Teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange

Todo número natural se puede representar como la suma de cuatro cuadrados enteros.

A diferencia de tres dimensiones en las que las distancias entre los vértices de un policubo con aristas unitarias excluyen √7 debido al teorema de los tres cuadrados de Legendre , el teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange establece que el análogo en cuatro dimensiones produce raíces cuadradas de cada número natural.

El teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange , también conocido como conjetura de Bachet , establece que todo número natural puede representarse como una suma de cuatro cuadrados enteros no negativos . ^[1] Es decir, los cuadrados forman una base aditiva de orden cuatro.

$${\displaystyle p=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}$$

${\displaystyle a,b,c,d}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}3&=1^{2}+1^{2}+1^{2}+0^{2}\\[3pt]31&=5^{2}+2^{2}+1^{2}+1^{2}\\[3pt]310&=17^{2}+4^{2}+2^{2}+1^{2}\\[3pt]&=16^{2}+7^{2}+2^{2}+1^{2}\\[3pt]&=15^{2}+9^{2}+2^{2}+0^{2}\\[3pt]&=12^{2}+11^{2}+6^{2}+3^{2}.\end{aligned}}}$$

Este teorema fue demostrado por Joseph Louis Lagrange en 1770. Es un caso especial del teorema de los números poligonales de Fermat .

Desarrollo historico

A partir de los ejemplos dados en Arithmetica , queda claro que Diofanto conocía el teorema. Este libro fue traducido en 1621 al latín por Bachet (Claude Gaspard Bachet de Méziriac) , quien enunció el teorema en las notas de su traducción. Pero el teorema no fue demostrado hasta 1770 por Lagrange. ^[2]

Adrien-Marie Legendre amplió el teorema en 1797-8 con su teorema de los tres cuadrados , demostrando que un número entero positivo puede expresarse como la suma de tres cuadrados si y sólo si no tiene la forma de los números enteros k y m . Más tarde, en 1834, Carl Gustav Jakob Jacobi descubrió una fórmula sencilla para el número de representaciones de un número entero como la suma de cuatro cuadrados con su propio teorema de los cuatro cuadrados . ${\displaystyle 4^{k}(8m+7)}$

La fórmula también está vinculada al teorema de Descartes de los cuatro "círculos que se besan", que implica la suma de los cuadrados de las curvaturas de cuatro círculos. Esto también está relacionado con las juntas apolíneas , que más recientemente se relacionaron con la conjetura de Ramanujan-Petersson . ^[3]

Pruebas

La prueba clásica

Existen varias versiones modernas muy similares ^{[4] [5] [6] de la prueba de Lagrange.} La siguiente prueba es una versión ligeramente simplificada, en la que los casos en los que m es par o impar no requieren argumentos separados.

La prueba clásica

Es suficiente demostrar el teorema para todo número primo impar p . Esto se sigue inmediatamente de la identidad de los cuatro cuadrados de Euler (y del hecho de que el teorema es verdadero para los números 1 y 2).

Los residuos de un módulo p ^{de 2} son distintos para cada a entre 0 y ( p − 1)/2 (inclusive). Para ver esto, tome algo de a y defina c como ² mod p .a es una raíz del polinomio x ² − c sobre el campo Z/ p Z . También lo es p − a (que es diferente de a ). En un campo K , cualquier polinomio de grado n tiene como máximo n raíces distintas ( teorema de Lagrange (teoría de números) ), por lo que no hay otros a con esta propiedad, en particular no entre 0 a ( p − 1)/2 .

De manera similar, para b tomando valores integrales entre 0 y ( p − 1)/2 (inclusive), − b ² − 1 son distintos. Según el principio del casillero , hay a y b en este rango, para los cuales a ² y − b ² − 1 son congruentes módulo p , es decir, para los cuales

$${\displaystyle a^{2}+b^{2}+1^{2}+0^{2}=np.}$$

Ahora sea m el entero positivo más pequeño tal que mp es la suma de cuatro cuadrados, x ₁ ² + x ₂ ² + x ₃ ² + x ₄ ² (acabamos de demostrar que hay algo de m (es decir, n ) con esta propiedad , por lo que hay al menos un m y es menor que p ). Demostramos por contradicción que m es igual a 1: suponiendo que no sea así, demostramos la existencia de un número entero positivo r menor que m , para el cual rp es también la suma de cuatro cuadrados (esto en el espíritu del descenso infinito ^{[ 7]} método de Fermat).

Para ello, consideramos para cada x _i el y _i que está en la misma clase de residuo módulo m y entre (– m + 1)/2 y m /2 (posiblemente incluido). De ello se deduce que y ₁ ² + y ₂ ² + y ₃ ² + y ₄ ² = mr , para algún entero estrictamente positivo r menor que  m .

Finalmente, otra apelación a la identidad de los cuatro cuadrados de Euler muestra que mpmr = z ₁ ² + z ₂ ² + z ₃ ² + z ₄ ² . Pero el hecho de que cada x _i sea congruente con su correspondiente y _i implica que todos los z _i son divisibles por m . En efecto,

$${\displaystyle {\begin{cases}z_{1}&=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}+x_{4}y_{4}&\equiv x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}&=mp\equiv 0&{\pmod {m}},\\z_{2}&=x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}+x_{3}y_{4}-x_{4}y_{3}&\equiv x_{1}x_{2}-x_{2}x_{1}+x_{3}x_{4}-x_{4}x_{3}&=0&{\pmod {m}},\\z_{3}&=x_{1}y_{3}-x_{2}y_{4}-x_{3}y_{1}+x_{4}y_{2}&\equiv x_{1}x_{3}-x_{2}x_{4}-x_{3}x_{1}+x_{4}x_{2}&=0&{\pmod {m}},\\z_{4}&=x_{1}y_{4}+x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}-x_{4}y_{1}&\equiv x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}-x_{3}x_{2}-x_{4}x_{1}&=0&{\pmod {m}}.\end{cases}}}$$

De ello se deduce que, para w _i = z _i / m , w ₁ ² + w ₂ ² + w ₃ ² + w ₄ ² = rp , y esto está en contradicción con la minimalidad de  m .

En el descenso anterior, debemos descartar tanto el caso y ₁ = y ₂ = y ₃ = y ₄ = m /2 (lo que daría r = m y ningún descenso), como también el caso y ₁ = y ₂ = y ₃ = y ₄ = 0 (lo que daría r = 0 en lugar de estrictamente positivo). Para ambos casos, se puede comprobar que mp = x ₁ ² + x ₂ ² + x ₃ ² + x ₄ ² sería un múltiplo de m ² , lo que contradice el hecho de que p es un primo mayor que m .

Prueba utilizando los números enteros de Hurwitz

Otra forma de demostrar el teorema se basa en los cuaterniones de Hurwitz , que son análogos de los números enteros para los cuaterniones . ^[8]

Prueba utilizando los números enteros de Hurwitz

Los cuaterniones de Hurwitz constan de todos los cuaterniones con componentes enteros y todos los cuaterniones con componentes semienteros . Estos dos conjuntos se pueden combinar en una sola fórmula.

$${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{2}}E_{0}(1+\mathbf {i} +\mathbf {j} +\mathbf {k} )+E_{1}\mathbf {i} +E_{2}\mathbf {j} +E_{3}\mathbf {k} =a_{0}+a_{1}\mathbf {i} +a_{2}\mathbf {j} +a_{3}\mathbf {k} }$$

¿ Dónde están los números enteros? Por lo tanto, los componentes del cuaternión son todos números enteros o semienteros, dependiendo de si son pares o impares, respectivamente. El conjunto de cuaterniones de Hurwitz forma un anillo ; es decir, la suma o producto de dos cuaterniones de Hurwitz cualesquiera es también un cuaternión de Hurwitz. ${\displaystyle E_{0},E_{1},E_{2},E_{3}}$ ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},a_{3}}$ ${\displaystyle E_{0}}$

La norma (aritmética o de campo) de un cuaternión racional es el número racional no negativo ${\displaystyle \mathrm {N} (\alpha )}$ ${\displaystyle \alpha }$

$${\displaystyle \mathrm {N} (\alpha )=\alpha {\bar {\alpha }}=a_{0}^{2}+a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}$$

donde está el conjugado de . Tenga en cuenta que la norma de un cuaternión de Hurwitz es siempre un número entero. (Si los coeficientes son semienteros, entonces sus cuadrados tienen la forma y la suma de cuatro de esos números es un número entero). ${\displaystyle {\bar {\alpha }}=a_{0}-a_{1}\mathbf {i} -a_{2}\mathbf {j} -a_{3}\mathbf {k} }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}+n:n\in \mathbb {Z} }$

Dado que la multiplicación de cuaterniones es asociativa y los números reales conmutan con otros cuaterniones, la norma de un producto de cuaterniones es igual al producto de las normas:

$${\displaystyle \mathrm {N} (\alpha \beta )=\alpha \beta ({\overline {\alpha \beta }})=\alpha \beta {\bar {\beta }}{\bar {\alpha }}=\alpha \mathrm {N} (\beta ){\bar {\alpha }}=\alpha {\bar {\alpha }}\mathrm {N} (\beta )=\mathrm {N} (\alpha )\mathrm {N} (\beta ).}$$

Para cualquier , . Se deduce fácilmente que es una unidad en el anillo de los cuaterniones de Hurwitz si y sólo si . ${\displaystyle \alpha \neq 0}$ ${\displaystyle \alpha ^{-1}={\bar {\alpha }}\mathrm {N} (\alpha )^{-1}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \mathrm {N} (\alpha )=1}$

La demostración del teorema principal comienza por la reducción al caso de los números primos. La identidad de los cuatro cuadrados de Euler implica que si el teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange se cumple para dos números, también se cumple para el producto de los dos números. Dado que cualquier número natural se puede descomponer en potencias de números primos, basta con demostrar el teorema de los números primos. Es cierto para . Para mostrar esto para un entero primo impar p , represéntelo como un cuaternión y suponga por ahora (como mostraremos más adelante) que no es un irreducible de Hurwitz ; es decir, se puede factorizar en dos cuaterniones de Hurwitz no unitarios ${\displaystyle 2=1^{2}+1^{2}+0^{2}+0^{2}}$ ${\displaystyle (p,0,0,0)}$

$${\displaystyle p=\alpha \beta .}$$

Las normas de son números enteros tales que ${\displaystyle p,\alpha ,\beta }$

$${\displaystyle \mathrm {N} (p)=p^{2}=\mathrm {N} (\alpha \beta )=\mathrm {N} (\alpha )\mathrm {N} (\beta )}$$

y . Esto muestra que ambos y son iguales a p (ya que son números enteros), y p es la suma de cuatro cuadrados ${\displaystyle \mathrm {N} (\alpha ),\mathrm {N} (\beta )>1}$ ${\displaystyle \mathrm {N} (\alpha )}$ ${\displaystyle \mathrm {N} (\beta )}$

$${\displaystyle p=\mathrm {N} (\alpha )=a_{0}^{2}+a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}.}$$

Si sucede que el elegido tiene coeficientes semienteros, se puede sustituir por otro cuaternión de Hurwitz. Elija de tal manera que tenga coeficientes enteros pares. Entonces ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \omega =(\pm 1\pm \mathbf {i} \pm \mathbf {j} \pm \mathbf {k} )/2}$ ${\displaystyle \gamma \equiv \omega +\alpha }$

$${\displaystyle p=({\bar {\gamma }}-{\bar {\omega }})\omega {\bar {\omega }}(\gamma -\omega )=({\bar {\gamma }}\omega -1)({\bar {\omega }}\gamma -1).}$$

Dado que tiene coeficientes enteros pares, tendrá coeficientes enteros y se puede usar en lugar del original para dar una representación de p como la suma de cuatro cuadrados. ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle ({\bar {\omega }}\gamma -1)}$ ${\displaystyle \alpha }$

En cuanto a demostrar que p no es un irreducible de Hurwitz, Lagrange demostró que cualquier primo impar p divide al menos un número de la forma , donde l y m son números enteros. ^[8] Esto se puede ver de la siguiente manera: dado que p es primo, puede ser válido para números enteros , solo cuando . Por tanto, el conjunto de cuadrados contiene distintos residuos módulo p . Asimismo, contiene residuos. Como sólo hay p residuos en total, y , los conjuntos X e Y deben intersecarse. ${\displaystyle u=1+l^{2}+m^{2}}$ ${\displaystyle a^{2}\equiv b^{2}{\pmod {p}}}$ ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle a\equiv \pm b{\pmod {p}}}$ ${\displaystyle X=\{0^{2},1^{2},\dots ,((p-1)/2)^{2}\}}$ ${\displaystyle (p+1)/2}$ ${\displaystyle Y=\{-(1+x):x\in X\}}$ ${\displaystyle (p+1)/2}$ ${\displaystyle |X|+|Y|=p+1>p}$

El número u se puede factorizar en cuaterniones de Hurwitz:

$${\displaystyle 1+l^{2}+m^{2}=(1+l\;\mathbf {i} +m\;\mathbf {j} )(1-l\;\mathbf {i} -m\;\mathbf {j} ).}$$

La norma sobre los cuaterniones de Hurwitz satisface una forma de la propiedad euclidiana : para cualquier cuaternión con coeficientes racionales podemos elegir un cuaternión de Hurwitz de modo que eligiendo primero de modo que y luego de modo que para . Entonces obtenemos ${\displaystyle \alpha =a_{0}+a_{1}\mathbf {i} +a_{2}\mathbf {j} +a_{3}\mathbf {k} }$ ${\displaystyle \beta =b_{0}+b_{1}\mathbf {i} +b_{2}\mathbf {j} +b_{3}\mathbf {k} }$ ${\displaystyle \mathrm {N} (\alpha -\beta )<1}$ ${\displaystyle b_{0}}$ ${\displaystyle |a_{0}-b_{0}|\leq 1/4}$ ${\displaystyle b_{1},b_{2},b_{3}}$ ${\displaystyle |a_{i}-b_{i}|\leq 1/2}$ ${\displaystyle i=1,2,3}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {N} (\alpha -\beta )&=(a_{0}-b_{0})^{2}+(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}+(a_{3}-b_{3})^{2}\\&\leq \left({\frac {1}{4}}\right)^{2}+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}={\frac {13}{16}}<1.\end{aligned}}}$$

De ello se deduce que para cualquier cuaternión de Hurwitz con , existe un cuaternión de Hurwitz tal que ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ ${\displaystyle \alpha \neq 0}$ ${\displaystyle \gamma }$

$${\displaystyle \mathrm {N} (\beta -\alpha \gamma )<\mathrm {N} (\alpha ).}$$

El anillo H de los cuaterniones de Hurwitz no es conmutativo, por lo que no es un dominio euclidiano real y no tiene factorización única en el sentido habitual. Sin embargo, la propiedad anterior implica que todo derecho ideal es principal . Por tanto, existe un cuaternión de Hurwitz tal que ${\displaystyle \alpha }$

$${\displaystyle \alpha H=pH+(1-l\;\mathbf {i} -m\;\mathbf {j} )H.}$$

En particular, para algunos cuaterniones de Hurwitz . Si fuera una unidad, sería un múltiplo de p , sin embargo esto es imposible ya que no lo es un cuaternión de Hurwitz . De manera similar, si fuera una unidad, tendríamos ${\displaystyle p=\alpha \beta }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle 1-l\;\mathbf {i} -m\;\mathbf {j} }$ ${\displaystyle 1/p-l/p\;\mathbf {i} -m/p\;\mathbf {j} }$ ${\displaystyle p>2}$ ${\displaystyle \alpha }$

$${\displaystyle (1+l\;\mathbf {i} +m\;\mathbf {j} )H=(1+l\;\mathbf {i} +m\;\mathbf {j} )pH+(1+l\;\mathbf {i} +m\;\mathbf {j} )(1-l\;\mathbf {i} -m\;\mathbf {j} )H\subseteq pH}$$

entonces p divide , lo que nuevamente contradice el hecho de que no es un cuaternión de Hurwitz. Por tanto, p no es irreducible para Hurwitz, como se afirma. ${\displaystyle 1+l\;\mathbf {i} +m\;\mathbf {j} }$ ${\displaystyle 1/p-l/p\;\mathbf {i} -m/p\;\mathbf {j} }$

Generalizaciones

El teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange es un caso especial del teorema del número poligonal de Fermat y del problema de Waring . Otra posible generalización es el siguiente problema: Dados números naturales , ¿podemos resolver? ${\displaystyle a,b,c,d}$

$${\displaystyle n=ax_{1}^{2}+bx_{2}^{2}+cx_{3}^{2}+dx_{4}^{2}}$$

para todos los enteros positivos n en números enteros ? El caso se responde positivamente mediante el teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange. La solución general la dio Ramanujan . ^[9] Demostró que si asumimos, sin pérdida de generalidad, que entonces hay exactamente 54 opciones posibles para tal que el problema se pueda resolver en números enteros para todo n . (Ramanujan enumeró una posibilidad número 55 , pero en este caso el problema no tiene solución si . ^[10] ) ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}}$ ${\displaystyle a=b=c=d=1}$ ${\displaystyle a\leq b\leq c\leq d}$ ${\displaystyle a,b,c,d}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}}$ ${\displaystyle a=1,b=2,c=5,d=5}$ ${\displaystyle n=15}$

Algoritmos

En 1986, Michael O. Rabin y Jeffrey Shallit ^[11] propusieron algoritmos aleatorios de tiempo polinomial para calcular una representación única para un entero n dado , en el tiempo de ejecución esperado . Paul Pollack y Enrique Treviño lo mejoraron aún más en 2018. ^[12] ${\displaystyle n=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}}$ ${\displaystyle \mathrm {O} (\log(n)^{2})}$ ${\displaystyle \mathrm {O} (\log(n)^{2}\log(\log(n))^{-1})}$

Número de representaciones

El número de representaciones de un número natural n como suma de cuatro cuadrados de números enteros se denota por r ₄ ( n ). El teorema de los cuatro cuadrados de Jacobi establece que esto es ocho veces la suma de los divisores de n si n es impar y 24 veces la suma de los divisores impares de n si n es par (ver función divisora ), es decir

$${\displaystyle r_{4}(n)={\begin{cases}8\sum \limits _{m\mid n}m&{\text{if }}n{\text{ is odd}}\\[12pt]24\sum \limits _{\begin{smallmatrix}m|n\\m{\text{ odd}}\end{smallmatrix}}m&{\text{if }}n{\text{ is even}}.\end{cases}}}$$

De manera equivalente, es ocho veces la suma de todos sus divisores que no son divisibles por 4, es decir

$${\displaystyle r_{4}(n)=8\sum _{m\,:\,4\nmid m\mid n}m.}$$

También podemos escribir esto como

$${\displaystyle r_{4}(n)=8\sigma (n)-32\sigma (n/4)\ ,}$$

nnúmero primo pr ₄ ( p ) = 8( p + 1)^[13]

Algunos valores de r ₄ ( n ) ocurren infinitamente a menudo como r ₄ ( n ) = r ₄ (2 ^m n ) siempre que n sea par. Los valores de r ₄ ( n )/ n pueden ser arbitrariamente grandes: de hecho, r ₄ ( n )/ n es infinitamente mayor que 8 √ log n . ^[13]

Unicidad

La secuencia de números enteros positivos que tienen una sola representación como suma de cuatro cuadrados de números enteros no negativos (hasta el orden) es:

1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 11, 14, 15, 23, 24, 32, 56, 96, 128, 224, 384, 512, 896... (secuencia A006431 en la OEIS ).

Estos números enteros constan de los siete números impares 1, 3, 5, 7, 11, 15, 23 y todos los números de la forma o . ${\displaystyle 2(4^{k}),6(4^{k})}$ ${\displaystyle 14(4^{k})}$

La secuencia de números enteros positivos que no se puede representar como una suma de cuatro cuadrados distintos de cero es:

1, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 11, 14, 17, 24, 29, 32, 41, 56, 96, 128, 224, 384, 512, 896... (secuencia A000534 en el OEIS ).

Estos números enteros constan de los ocho números impares 1, 3, 5, 9, 11, 17, 29, 41 y todos los números de la forma o . ${\displaystyle 2(4^{k}),6(4^{k})}$ ${\displaystyle 14(4^{k})}$

Más mejoras

El teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange se puede refinar de varias maneras. Por ejemplo, Zhi-Wei Sun ^[14] demostró que cada número natural se puede escribir como una suma de cuatro cuadrados con algunos requisitos en la elección de estos cuatro números.

También cabe preguntarse si es necesario utilizar todo el conjunto de números enteros cuadrados para escribir cada natural como la suma de cuatro cuadrados. Eduard Wirsing demostró que existe un conjunto de cuadrados S tales que cada entero positivo menor o igual que n puede escribirse como una suma de como máximo 4 elementos de S. ^[15] ${\displaystyle |S|=O(n^{1/4}\log ^{1/4}n)}$

Ver también

• Teorema de Fermat sobre sumas de dos cuadrados
• Teorema del número poligonal de Fermat
• El problema de Waring
• Teorema de los tres cuadrados de Legendre
• Teorema de la suma de dos cuadrados
• Función de suma de cuadrados
• 15 y 290 teoremas

Notas

1. Andrews, George E. (1994), Teoría de números , Publicaciones de Dover, p. 144, ISBN 0-486-68252-8
2. Irlanda y Rosen 1990.
3. Sarnak 2013.
4. Landau 1958, Teoremas 166 a 169.
5. Hardy y Wright 2008, teorema 369.
6. Niven y Zuckerman 1960, párrafo 5.7.
7. Aquí el argumento es una prueba directa por contradicción . Con el supuesto inicial de que m > 2, m < p , es un número entero tal que mp es la suma de cuatro cuadrados (no necesariamente el más pequeño), el argumento podría modificarse para convertirse en un argumento de descenso infinito en el espíritu de Fermat.
8. Stillwell 2003, págs. 138-157.
9. Ramanujan 1917.
10. Oh, 2000.
11. Rabin y Shallit 1986.
12. Abadejo y Treviño 2018.
13. Williams 2011, pág. 119.
14. Sol de 2017.
15. Spencer 1996.

Referencias

• Hardy, GH ; Wright, EM (2008) [1938]. Heath-Brown, DR ; Silverman, JH ; Wiles, Andrés (eds.). Introducción a la teoría de los números (6ª ed.). Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 978-0-19-921985-8.
• Irlanda, Kenneth; Rosen, Michael (1990). Una introducción clásica a la teoría de números moderna (2ª ed.). Saltador. doi :10.1007/978-1-4757-2103-4. ISBN 978-1-4419-3094-1.
• Landau, Edmund (1958) [1927]. Teoría de números elemental. vol. 125. Traducido por Goodman, Jacob E. (2ª ed.). Publicación AMS Chelsea.
• Niven, Iván; Zuckerman, Herbert S. (1960). Una introducción a la teoría de los números . Wiley .
• Oh, Byeong-Kweon (2000). "Representaciones de formas binarias mediante formas cuadráticas quinarias" (PDF) . Tendencias en Matemáticas . 3 (1): 102–107.
• Rabin, MO ; Shallit, JO (1986). "Algoritmos aleatorios en teoría de números". Comunicaciones sobre Matemática Pura y Aplicada . 39 (S1): S239-S256. doi :10.1002/cpa.3160390713.
• Ramanujan, S. (1917). "Sobre la expresión de un número en la forma ax ² + by ² + cz ² + dw ² ". Proc. Camb. Fil. Soc . 19 : 11-21.
• Sarnak, Peter (2013). "La conjetura de Ramanujan y algunas ecuaciones diofánticas". YouTube (Conferencia en el Instituto Tata de Investigación Fundamental). Ciclo de conferencias sobre TIC. Bangalore, India.
• Stillwell, John (2003). Elementos de la teoría de números . Textos de Pregrado en Matemáticas. Saltador. doi :10.1007/978-0-387-21735-2. ISBN 978-0-387-95587-2. Zbl  1112.11002.
• Sol, Z.-W. (2017). "Refinando el teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange". J. Teoría de números . 175 : 167-190. arXiv : 1604.06723 . doi :10.1016/j.jnt.2016.11.008. S2CID  119597024.
• Williams, Kenneth S. (2011). Teoría de números en el espíritu de Liouville . Textos estudiantiles de la Sociedad Matemática de Londres. vol. 76. Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-17562-3. Zbl  1227.11002.
• Spencer, Joel (1996). "Cuatro cuadrados con pocos cuadrados". Teoría de números: Seminario de Nueva York 1991-1995 . Springer Estados Unidos. págs. 295–297. doi :10.1007/978-1-4612-2418-1_22. ISBN 9780387948263.
• Pollack, P.; Treviño, E. (2018). "Encontrar los cuatro cuadrados en el teorema de Lagrange" (PDF) . Enteros . 18A : A15.

enlaces externos

• Prueba en PlanetMath.org
• Otra prueba
• un subprograma que descompone números como sumas de cuatro cuadrados
• Índice OEIS de secuencias relacionadas con sumas de cuadrados y sumas de cubos