En matemáticas , los teoremas abelianos y tauberianos son teoremas que dan condiciones para que dos métodos de suma de series divergentes den el mismo resultado, y llevan el nombre de Niels Henrik Abel y Alfred Tauber . Los ejemplos originales son el teorema de Abel que muestra que si una serie converge a algún límite entonces su suma de Abel es el mismo límite, y el teorema de Tauber que muestra que si la suma de Abel de una serie existe y los coeficientes son suficientemente pequeños (o(1/ n ) ) entonces la serie converge a la suma de Abel. Los teoremas más generales de Abeliano y Tauberiano dan resultados similares para métodos de suma más generales.
Todavía no existe una distinción clara entre los teoremas abelianos y tauberianos, ni una definición generalmente aceptada de lo que significan estos términos. A menudo, un teorema se llama "abeliano" si muestra que algún método de suma da la suma habitual para series convergentes, y se llama "tauberiano" si da condiciones para una serie sumable mediante algún método que le permita ser sumable en la forma habitual. sentido.
En la teoría de las transformadas integrales , los teoremas abelianos dan el comportamiento asintótico de la transformada basándose en las propiedades de la función original. Por el contrario, los teoremas de Tauber dan el comportamiento asintótico de la función original basándose en las propiedades de la transformada, pero normalmente requieren algunas restricciones sobre la función original. [1]
Para cualquier método de suma L , su teorema abeliano es el resultado de que si c = ( c n ) es una secuencia convergente , con límite C , entonces L ( c ) = C. [ se necesita aclaración ]
Un ejemplo lo da el método de Cesàro , en el que L se define como el límite de las medias aritméticas de los primeros N términos de c , ya que N tiende al infinito. Se puede probar que si c converge a C , entonces también lo hace la secuencia ( d N ) donde
Para ver eso, reste C en todas partes para reducir al caso C = 0. Luego divida la secuencia en un segmento inicial y una cola de términos pequeños: dado cualquier ε > 0, podemos tomar N lo suficientemente grande como para formar el segmento inicial de términos. hasta c N promedio a como máximo ε /2, mientras que cada término en la cola está acotado por ε/2 de modo que el promedio también está necesariamente acotado.
El nombre deriva del teorema de Abel sobre series de potencias . En ese caso L es el límite radial (pensado dentro del disco unitario complejo ), donde dejamos que r tienda al límite 1 desde abajo a lo largo del eje real en la serie de potencias con término
y establezca z = r · e iθ . Ese teorema tiene su principal interés en el caso de que la serie de potencias tenga un radio de convergencia exactamente 1: si el radio de convergencia es mayor que uno, la convergencia de la serie de potencias es uniforme para r en [0,1] de modo que la suma es automáticamente continuo y se sigue directamente que el límite cuando r tiende a 1 es simplemente la suma de an . Cuando el radio es 1, la serie de potencias tendrá alguna singularidad en | z | = 1; la afirmación es que, sin embargo, si la suma de an existe , es igual al límite sobre r . Por lo tanto, esto encaja exactamente en el cuadro abstracto.
Los conversos parciales de los teoremas abelianos se denominan teoremas de Tauber . El resultado original de Alfred Tauber (1897) [2] afirmaba que si asumimos también
(ver Notación Little o ) y el límite radial existe, entonces la serie obtenida estableciendo z = 1 es en realidad convergente. Esto fue reforzado por John Edensor Littlewood : sólo necesitamos suponer O(1/ n ). Una generalización radical es el teorema de Hardy-Littlewood Tauberiano .
Por lo tanto, en el contexto abstracto, un teorema abeliano establece que el dominio de L contiene las secuencias convergentes y sus valores allí son iguales a los del funcional Lim . Un teorema de Tauber establece, bajo alguna condición de crecimiento, que el dominio de L son exactamente las secuencias convergentes y nada más.
Si uno piensa en L como algún tipo generalizado de promedio ponderado , llevado al límite, un teorema de Tauber permite descartar la ponderación, bajo las hipótesis correctas. Hay muchas aplicaciones de este tipo de resultado en teoría de números , en particular en el manejo de series de Dirichlet .
El desarrollo del campo de los teoremas de Tauber recibió un nuevo giro con los resultados muy generales de Norbert Wiener , a saber , el teorema de Tauber y su gran colección de corolarios . [3] El teorema central ahora puede demostrarse mediante métodos del álgebra de Banach y contiene gran parte, aunque no toda, de la teoría anterior.
