diofanto de Alejandría ; probablemente vivió en el siglo III d. C., es decir, unos quinientos años después de Euclides. Seis de los trece libros de la Aritmética de Diofanto sobreviven en el griego original y cuatro más sobreviven en una traducción árabe. La Aritmética es una colección de problemas resueltos donde la tarea es invariablemente encontrar soluciones racionales a un sistema de ecuaciones polinómicas, generalmente de la forma o . Así, hoy en día, una ecuación diofántica es una ecuación polinómica a la que se buscan soluciones racionales o enteras. $f(x,y)=z^{2}$ $f(x,y,z)=w^{2}$

Āryabhaṭa, Brahmagupta, Bhāskara

Si bien la astronomía griega probablemente influyó en el aprendizaje indio, hasta el punto de introducir la trigonometría , ^[26] parece ser que las matemáticas indias son, por lo demás, una tradición indígena; ^[27] en particular, no hay evidencia de que los Elementos de Euclides llegaran a la India antes del siglo XVIII. ^[28]

Āryabhaṭa (476–550 d. C.) demostró que los pares de congruencias simultáneas podían resolverse mediante un método que llamó kuṭṭaka o pulverizador ; ^[29] este es un procedimiento cercano a (una generalización de) el algoritmo euclidiano , que probablemente fue descubierto independientemente en la India. ^[30] Āryabhaṭa parece haber tenido en mente aplicaciones a los cálculos astronómicos. ^[26] $n\equiv a_{1}{\bmod {m}}_{1}$ $n\equiv a_{2}{\bmod {m}}_{2}$

Brahmagupta (628 d. C.) inició el estudio sistemático de las ecuaciones cuadráticas indefinidas, en particular, la mal llamada ecuación de Pell , en la que Arquímedes pudo haber estado interesado por primera vez y que no comenzó a resolverse en Occidente hasta la época de Fermat y Euler. Los autores sánscritos posteriores seguirían, utilizando la terminología técnica de Brahmagupta. Un procedimiento general (el chakravala o "método cíclico") para resolver la ecuación de Pell fue finalmente encontrado por Jayadeva (citado en el siglo XI; su trabajo se perdió por lo demás); la exposición más antigua que sobrevive aparece en la Bīja-gaṇita de Bhāskara II (siglo XII). ^[31]

Las matemáticas indias permanecieron en gran medida desconocidas en Europa hasta finales del siglo XVIII; ^[32] El trabajo de Brahmagupta y Bhāskara fue traducido al inglés en 1817 por Henry Colebrooke . ^[33]

La aritmética en la edad de oro islámica

A principios del siglo IX, el califa Al-Ma'mun ordenó traducciones de muchas obras matemáticas griegas y al menos una obra sánscrita (el Sindhind , que puede ^[34] o no ^{[35] ser}el Brāhmasphuṭasiddhānta de Brahmagupta ). La obra principal de Diofanto, la Arithmetica , fue traducida al árabe por Qusta ibn Luqa (820-912). Parte del tratado al-Fakhri (por al-Karajī , 953 - ca. 1029) se basa en él en cierta medida. Según Rashed Roshdi, el contemporáneo de al-Karajī, Ibn al-Haytham, conocía ^[36] lo que más tarde se llamaría el teorema de Wilson .

Europa occidental en la Edad Media

Aparte de un tratado sobre los cuadrados en progresión aritmética de Fibonacci —que viajó y estudió en el norte de África y Constantinopla—, no se hizo ninguna teoría de números digna de mención en Europa occidental durante la Edad Media. Las cosas empezaron a cambiar en Europa a finales del Renacimiento , gracias a un estudio renovado de las obras de la antigüedad griega. Un catalizador fue la enmienda textual y la traducción al latín de la Arithmetica de Diofanto . ^[37]

Teoría de números de la era moderna

Fermat

Pierre de Fermat (1607-1665) nunca publicó sus escritos; en particular, su trabajo sobre teoría de números está contenido casi en su totalidad en cartas a matemáticos y en notas marginales privadas. ^[38] En sus notas y cartas, apenas escribió pruebas: no tenía modelos en ese área. ^[39]

A lo largo de su vida, Fermat hizo las siguientes contribuciones al campo:

Uno de los primeros intereses de Fermat fueron los números perfectos (que aparecen en Euclides, Elementos IX) y los números amigos ; ^{[nota 6]} estos temas lo llevaron a trabajar en los divisores enteros , que desde el principio estuvieron entre los temas de la correspondencia (1636 en adelante) que lo puso en contacto con la comunidad matemática de la época. ^[40]
En 1638, Fermat afirmó, sin pruebas, que todos los números enteros pueden expresarse como la suma de cuatro cuadrados o menos. ^[41]
Pequeño teorema de Fermat (1640): ^[42] si a no es divisible por un primo p , entonces ^{[nota 7]} $a^{p-1}\equiv 1{\bmod {p}}.$
Si a y b son coprimos , entonces no es divisible por ningún primo congruente con −1 módulo 4; ^[43] y todo primo congruente con 1 módulo 4 puede escribirse en la forma . ^[44] Estas dos afirmaciones también datan de 1640; en 1659, Fermat le dijo a Huygens que había demostrado la última afirmación mediante el método de descendencia infinita . ^[45] $a^{2}+b^{2}$ $a^{2}+b^{2}$
En 1657, Fermat planteó el problema de la solución como un desafío a los matemáticos ingleses. El problema fue resuelto en unos pocos meses por Wallis y Brouncker. ^[46] Fermat consideró válida su solución, pero señaló que habían proporcionado un algoritmo sin una prueba (al igual que Jayadeva y Bhaskara, aunque Fermat no era consciente de ello). Afirmó que se podía encontrar una prueba mediante descenso infinito. $x^{2}-Ny^{2}=1$
Fermat afirmó y demostró (por descenso infinito) en el apéndice a las Observaciones sobre Diofanto (Obs. XLV) ^[47] que no tiene soluciones no triviales en los números enteros. Fermat también mencionó a sus corresponsales que no tiene soluciones no triviales, y que esto también podría demostrarse por descenso infinito. ^[48] La primera prueba conocida se debe a Euler (1753; en efecto, por descenso infinito). ^[49] $x^{4}+y^{4}=z^{4}$ $x^{3}+y^{3}=z^{3}$
Fermat afirmó ( el último teorema de Fermat ) haber demostrado que no hay soluciones para todos ; esta afirmación aparece en sus anotaciones en los márgenes de su copia de Diofanto. $x^{n}+y^{n}=z^{n}$ $n\geq 3$

Euler

El interés de Leonhard Euler (1707-1783) por la teoría de números se despertó por primera vez en 1729, cuando un amigo suyo, el aficionado ^{[nota 8]} Goldbach , le señaló algunos de los trabajos de Fermat sobre el tema. ^[50]^[51] Esto se ha llamado el "renacimiento" de la teoría de números moderna, ^[52] después de la relativa falta de éxito de Fermat en conseguir la atención de sus contemporáneos hacia el tema. ^[53] El trabajo de Euler sobre la teoría de números incluye lo siguiente: ^[54]

Pruebas de los enunciados de Fermat. Entre ellas se incluyen el pequeño teorema de Fermat (generalizado por Euler a módulos no primos); el hecho de que si y sólo si ; el trabajo inicial encaminado a demostrar que todo entero es la suma de cuatro cuadrados (la primera demostración completa es de Joseph-Louis Lagrange (1770), pronto mejorada por el propio Euler ^[55] ); la falta de soluciones enteras no nulas para (lo que implica el caso n=4 del último teorema de Fermat, cuyo caso n=3 Euler también demostró mediante un método relacionado). $p=x^{2}+y^{2}$ $p\equiv 1{\bmod {4}}$ $x^{4}+y^{4}=z^{2}$
Ecuación de Pell , mal nombrada por primera vez por Euler.^[56] Escribió sobre el vínculo entre las fracciones continuas y la ecuación de Pell.^[57]
Primeros pasos hacia la teoría analítica de números. En su trabajo sobre sumas de cuatro cuadrados, particiones , números pentagonales y la distribución de números primos, Euler fue pionero en el uso de lo que puede considerarse como análisis (en particular, series infinitas) en la teoría de números. Dado que vivió antes del desarrollo del análisis complejo , la mayor parte de su trabajo se limita a la manipulación formal de series de potencias . Sin embargo, realizó algunos trabajos tempranos muy notables (aunque no completamente rigurosos) sobre lo que más tarde se llamaría la función zeta de Riemann . ^[58]
Formas cuadráticas . Siguiendo el ejemplo de Fermat, Euler realizó más investigaciones sobre la cuestión de qué números primos pueden expresarse en la forma , algunas de las cuales prefiguraron la reciprocidad cuadrática . ^[59]^[60]^[61] $x^{2}+Ny^{2}$
Ecuaciones diofánticas . Euler trabajó en algunas ecuaciones diofánticas de género 0 y 1. ^[62]^[63] En particular, estudió el trabajo de Diofanto; intentó sistematizarlo, pero el momento aún no estaba maduro para tal esfuerzo: la geometría algebraica todavía estaba en su infancia. ^[64] Observó que había una conexión entre los problemas diofánticos y las integrales elípticas , ^[64] cuyo estudio él mismo había iniciado.

Lagrange, Legendre y Gauss

Disquisitiones Arithmeticae de Carl Friedrich Gauss, primera edición

Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) fue el primero en dar pruebas completas de algunos de los trabajos y observaciones de Fermat y Euler; por ejemplo, el teorema de los cuatro cuadrados y la teoría básica de la mal llamada "ecuación de Pell" (para la cual Fermat y sus contemporáneos, y también Jayadeva y Bhaskara II antes que ellos, encontraron una solución algorítmica). También estudió las formas cuadráticas en total generalidad (a diferencia de ): definió su relación de equivalencia, mostró cómo ponerlas en forma reducida, etc. $mX^{2}+nY^{2}$

Adrien-Marie Legendre (1752-1833) fue el primero en enunciar la ley de reciprocidad cuadrática. También conjeturó lo que equivale al teorema de los números primos y al teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas . Trató en profundidad la ecuación ^[66] y trabajó en formas cuadráticas siguiendo las líneas que luego desarrolló Gauss. ^[67] En su vejez, fue el primero en demostrar el último teorema de Fermat para (completando el trabajo de Peter Gustav Lejeune Dirichlet y atribuyéndole el mérito tanto a él como a Sophie Germain ). ^[68] $ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=0$ $n=5$

En sus Disquisitiones Arithmeticae (1798), Carl Friedrich Gauss (1777-1855) demostró la ley de reciprocidad cuadrática y desarrolló la teoría de las formas cuadráticas (en particular, definiendo su composición). También introdujo algunas notaciones básicas ( congruencias ) y dedicó una sección a cuestiones computacionales, incluidas las pruebas de primalidad. ^[69] La última sección de las Disquisitiones estableció un vínculo entre las raíces de la unidad y la teoría de números:

La teoría de la división del círculo... que se trata en la sección 7 no pertenece por sí misma a la aritmética, sino que sus principios sólo pueden extraerse de la aritmética superior. ^[70]

De este modo, Gauss posiblemente hizo una primera incursión tanto en el trabajo de Évariste Galois como en la teoría algebraica de números .

Madurez y división en subcampos

A partir de principios del siglo XIX se produjeron gradualmente los siguientes cambios:

El ascenso a la autoconciencia de la teoría de números (o aritmética superior ) como campo de estudio. ^[71]
El desarrollo de gran parte de las matemáticas modernas necesarias para la teoría básica de números moderna: análisis complejo , teoría de grupos , teoría de Galois —acompañado de un mayor rigor en el análisis y la abstracción en el álgebra.
La subdivisión aproximada de la teoría de números en sus subcampos modernos, en particular, la teoría analítica y algebraica de números.

Se puede decir que la teoría algebraica de números comienza con el estudio de la reciprocidad y la ciclotomía , pero realmente llegó a su máximo esplendor con el desarrollo del álgebra abstracta y la teoría ideal temprana y la teoría de la valoración ; véase más abajo. Un punto de partida convencional para la teoría analítica de números es el teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas (1837), ^[72]^[73] cuya prueba introdujo funciones L e implicó algún análisis asintótico y un proceso limitante sobre una variable real. ^[74] El primer uso de ideas analíticas en la teoría de números en realidad se remonta a Euler (1730), ^[75]^[76] quien utilizó series de potencias formales y argumentos limitantes no rigurosos (o implícitos). El uso del análisis complejo en la teoría de números viene después: el trabajo de Bernhard Riemann (1859) sobre la función zeta es el punto de partida canónico; ^[77] El teorema de los cuatro cuadrados de Jacobi (1839), que lo precede, pertenece a una corriente inicialmente diferente que ahora ha asumido un papel principal en la teoría analítica de números ( formas modulares ). ^[78]

La historia de cada subcampo se aborda brevemente en su propia sección a continuación; consulte el artículo principal de cada subcampo para obtener información más completa. Muchas de las preguntas más interesantes en cada área siguen abiertas y se está trabajando activamente en ellas.

Subdivisiones principales

Teoría elemental de números

El término elemental generalmente denota un método que no utiliza análisis complejo . Por ejemplo, el teorema de los números primos se demostró por primera vez utilizando análisis complejo en 1896, pero una prueba elemental fue encontrada recién en 1949 por Erdős y Selberg . ^[79] El término es algo ambiguo: por ejemplo, las pruebas basadas en teoremas tauberianos complejos (por ejemplo, Wiener–Ikehara ) a menudo se consideran bastante esclarecedoras pero no elementales, a pesar de utilizar análisis de Fourier , en lugar de análisis complejo como tal. Aquí como en otros lugares, una prueba elemental puede ser más larga y más difícil para la mayoría de los lectores que una no elemental.

La teoría de números tiene fama de ser un campo cuyos resultados pueden ser expuestos al público en general. Al mismo tiempo, las pruebas de estos resultados no son particularmente accesibles, en parte porque la gama de herramientas que utilizan es, en todo caso, inusualmente amplia dentro de las matemáticas. ^[80]

Teoría analítica de números

La acción del grupo modular en el semiplano superior . La región en gris es el dominio fundamental estándar .

La teoría analítica de números puede definirse

en cuanto a sus herramientas, como el estudio de los números enteros mediante herramientas de análisis real y complejo ; ^[72] o
en términos de sus preocupaciones, como el estudio dentro de la teoría de números de estimaciones sobre tamaño y densidad, en oposición a identidades. ^[81]

Algunos temas generalmente considerados como parte de la teoría analítica de números, por ejemplo, la teoría de tamices , ^{[nota 9]} se cubren mejor con la segunda definición que con la primera: parte de la teoría de tamices, por ejemplo, utiliza poco análisis, ^{[nota 10]} pero pertenece a la teoría analítica de números.

Los siguientes son ejemplos de problemas en la teoría analítica de números: el teorema de los números primos , la conjetura de Goldbach (o la conjetura de los primos gemelos , o las conjeturas de Hardy-Littlewood ), el problema de Waring y la hipótesis de Riemann . Algunas de las herramientas más importantes de la teoría analítica de números son el método del círculo , los métodos de criba y las funciones L (o, más bien, el estudio de sus propiedades). La teoría de formas modulares (y, más generalmente, las formas automórficas ) también ocupa un lugar cada vez más central en la caja de herramientas de la teoría analítica de números. ^[82]

Se pueden hacer preguntas analíticas sobre los números algebraicos y utilizar medios analíticos para responder a dichas preguntas; es así como la teoría de números algebraica y analítica se cruzan. Por ejemplo, se pueden definir ideales primos (generalizaciones de números primos en el campo de los números algebraicos) y preguntar cuántos ideales primos hay hasta un cierto tamaño. Esta pregunta se puede responder mediante un examen de las funciones zeta de Dedekind , que son generalizaciones de la función zeta de Riemann , un objeto analítico clave en las raíces del tema. ^[83] Este es un ejemplo de un procedimiento general en la teoría analítica de números: derivar información sobre la distribución de una secuencia (aquí, ideales primos o números primos) a partir del comportamiento analítico de una función de valor complejo construida apropiadamente. ^[84]

Teoría algebraica de números

Un número algebraico es cualquier número complejo que es una solución a alguna ecuación polinómica con coeficientes racionales; por ejemplo, cada solución de (digamos) es un número algebraico. Los campos de números algebraicos también se denominan campos de números algebraicos o, abreviadamente, campos de números . La teoría de números algebraicos estudia los campos de números algebraicos. ^[85] Por lo tanto, la teoría analítica y la teoría algebraica de números pueden superponerse y de hecho lo hacen: la primera se define por sus métodos, la segunda por sus objetos de estudio. $f(x)=0$ $x$ $x^{5}+(11/2)x^{3}-7x^{2}+9=0$

Se podría argumentar que el tipo más simple de cuerpos numéricos (es decir, cuerpos cuadráticos) ya fueron estudiados por Gauss, ya que la discusión de las formas cuadráticas en Disquisitiones arithmeticae puede reformularse en términos de ideales y normas en cuerpos cuadráticos. (Un cuerpo cuadrático consiste en todos los números de la forma , donde y son números racionales y es un número racional fijo cuya raíz cuadrada no es racional). De hecho, el método chakravala del siglo XI equivale, en términos modernos, a un algoritmo para encontrar las unidades de un cuerpo numérico cuadrático real. Sin embargo, ni Bhāskara ni Gauss conocían los cuerpos numéricos como tales. $a+b{\sqrt {d}}$ $a$ $b$ $d$

Las bases del tema se establecieron a finales del siglo XIX, cuando se introdujeron los números ideales , la teoría de los ideales y la teoría de la valoración ; estas son tres formas complementarias de abordar la falta de factorización única en los cuerpos numéricos algebraicos. (Por ejemplo, en el cuerpo generado por los racionales y , el número puede factorizarse tanto como y ; todos los , , y son irreducibles y, por lo tanto, en un sentido ingenuo, análogos a los primos entre los números enteros). El impulso inicial para el desarrollo de los números ideales (por Kummer ) parece haber venido del estudio de las leyes de reciprocidad superiores, ^[86] es decir, generalizaciones de la reciprocidad cuadrática . ${\sqrt {-5}}$ $6$ $6=2\cdot 3$ $6=(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})$ $2$ $3$ $1+{\sqrt {-5}}$ $1-{\sqrt {-5}}$

Los cuerpos numéricos se estudian a menudo como extensiones de cuerpos numéricos más pequeños: se dice que un cuerpo L es una extensión de un cuerpo K si L contiene a K . (Por ejemplo, los números complejos C son una extensión de los reales R , y los reales R son una extensión de los racionales Q .) La clasificación de las posibles extensiones de un cuerpo numérico dado es un problema difícil y parcialmente abierto. Las extensiones abelianas —es decir, extensiones L de K tales que el grupo de Galois ^{[nota 11]} Gal( L / K ) de L sobre K es un grupo abeliano — se entienden relativamente bien. Su clasificación fue el objeto del programa de teoría de cuerpos de clases , que se inició a finales del siglo XIX (en parte por Kronecker y Eisenstein ) y se llevó a cabo en gran medida entre 1900 y 1950.

Un ejemplo de un área activa de investigación en la teoría algebraica de números es la teoría de Iwasawa . El programa Langlands , uno de los principales planes de investigación a gran escala actuales en matemáticas, se describe a veces como un intento de generalizar la teoría de cuerpos de clases a extensiones no abelianas de cuerpos de números.

Geometría diofántica

El problema central de la geometría diofántica es determinar cuándo una ecuación diofántica tiene soluciones y, si las tiene, cuántas. El enfoque adoptado consiste en pensar en las soluciones de una ecuación como un objeto geométrico.

Por ejemplo, una ecuación con dos variables define una curva en el plano. En términos más generales, una ecuación o un sistema de ecuaciones con dos o más variables define una curva , una superficie o algún otro objeto similar en un espacio $n$ -dimensional. En la geometría diofántica, uno se pregunta si hay puntos racionales (puntos cuyas coordenadas son todas racionales) o puntos integrales (puntos cuyas coordenadas son todas enteras) en la curva o superficie. Si hay tales puntos, el siguiente paso es preguntar cuántos hay y cómo se distribuyen. Una pregunta básica en esta dirección es si hay un número finito o infinito de puntos racionales en una curva o superficie dada.

Un ejemplo puede ser de ayuda. Consideremos la ecuación de Pitágoras de la que nos gustaría saber sus soluciones racionales; es decir, sus soluciones tales que x e y sean ambas racionales. Esto es lo mismo que pedir todas las soluciones enteras de ; cualquier solución de la última ecuación nos da una solución , de la primera. También es lo mismo que pedir todos los puntos con coordenadas racionales en la curva descrita por (un círculo de radio 1 centrado en el origen). $x^{2}+y^{2}=1,$ $(x,y)$ $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ $x=a/c$ $y=b/c$ $x^{2}+y^{2}=1$

Dos ejemplos de curvas elípticas , es decir, curvas de género 1 que tienen al menos un punto racional. Tales curvas tienen siempre un número infinito de puntos racionales.

La reformulación de las preguntas sobre ecuaciones en términos de puntos sobre curvas es acertada. La finitud o no del número de puntos racionales o enteros sobre una curva algebraica (es decir, soluciones racionales o enteras de una ecuación , donde es un polinomio con dos variables) depende crucialmente del género de la curva. ^{[nota 12]} Un logro importante de este enfoque es la prueba de Wiles del Último Teorema de Fermat , para la cual otras nociones geométricas son igualmente cruciales. $f(x,y)=0$ $f$

También está el área estrechamente vinculada de las aproximaciones diofánticas : dado un número , determinar qué tan bien puede ser aproximado por números racionales. Uno busca aproximaciones que sean buenas en relación con la cantidad de espacio requerido para escribir el número racional: llame (con ) una buena aproximación a si , donde es grande. Esta pregunta es de especial interés si es un número algebraico. Si no se puede aproximar bien, entonces algunas ecuaciones no tienen soluciones enteras o racionales. Además, varios conceptos (especialmente el de altura ) son críticos tanto en la geometría diofántica como en el estudio de las aproximaciones diofánticas. Esta pregunta también es de especial interés en la teoría de números trascendentales : si un número puede aproximarse mejor que cualquier número algebraico, entonces es un número trascendental . Es por este argumento que se ha demostrado que π y e son trascendentales. $x$ $a/q$ $\gcd(a,q)=1$ $x$ $|x-a/q|<{\frac {1}{q^{c}}}$ $c$ $x$ $x$

La geometría diofántica no debe confundirse con la geometría de los números , que es una colección de métodos gráficos para responder a ciertas preguntas en la teoría algebraica de números. Sin embargo, la geometría aritmética es un término contemporáneo para el mismo dominio que el cubierto por el término geometría diofántica . El término geometría aritmética se usa posiblemente con más frecuencia cuando se desea enfatizar las conexiones con la geometría algebraica moderna (por ejemplo, en el teorema de Faltings ) en lugar de las técnicas en aproximaciones diofánticas.

Otros subcampos

Las áreas que se describen a continuación no datan de antes de mediados del siglo XX, incluso si se basan en material más antiguo. Por ejemplo, como se explica a continuación, los algoritmos en teoría de números tienen una larga historia, posiblemente anterior al concepto formal de prueba. Sin embargo, el estudio moderno de la computabilidad comenzó recién en las décadas de 1930 y 1940, mientras que la teoría de la complejidad computacional surgió en la década de 1970.

Teoría probabilística de números

La teoría probabilística de números comienza con preguntas como las siguientes: tomemos un número entero $n$ al azar entre uno y un millón. ¿Qué probabilidad hay de que sea primo? (esta es otra forma de preguntar cuántos primos hay entre uno y un millón). ¿Cuántos divisores primos tendrá $n$ en promedio? ¿Cuál es la probabilidad de que tenga muchos más o muchos menos divisores o divisores primos que el promedio?

Gran parte de la teoría de números probabilísticos puede considerarse un caso especial importante del estudio de variables que son casi independientes entre sí, pero no del todo . Por ejemplo, el evento de que un número entero aleatorio entre uno y un millón sea divisible por dos y el evento de que sea divisible por tres son casi independientes, pero no del todo.

A veces se dice que la combinatoria probabilística se basa en el hecho de que todo lo que ocurre con una probabilidad mayor que la de que debe ocurrir a veces; se puede decir con igual justicia que muchas aplicaciones de la teoría probabilística de números dependen del hecho de que todo lo que es inusual debe ser raro. Si se puede demostrar que ciertos objetos algebraicos (por ejemplo, soluciones racionales o enteras de ciertas ecuaciones) están en la cola de ciertas distribuciones definidas sensatamente, se sigue que debe haber pocos de ellos; esta es una afirmación no probabilística muy concreta que se deriva de una probabilística. $0$

A veces, un enfoque probabilístico no riguroso conduce a una serie de algoritmos heurísticos y problemas abiertos, en particular la conjetura de Cramér .

Combinatoria aritmética

La combinatoria aritmética comienza con preguntas como las siguientes: ¿Un conjunto infinito bastante "grueso" contiene muchos elementos en progresión aritmética: , , digamos? ¿Debería ser posible escribir números enteros grandes como sumas de elementos de ? $A$ $a$ $a+b,a+2b,a+3b,\ldots ,a+10b$ $A$

Estas cuestiones son características de la combinatoria aritmética . Se trata de un campo en plena consolidación; incluye la teoría aditiva de números (que se ocupa de ciertos conjuntos muy específicos de significado aritmético, como los primos o los cuadrados) y, posiblemente, parte de la geometría de los números , junto con algún material nuevo en rápido desarrollo. Su enfoque en cuestiones de crecimiento y distribución explica en parte sus vínculos en desarrollo con la teoría ergódica , la teoría de grupos finitos , la teoría de modelos y otros campos. También se utiliza el término combinatoria aditiva ; sin embargo, los conjuntos que se estudian no necesitan ser conjuntos de números enteros, sino más bien subconjuntos de grupos no conmutativos , para los que tradicionalmente se utiliza el símbolo de multiplicación, no el símbolo de adición; también pueden ser subconjuntos de anillos , en cuyo caso se puede comparar el crecimiento de y · . $A$ $A$ $A+A$ $A$ $A$

Teoría de números computacionales

Aunque la palabra algoritmo se remonta sólo a ciertos lectores de al-Khwārizmī , las descripciones cuidadosas de los métodos de solución son más antiguas que las pruebas: dichos métodos (es decir, algoritmos) son tan antiguos como cualquier matemática reconocible (egipcia antigua, babilónica, védica, china), mientras que las pruebas aparecieron sólo con los griegos del período clásico.

Un ejemplo temprano es el de lo que ahora se denomina algoritmo de Euclides. En su forma básica (es decir, como un algoritmo para calcular el máximo común divisor ) aparece como Proposición 2 del Libro VII de los Elementos , junto con una prueba de corrección. Sin embargo, en la forma que se utiliza a menudo en la teoría de números (es decir, como un algoritmo para encontrar soluciones enteras a una ecuación , o, lo que es lo mismo, para encontrar las cantidades cuya existencia está asegurada por el teorema chino del resto ) aparece por primera vez en las obras de Āryabhaṭa (siglos V-VI d. C.) como un algoritmo llamado kuṭṭaka ("pulverizador"), sin una prueba de corrección. $ax+by=c$

Hay dos preguntas principales: "¿Se puede calcular esto?" y "¿Se puede calcular rápidamente?" Cualquiera puede comprobar si un número es primo o, si no lo es, dividirlo en factores primos; hacerlo rápidamente es otra cuestión. Ahora se conocen algoritmos rápidos para comprobar la primalidad , pero, a pesar de mucho trabajo (tanto teórico como práctico), no existe ningún algoritmo verdaderamente rápido para factorizar.

La dificultad de un cálculo puede ser útil: los protocolos modernos para cifrar mensajes (por ejemplo, RSA ) dependen de funciones que todos conocen, pero cuyas inversas solo las conocen unos pocos elegidos, y que llevaría demasiado tiempo averiguar por uno mismo. Por ejemplo, estas funciones pueden ser tales que sus inversas solo se puedan calcular si se factorizan ciertos números enteros grandes. Si bien se conocen muchos problemas computacionales difíciles fuera de la teoría de números, la mayoría de los protocolos de cifrado que funcionan hoy en día se basan en la dificultad de unos pocos problemas de teoría de números.

Algunas cosas pueden no ser computables en absoluto; de hecho, esto se puede probar en algunos casos. Por ejemplo, en 1970, se demostró, como solución al décimo problema de Hilbert , que no existe una máquina de Turing que pueda resolver todas las ecuaciones diofánticas. ^[87] En particular, esto significa que, dado un conjunto de axiomas computablemente enumerables , hay ecuaciones diofánticas para las que no hay prueba, a partir de los axiomas, de si el conjunto de ecuaciones tiene o no soluciones enteras. (es decir, ecuaciones diofánticas para las que no hay soluciones enteras, ya que, dada una ecuación diofántica con al menos una solución, la solución en sí misma proporciona una prueba del hecho de que existe una solución. No se puede probar que una ecuación diofántica particular sea de este tipo, ya que esto implicaría que no tiene soluciones).

Aplicaciones

El teórico de números Leonard Dickson (1874-1954) dijo: "Gracias a Dios que la teoría de números no se ve contaminada por ninguna aplicación". Esta visión ya no es aplicable a la teoría de números. ^[88] En 1974, Donald Knuth dijo que "prácticamente todos los teoremas de la teoría de números elemental surgen de una manera natural y motivada en relación con el problema de hacer que las computadoras realicen cálculos numéricos de alta velocidad". ^[89] La teoría de números elemental se enseña en cursos de matemáticas discretas para científicos informáticos ; en otras palabras, la teoría de números también tiene aplicaciones en el continuo en el análisis numérico . ^[90]

La teoría de números tiene ahora varias aplicaciones modernas que abarcan diversas áreas, tales como:

Criptografía : Los esquemas de cifrado de clave pública como RSA se basan en la dificultad de factorizar números compuestos grandes en sus factores primos. ^[91]
Ciencias de la computación : El algoritmo de transformada rápida de Fourier (FFT), que se utiliza para calcular de manera eficiente la transformada de Fourier discreta, tiene aplicaciones importantes en el procesamiento de señales y el análisis de datos. ^[92]
Física : La hipótesis de Riemann tiene conexiones con la distribución de números primos y ha sido estudiada por sus posibles implicaciones en la física. ^[93]
Códigos de corrección de errores : La teoría de campos finitos y la geometría algebraica se han utilizado para construir códigos de corrección de errores eficientes. ^[94]
Comunicaciones: El diseño de redes de telefonía celular requiere el conocimiento de la teoría de formas modulares , que es parte de la teoría analítica de números. ^[95]
Estudio de las escalas musicales: el concepto de " temperamento igual ", que es la base de la mayor parte de la música occidental moderna, implica dividir la octava en 12 partes iguales. ^[96] Esto se ha estudiado utilizando la teoría de números y en particular las propiedades de la raíz 12 de 2.

Premios

La American Mathematical Society otorga el Premio Cole en Teoría de Números . Además, la teoría de números es una de las tres subdisciplinas matemáticas que reciben el Premio Fermat .

Véase también

Notas

^ Ya en 1921, TL Heath tuvo que explicar: "Por aritmética, Platón no entendía la aritmética en el sentido que tenemos hoy en día, sino la ciencia que considera los números en sí mismos, es decir, lo que entendemos por teoría de los números" (Heath 1921, p. 13).
^ Tomemos, por ejemplo, Serre 1996. En 1952, Davenport todavía tenía que especificar que se refería a The Higher Arithmetic . Hardy y Wright escribieron en la introducción a An Introduction to the Theory of Numbers (1938): "En un momento propusimos cambiar [el título] a An introduction to arithmetic , un título más novedoso y en algunos sentidos más apropiado; pero se señaló que esto podría llevar a malentendidos sobre el contenido del libro". (Hardy & Wright 2008)
^ Robson 2001, p. 201. Esto es controvertido. Véase Plimpton 322. El artículo de Robson está escrito de manera polémica (Robson 2001, p. 202) con la intención de "quizás [...] derribar a [Plimpton 322] de su pedestal" (Robson 2001, p. 167); al mismo tiempo, llega a la conclusión de que
[...] la pregunta "¿cómo se calculó la tablilla?" no tiene por qué tener la misma respuesta que la pregunta "¿qué problemas plantea la tablilla?" La primera puede responderse más satisfactoriamente mediante pares recíprocos, como se sugirió por primera vez hace medio siglo, y la segunda mediante algún tipo de problemas de triángulos rectángulos (Robson 2001, p. 202).
Robson cuestiona la idea de que el escriba que produjo Plimpton 322 (que tuvo que "trabajar para vivir" y no habría pertenecido a una "clase media ociosa") podría haber estado motivado por su propia "curiosidad ociosa" en ausencia de un "mercado para las nuevas matemáticas". (Robson 2001, pp. 199-200)
^ Sunzi Suanjing , cap. 3, Problema 26, en Lam y Ang 2004, págs. 219-220:
[26] Ahora hay un número desconocido de cosas. Si contamos de tres en tres, queda un resto de 2; si contamos de cinco en cinco, queda un resto de 3; si contamos de siete en siete, queda un resto de 2. Halla el número de cosas. Respuesta : 23.
Método : Si contamos de tres en tres y queda un resto de 2, se escribe 140. Si contamos de cinco en cinco y queda un resto de 3, se escribe 63. Si contamos de siete en siete y queda un resto de 2, se escribe 30. Se suman para obtener 233 y se resta 210 para obtener el resultado. Si contamos de tres en tres y queda un resto de 1, se escribe 70. Si contamos de cinco en cinco y queda un resto de 1, se escribe 21. Si contamos de siete en siete y queda un resto de 1, se escribe 15. Cuando [un número] es mayor que 106, el resultado se obtiene restando 105.
^ Véase, por ejemplo, Sunzi Suanjing , cap. 3, problema 36, en Lam & Ang 2004, págs. 223-224:
[36] Ahora hay una mujer embarazada cuya edad es 29. Si el período de gestación es de 9 meses, determine el sexo del feto. Respuesta : Masculino.
Método : Se escribe 49, se suma el período de gestación y se resta la edad. Del resto se quita 1 que representa el cielo, 2 la tierra, 3 el hombre, 4 las cuatro estaciones, 5 las cinco fases, 6 los seis diapasones, 7 las siete estrellas [de la Osa Mayor], 8 los ocho vientos y 9 las nueve divisiones [de China bajo el reinado de Yu el Grande]. Si el resto es impar, [el sexo] es masculino y si el resto es par, [el sexo] es femenino.
Éste es el último problema del tratado, por lo demás realista, de Sunzi.
^ Los números perfectos y, sobre todo, los números amistosos tienen poco o ningún interés en la actualidad. No ocurrió lo mismo en la época medieval, ya sea en Occidente o en el mundo de habla árabe, debido en parte a la importancia que les dio el neopitagórico (y, por lo tanto, místico) Nicómaco (hacia el año 100 d. C.), que escribió una primitiva pero influyente " Introducción a la aritmética ". Véase van der Waerden 1961, cap. IV.
^ Aquí, como es habitual, dados dos enteros a y b y un entero distinto de cero m , escribimos (léase " a es congruente con b módulo m ") para significar que m divide a − b , o, lo que es lo mismo, a y b dejan el mismo residuo cuando se dividen por m . Esta notación es en realidad mucho posterior a la de Fermat; aparece por primera vez en la sección 1 de las Disquisitiones Arithmeticae de Gauss . El pequeño teorema de Fermat es una consecuencia del hecho de que el orden de un elemento de un grupo divide el orden del grupo. La prueba moderna habría estado dentro de los medios de Fermat (y de hecho fue dada más tarde por Euler), aunque el concepto moderno de grupo llegó mucho después de Fermat o Euler. (Ayuda saber que existen inversas módulo p , es decir, dado un no divisible por un primo p , hay un entero x tal que ); Este hecho (que, en lenguaje moderno, convierte los residuos módulo p en un grupo, y que ya era conocido por Āryabhaṭa; ver arriba) era familiar para Fermat gracias a su redescubrimiento por Bachet (Weil 1984, p. 7). Weil continúa diciendo que Fermat habría reconocido que el argumento de Bachet es esencialmente el algoritmo de Euclides. $a\equiv b{\bmod {m}}$ $xa\equiv 1{\bmod {p}}$
^ Hasta la segunda mitad del siglo XVII, los puestos académicos eran muy raros y la mayoría de los matemáticos y científicos se ganaban la vida de alguna otra manera (Weil 1984, pp. 159, 161). (Ya había algunas características reconocibles de la práctica profesional , a saber, buscar corresponsales, visitar colegas extranjeros, construir bibliotecas privadas (Weil 1984, pp. 160-161). Las cosas comenzaron a cambiar a fines del siglo XVII (Weil 1984, p. 161); se fundaron academias científicas en Inglaterra (la Royal Society , 1662), Francia (la Académie des sciences , 1666) y Rusia (1724). A Euler se le ofreció un puesto en esta última en 1726; aceptó y llegó a San Petersburgo en 1727 (Weil 1984, p. 163 y Varadarajan 2006, p. 7). En este contexto, el término aficionado que generalmente se aplica a Goldbach está bien definido y tiene cierto sentido: se lo ha descrito como un hombre de letras que se ganaba la vida como espía (Truesdell 1984, p. xv); citado en Varadarajan 2006, p. 9). Nótese, sin embargo, que Goldbach publicó algunos trabajos sobre matemáticas y a veces ocupó cargos académicos.
^ La teoría de tamices figura como una de las principales subáreas de la teoría analítica de números en muchos tratamientos estándar; véase, por ejemplo, Iwaniec y Kowalski 2004 o Montgomery y Vaughan 2007
^ Este es el caso de los tamices pequeños (en particular, algunos tamices combinatorios como el tamiz de Brun ) más que de los tamices grandes ; el estudio de estos últimos ahora incluye ideas del análisis armónico y funcional .
^ El grupo de Galois de una extensión L/K consiste en las operaciones ( isomorfismos ) que envían elementos de L a otros elementos de L mientras dejan todos los elementos de K fijos. Así, por ejemplo, Gal(C/R) consiste en dos elementos: el elemento identidad (que toma cada elemento x + iy de C en sí mismo) y la conjugación compleja (la función que toma cada elemento x + iy en x − iy ). El grupo de Galois de una extensión nos dice muchas de sus propiedades cruciales. El estudio de los grupos de Galois comenzó con Évariste Galois ; en lenguaje moderno, el principal resultado de su trabajo es que una ecuación f ( x ) = 0 puede resolverse por radicales (es decir, x puede expresarse en términos de las cuatro operaciones básicas junto con raíces cuadradas, raíces cúbicas, etc.) si y solo si la extensión de los racionales por las raíces de la ecuación f ( x ) = 0 tiene un grupo de Galois que es resoluble en el sentido de la teoría de grupos. ("Resoluble", en el sentido de la teoría de grupos, es una propiedad simple que puede comprobarse fácilmente para grupos finitos.)
^ El género se puede definir de la siguiente manera: permite que las variables en sean números complejos; luego define una superficie bidimensional en un espacio (proyectivo) de 4 dimensiones (ya que dos variables complejas se pueden descomponer en cuatro variables reales; es decir, cuatro dimensiones). El número de agujeros con forma de rosquilla en la superficie se denomina género de la curva de ecuación . $f(x,y)=0$ $f(x,y)=0$ $f(x,y)=0$

Referencias

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^ Robson 2001, p. 189. Otras fuentes dan la fórmula moderna . Van der Waerden da tanto la fórmula moderna como lo que equivale a la forma preferida por Robson. (van der Waerden 1961, p. 79) $(p^{2}-q^{2},2pq,p^{2}+q^{2})$
^ van der Waerden 1961, pág. 184.
^ Neugebauer (Neugebauer 1969, págs. 36-40) analiza la tabla en detalle y menciona de pasada el método de Euclides en notación moderna (Neugebauer 1969, p. 39).
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↑ Jámblico , Vida de Pitágoras , (trad., por ejemplo, Guthrie 1987) citado en van der Waerden 1961, pág. 108. Véase también Porfirio , Vida de Pitágoras , párrafo 6, en Guthrie 1987 Van der Waerden (van der Waerden 1961, pp. 87-90) sostiene la opinión de que Tales conocía las matemáticas babilónicas.
↑ Heródoto (II. 81) e Isócrates ( Busiris 28), citados en: Huffman 2011. Sobre Tales, véase Eudemo ap. Proclo, 65.7, (por ejemplo, Morrow 1992, p. 52) citado en: O'Grady 2004, p. 1. Proclo estaba utilizando una obra de Eudemo de Rodas (ahora perdida), el Catálogo de geómetras . Véase también la introducción, Morrow 1992, p. xxx sobre la fiabilidad de Proclo.
^ Becker 1936, pag. 533, citado en: van der Waerden 1961, p. 108.
^ Becker 1936.
^ van der Waerden 1961, pág. 109.
↑ Platón, Teeteto , pág. 147 B, (por ejemplo, Jowett 1871), citado en von Fritz 2004, pág. 212: "Teodoro estaba escribiendo para nosotros algo sobre las raíces, como las raíces de tres o cinco, mostrando que son inconmensurables por la unidad;..." Véase también Espiral de Teodoro .
^ por Fritz 2004.
^ Heath 1921, pág. 76.
^ Sunzi Suanjing , Capítulo 3, Problema 26. Puede encontrarse en Lam & Ang 2004, pp. 219-220, que contiene una traducción completa del Suan Ching (basada en Qian 1963). Véase también el análisis en Lam & Ang 2004, pp. 138-140.
^ La fecha del texto se ha acotado a 220-420 d. C. (Yan Dunjie) o 280-473 d. C. (Wang Ling) a través de evidencia interna (= sistemas tributarios asumidos en el texto). Véase Lam y Ang 2004, págs. 27-28.
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^ Cualquier contacto temprano entre las matemáticas babilónicas y las indias sigue siendo conjetural (Plofker 2008, p. 42).
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↑ Āryabhaṭa, Āryabhatīya, Capítulo 2, versos 32-33, citado en: Plofker 2008, pp. 134-140. Véase también Clark 1930, pp. 42-50. Una descripción ligeramente más explícita del kuṭṭaka fue dada posteriormente en Brahmagupta , Brāhmasphuṭasiddhānta , XVIII, 3-5 (en Colebrooke 1817, p. 325, citado en Clark 1930, p. 42).
^ Mumford 2010, pág. 388.
^ Plofker 2008, pág. 194.
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^ Colebrooke 1817.
^ Colebrooke 1817, p. lxv, citado en Hopkins 1990, p. 302. Véase también el prefacio en Sachau & Bīrūni 1888 citado en Smith 1958, págs. 168
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^ Rashed 1980, págs. 305–321.
^ Bachet , 1621, siguiendo un primer intento de Xylander , 1575
^ Weil 1984, págs. 45-46.
^ Weil 1984, p. 118. Esto era más cierto en la teoría de números que en otras áreas (observación en Mahoney 1994, p. 284). Las propias demostraciones de Bachet eran "ridículamente torpes" (Weil 1984, p. 33).
^ Mahoney 1994, pp. 48, 53–54. Los temas iniciales de la correspondencia de Fermat incluían divisores ("partes alícuotas") y muchos temas ajenos a la teoría de números; véase la lista en la carta de Fermat a Roberval, 22.IX.1636, Tannery & Henry 1891, Vol. II, pp. 72, 74, citada en Mahoney 1994, p. 54.
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^ Weil 1984, p. 174. Euler era generoso al dar crédito a otros (Varadarajan 2006, p. 14), no siempre correctamente.
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^ Del prefacio de Disquisitiones Arithmeticae ; la traducción está tomada de Goldstein & Schappacher 2007, p. 16
^ Véase la discusión en la sección 5 de Goldstein & Schappacher 2007. Los primeros signos de autoconciencia ya están presentes en las cartas de Fermat: así, sus comentarios sobre qué es la teoría de números y cómo "el trabajo de Diofanto [...] no pertenece realmente a [ella]" (citado en Weil 1984, p. 25).
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^ Davenport y Montgomery 2000, pág. 1.
^ Véase la prueba en Davenport y Montgomery 2000, sección 1
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^ Granville 2008, págs. 322–348.
^ Véase el comentario sobre la importancia de la modularidad en Iwaniec & Kowalski 2004, p. 1
^ Goldfeld 2003.
^ Véase, por ejemplo, el comentario inicial en Iwaniec & Kowalski 2004, p. 1.
^ Granville 2008, sección 1: "La principal diferencia es que en la teoría de números algebraicos [...] uno típicamente considera preguntas con respuestas que se dan mediante fórmulas exactas, mientras que en la teoría de números analítica [...] uno busca buenas aproximaciones ".
^ Véanse las observaciones en la introducción de Iwaniec & Kowalski 2004, pág. 1: "Por mucho más fuerte...".
^ Granville 2008, sección 3: "[Riemann] definió lo que ahora llamamos la función zeta de Riemann [...] El trabajo profundo de Riemann dio origen a nuestro tema [...]"
^ Véase, por ejemplo, Montgomery y Vaughan 2007, pág. 1.
^ Milne 2017, pág. 2.
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