Función suma de cuadrados

En teoría de números , la función suma de cuadrados es una función aritmética que da el número de representaciones para un entero positivo dado n como la suma de k cuadrados , donde las representaciones que difieren solo en el orden de los sumandos o en los signos de los números que se elevan al cuadrado se cuentan como diferentes. Se denota por r _k ( n ) .

Definición

La función se define como

${\displaystyle r_{k}(n)=|\{(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k})\in \mathbb {Z} ^{k}\ :\ n=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{k}^{2}\}|}$

donde denota la cardinalidad de un conjunto . En otras palabras, r _k ( n ) es la cantidad de formas en que n puede escribirse como suma de k cuadrados. ${\displaystyle |\,\ |}$

Por ejemplo, dado que cada suma tiene dos combinaciones de signos, y también dado que tiene cuatro combinaciones de signos. Por otro lado, porque no hay forma de representar 3 como suma de dos cuadrados. ${\displaystyle r_{2}(1)=4}$ ${\displaystyle 1=0^{2}+(\pm 1)^{2}=(\pm 1)^{2}+0^{2}}$ ${\displaystyle r_{2}(2)=4}$ ${\displaystyle 2=(\pm 1)^{2}+(\pm 1)^{2}}$ ${\displaystyle r_{2}(3)=0}$

Fórmulas

a= 2

Los números enteros que satisfacen el teorema de la suma de dos cuadrados son cuadrados de las posibles distancias entre puntos de la red entera; se muestran valores hasta 100, con

La cantidad de formas de escribir un número natural como suma de dos cuadrados está dada por r ₂ ( n ) . Está dada explícitamente por

${\displaystyle r_{2}(n)=4(d_{1}(n)-d_{3}(n))}$

donde d ₁ ( n ) es el número de divisores de n que son congruentes a 1 módulo 4 y d ₃ ( n ) es el número de divisores de n que son congruentes a 3 módulo 4. Usando sumas, la expresión se puede escribir como:

${\displaystyle r_{2}(n)=4\sum _{d\mid n \atop d\,\equiv \,1,3{\pmod {4}}}(-1)^{(d-1)/2}}$

La factorización prima , donde son los factores primos de la forma y son los factores primos de la forma da otra fórmula ${\displaystyle n=2^{g}p_{1}^{f_{1}}p_{2}^{f_{2}}\cdots q_{1}^{h_{1}}q_{2}^{h_{2}}\cdots }$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle p_{i}\equiv 1{\pmod {4}},}$ ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle q_{i}\equiv 3{\pmod {4}}}$

${\displaystyle r_{2}(n)=4(f_{1}+1)(f_{2}+1)\cdots }$, si todos los exponentes son pares . Si uno o más son impares , entonces . ${\displaystyle h_{1},h_{2},\cdots }$ ${\displaystyle h_{i}}$ ${\displaystyle r_{2}(n)=0}$

a= 3

Gauss demostró que para un número libre de cuadrados n > 4 ,

${\displaystyle r_{3}(n)={\begin{cases}24h(-n),&{\text{if }}n\equiv 3{\pmod {8}},\\0&{\text{if }}n\equiv 7{\pmod {8}},\\12h(-4n)&{\text{otherwise}},\end{cases}}}$

donde h ( m ) denota el número de clase de un entero m .

Existen extensiones de la fórmula de Gauss para cualquier entero n . ^{[1] [2]}

a= 4

El número de formas de representar n como la suma de cuatro cuadrados se debió a Carl Gustav Jakob Jacobi y es ocho veces la suma de todos sus divisores que no son divisibles por 4, es decir

${\displaystyle r_{4}(n)=8\sum _{d\,\mid \,n,\ 4\,\nmid \,d}d.}$

Representando n = 2 ^k m , donde m es un entero impar, se puede expresar en términos de la función divisor de la siguiente manera: ${\displaystyle r_{4}(n)}$

${\displaystyle r_{4}(n)=8\sigma (2^{\min\{k,1\}}m).}$

a= 6

El número de formas de representar n como la suma de seis cuadrados está dado por

${\displaystyle r_{6}(n)=4\sum _{d\mid n}d^{2}{\big (}4\left({\tfrac {-4}{n/d}}\right)-\left({\tfrac {-4}{d}}\right){\big )},}$

¿Dónde está el símbolo de Kronecker ? ^[3] ${\displaystyle \left({\tfrac {\cdot }{\cdot }}\right)}$

a= 8

Jacobi también encontró una fórmula explícita para el caso k = 8 : ^[3]

${\displaystyle r_{8}(n)=16\sum _{d\,\mid \,n}(-1)^{n+d}d^{3}.}$

Función generadora

La función generadora de la secuencia para k fijo se puede expresar en términos de la función theta de Jacobi : ^[4] ${\displaystyle r_{k}(n)}$

${\displaystyle \vartheta (0;q)^{k}=\vartheta _{3}^{k}(q)=\sum _{n=0}^{\infty }r_{k}(n)q^{n},}$

dónde

${\displaystyle \vartheta (0;q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}=1+2q+2q^{4}+2q^{9}+2q^{16}+\cdots .}$

Valores numéricos

Los primeros 30 valores se enumeran en la siguiente tabla: ${\displaystyle r_{k}(n),\;k=1,\dots ,8}$

Véase también

• Partición de enteros
• Teorema de los cuatro cuadrados de Jacobi
• Problema del círculo de Gauss

Referencias

1. PT Bateman (1951). "Sobre la representación de un número como la suma de tres cuadrados" (PDF) . Trans. Amer. Math. Soc . 71 : 70–101. doi :10.1090/S0002-9947-1951-0042438-4.
2. S. Bhargava; Chandrashekar Adiga; DD Somashekara (1993). "Teorema de los tres cuadrados como aplicación de la identidad de Andrews" (PDF) . Fibonacci Quart . 31 (2): 129–133.
3. Cohen, H. (2007). "5.4 Consecuencias del teorema de Hasse-Minkowski". Teoría de números, volumen I: herramientas y ecuaciones diofánticas . Springer. ISBN 978-0-387-49922-2.
4. Milne, Stephen C. (2002). "Introducción". Familias infinitas de fórmulas exactas de sumas de cuadrados, funciones elípticas de Jacobi, fracciones continuas y funciones de Schur . Springer Science & Business Media. pág. 9. ISBN 1402004915.

Lectura adicional

Grosswald, Emil (1985). Representaciones de números enteros como sumas de cuadrados . Springer-Verlag. ISBN 0387961267.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Función suma de cuadrados". MathWorld .
• Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A122141 (número de formas de escribir n como suma de d cuadrados)". La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Fundación OEIS.
• Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A004018 (serie theta de red cuadrada, r_2(n))". La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS.