Alfred Tauber

Matemático húngaro

Alfred Tauber (5 de noviembre de 1866 - 26 de julio de 1942) ^[1] fue un matemático de Austria-Hungría , conocido por su contribución al análisis matemático y a la teoría de funciones de variable compleja : es el epónimo de una importante clase de teoremas con aplicaciones que van desde el análisis matemático y armónico hasta la teoría de números . ^[2] Fue asesinado en el campo de concentración de Theresienstadt .

Vida y carrera académica

Nacido en Presburgo, Reino de Hungría , Imperio austríaco (hoy Bratislava , Eslovaquia ), comenzó a estudiar matemáticas en la Universidad de Viena en 1884, obtuvo su doctorado en 1889, ^{[3] [4]} y su habilitación en 1891. A partir de 1892, trabajó como matemático jefe en la compañía de seguros Phönix hasta 1908, cuando se convirtió en profesor interino en la Universidad de Viena , aunque, ya desde 1901, había sido profesor honorario en la TU Vienna y director de su cátedra de matemáticas de seguros. ^[5] En 1933, fue galardonado con la Gran Condecoración de Honor en Plata por Servicios a la República de Austria , ^[5] y se retiró como profesor extraordinario emérito . Sin embargo, continuó dando clases como privatdozent hasta 1938, ^{[3] [6]} cuando se vio obligado a dimitir como consecuencia del " Anschluss ". ^[7] El 28 y 29 de junio de 1942 fue deportado en el transporte IV/2, č. 621 a Theresienstadt , ^{[3] [5] [8]} donde fue asesinado el 26 de julio de 1942. ^[1]

Trabajar

Pinl & Dick (1974, p. 202) listan 35 publicaciones en la bibliografía adjunta a su obituario, y también una búsqueda realizada en la base de datos " Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik " da como resultado una lista de 35 trabajos matemáticos escritos por él, que abarcan un período de tiempo desde 1891 hasta 1940. ^[9] Sin embargo, Hlawka (2007) cita dos artículos sobre matemáticas actuariales que no aparecen en estas dos listas bibliográficas y la bibliografía de Binder de las obras de Tauber (1984, pp. 163-166), mientras que enumera 71 entradas incluyendo las de la bibliografía de Pinl & Dick (1974, p. 202) y las dos citadas por Hlawka, no incluye la nota corta (Tauber 1895) por lo que no se conoce el número exacto de sus obras. Según Hlawka (2007), su investigación científica se puede dividir en tres áreas: la primera comprende su trabajo sobre la teoría de funciones de una variable compleja y sobre la teoría del potencial , la segunda incluye trabajos sobre ecuaciones diferenciales lineales y sobre la función Gamma , mientras que la última incluye sus contribuciones a la ciencia actuarial. ^[3] Pinl & Dick (1974, p. 202) dan una lista más detallada de los temas de investigación en los que trabajó Tauber, aunque está restringida al análisis matemático y temas geométricos : algunos de ellos son las series infinitas , las series de Fourier , los armónicos esféricos , la teoría de los cuaterniones , la geometría analítica y descriptiva . ^[10] Las contribuciones científicas más importantes de Tauber pertenecen a la primera de sus áreas de investigación, ^[11] incluso si su trabajo sobre la teoría del potencial ha sido eclipsado por el de Aleksandr Lyapunov . ^[3]

Teoremas de Tauber

Su artículo más importante es (Tauber 1897). ^[3] En este trabajo, logró demostrar por primera vez un inverso del teorema de Abel : ^[12] este resultado fue el punto de partida de numerosas investigaciones, ^[3] que condujeron a la prueba y a aplicaciones de varios teoremas de este tipo para varios métodos de sumabilidad . El enunciado de estos teoremas tiene una estructura estándar: si una serie ∑  a _n es sumable de acuerdo con un método de sumabilidad dado y satisface una condición adicional, llamada " condición tauberiana ", ^[13] entonces es una serie convergente . ^[14] A partir de 1913, GH Hardy y JE Littlewood utilizaron el término tauberian para identificar esta clase de teoremas. ^[15] Describiendo con un poco más de detalle el trabajo de Tauber de 1897, se puede decir que sus principales logros son los dos teoremas siguientes: ^{[16] [17]}

Primer teorema de Tauber . ^[18] Si la serie ∑  a _n es sumable según Abel a la suma s , es decir lim _{x → 1 ⁻}  ∑+∞
n = 0 a _n x  ⁿ  = s , y si a _n  =  ο ( n ⁻¹ ) , entonces ∑  a _k converge a s .

Este teorema es, según Korevaar (2004, p. 10), ^[19] el precursor de toda la teoría tauberiana: la condición a _n  =  ο ( n ⁻¹ ) es la primera condición tauberiana, que posteriormente tuvo muchas generalizaciones profundas. ^[20] En la parte restante de su artículo, utilizando el teorema anterior, ^[21] Tauber demostró el siguiente resultado más general: ^[22]

Segundo teorema de Tauber . ^[23] La serie ∑  a _n converge a la suma s si y sólo si se cumplen las dos condiciones siguientes:

1. ∑  a _n es sumable según Abel y
2. ∑nk =
   1 ka _k  =  ο ( n ) .

Este resultado no es una consecuencia trivial del primer teorema de Tauber . ^[24] La mayor generalidad de este resultado con respecto al anterior se debe al hecho de que prueba la equivalencia exacta entre la convergencia ordinaria por un lado y la sumabilidad de Abel (condición 1) conjuntamente con la condición tauberiana (condición 2) por el otro. Chatterji (1984, pp. 169-170) afirma que este último resultado debe haber parecido a Tauber mucho más completo y satisfactorio con respecto al anterior, ya que establece una condición necesaria y suficiente para la convergencia de una serie, mientras que el primero era simplemente un trampolín hacia ella: la única razón por la que el segundo teorema de Tauber no se menciona muy a menudo parece ser que no tiene una generalización profunda como la tiene el primero, ^[25] aunque tiene su lugar legítimo en todos los desarrollos detallados de la sumabilidad de series. ^{[23] [25]}

Contribuciones a la teoría de la transformada de Hilbert

Frederick W. King (2009, p. 3) escribe que Tauber contribuyó en una etapa temprana a la teoría de la ahora llamada " transformada de Hilbert ", anticipándose con su contribución a los trabajos de Hilbert y Hardy de tal manera que la transformada tal vez debería llevar sus tres nombres. ^[26] Precisamente, Tauber (1891) considera la parte real φ y la parte imaginaria ψ de una serie de potencias f , ^{[27] [28]}

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=1}^{+\infty }c_{k}z^{k}=\varphi (\theta )+\mathrm {i} \psi (\theta )}$

dónde

• z = re  ^{i θ} donde r  = | z |   es el valor absoluto de la variable compleja dada ,
• c _k r  ^k  =  a _k  + i b _k para cada número natural k , ^[29]
• φ ( θ ) =  ∑+∞
  k = 1 a _k cos( kθ ) −  b _k pecado( kθ ) y ψ ( θ ) =  ∑+∞
  k = 1 a _k sin( kθ ) +  b _k cos( kθ ) son series trigonométricas y por lo tanto funciones periódicas , que expresan la parte real e imaginaria de la serie de potencias dada.

Bajo la hipótesis de que r es menor que el radio de convergencia R _f de la serie de potencias f , Tauber demuestra que φ y ψ satisfacen las dos ecuaciones siguientes:

(1)      ${\displaystyle \varphi (\theta )={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }\left\{\psi (\theta +\phi )-\psi (\theta -\phi )\right\}\cot \left({\frac {\phi }{2}}\right)\,\mathrm {d} \phi }$

(2)      ${\displaystyle \psi (\theta )=-{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }\left\{\varphi (\theta +\phi )-\varphi (\theta -\phi )\right\}\cot \left({\frac {\phi }{2}}\right)\mathrm {d} \phi }$

Suponiendo entonces que r = R _f , también puede demostrar que las ecuaciones anteriores todavía se cumplen si φ y ψ son solo absolutamente integrables : ^[30] este resultado es equivalente a definir la transformada de Hilbert en el círculo ya que, después de algunos cálculos que explotan la periodicidad de las funciones involucradas, se puede demostrar que (1) y (2) son equivalentes al siguiente par de transformadas de Hilbert: ^[31]

${\displaystyle \varphi (\theta )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\psi (\phi )\cot \left({\frac {\theta -\phi }{2}}\right)\mathrm {d} \phi \qquad \psi (\theta )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\varphi (\phi )\cot \left({\frac {\theta -\phi }{2}}\right)\mathrm {d} \phi }$

Finalmente, quizás valga la pena señalar una aplicación de los resultados de (Tauber 1891), dados (sin prueba) por el propio Tauber en el breve anuncio de investigación (Tauber 1895):

La función continua de valor complejo φ ( θ ) + i ψ ( θ ) definida en un círculo dado es el valor límite de una función holomorfa definida en su disco abierto si y solo si se cumplen las dos condiciones siguientes

1. la función [ φ ( θ − α ) −  φ ( θ + α )]/α es uniformemente integrable en cada entorno del punto α  = 0 , y
2. La función ψ ( θ ) satisface (2) .

Publicaciones seleccionadas

• Tauber, Alfred (1891), "Über den Zusammenhang des reellen und imaginären Theiles einer Potenzreihe" [Sobre la relación entre la parte real e imaginaria de una serie de potencias], Monatshefte für Mathematik und Physik , II : 79–118, doi :10.1007/ bf01691828, JFM  23.0251.01, S2CID  120241651.
• Tauber, Alfred (1895), "Ueber die Werte einer analytischen Function längs einer Kreislinie" [Sobre los valores de una función analítica a lo largo de un perímetro circular], Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung , 4 : 115, archivado desde el original en 2015- 01/07 , consultado el 16 de julio de 2014..
• Tauber, Alfred (1897), "Ein Satz aus der Theorie der unendlichen Reihen" [Un teorema sobre series infinitas], Monatshefte für Mathematik und Physik , VIII : 273–277, doi :10.1007/BF01696278, JFM  28.0221.02, S2CID  120692627.
• Tauber, Alfred (1898), "Über einige Sätze der Potentialtheorie" [Algunos teoremas de la teoría potencial], Monatshefte für Mathematik und Physik , IX : 79–118, doi :10.1007/BF01707858, JFM  29.0654.02, S2CID  124400762.
• Tauber, Alfred (1920), "Über konvergente und asymptotische Darstellung des Integrallogarithmus" [Sobre la representación convergente y asintótica de la función integral logarítmica], Mathematische Zeitschrift , 8 (1–2): 52–62, doi :10.1007/bf01212858, JFM  47.0329.01, S2CID  119967249.
• Tauber, Alfred (1922), "Über die Umwandlung von Potenzreihen in Kettenbrüche" [Sobre la conversión de series de potencias en fracciones continuas], Mathematische Zeitschrift , 15 : 66–80, doi :10.1007/bf01494383, JFM  48.0236.01, S2CID  122501264.

Véase también

• Ciencia actuarial
• Teorema de Tauber de Hardy-Littlewood
• Teoría de la sumabilidad

Notas

1. La fecha de la muerte se informa en (Sigmund 2004, p. 33) y también en el registro VIAF de Tauber Archivado el 18 de septiembre de 2018 en Wayback Machine , línea 678: Sigmund (2004, pp. 31-33) también da una descripción de los eventos de los últimos años de la vida de Tauber, hasta los días de su deportación.
2. La Clasificación Temática de Matemáticas de 2010 tiene dos entradas sobre teoremas de Tauber: la entrada 11M45, perteneciente al área "Teoría de números", y la entrada 40E05, perteneciente al área " Secuencias , series , sumabilidad ".
3. (Hlawka 2007).
4. Según Hlawka (2007), escribió su tesis doctoral en 1888.
5. (Pinl y Dick 1974, págs. 202-203).
6. Sigmund (2004, p. 2) afirma que se vio obligado a seguir estudiando matemáticas actuariales debido a su baja pensión.
7. (Sigmund 2004, pág. 21 y pág. 28).
8. (Fischer et al. 1990, pág. 812, nota al pie 14).
9. Vea los resultados de la consulta Jahrbuch: "au = (TAUBER, A*)".
10. En palabras exactas de los autores, "Unendliche Reihen, Fouriersche Reihen, Kugelfunktionen, Quaternionen,..., Analitische und Darstellende Geometrie" (Pinl y Dick 1974, p. 202).
11. Según la clasificación de Hlawka (2007).
12. Véase, por ejemplo, (Hardy 1949, pág. 149), (Hlawka 2007), (Korevaar 2004, pág. VII, pág. 2 y pág. 10), (Lune 1986, pág. 2, §1.1 "El primer teorema de Tauber") y (Sigmund 2004, pág. 21).
13. Véase, por ejemplo, (Hardy 1949, pág. 149) y (Korevaar 2004, pág. 6).
14. Véase (Hardy 1949, p. 149), (Hlawka 2007) y (Lune 1986, p. 2 §1.1 "El primer teorema de Tauber").
15. Véase (Korevaar 2004, p. 2) y (Sigmund 2004, p. 21): Korevaar precisa que la locución "teoremas de Tauber" se utilizó por primera vez en la nota corta (Hardy y Littlewood 1913).
16. Véase (Hardy 1949, p. 149 y p. 150), (Korevaar 2004, p. 10 y p. 11) y (Lune 1986, p. 2, §1.1 "Primer teorema de Tauber" y p. 4, §1.1 "Segundo teorema de Tauber").
17. En la siguiente descripción se utiliza la notación Landau minúscula –ο .
18. Véase por ejemplo (Hardy 1949, p. 149), (Korevaar 2004, p. 10) y (Lune 1986, p. 2, §1.1 "El primer teorema de Tauber").
19. Véase también (Lune 1986, p. 2, §1.1 "El primer teorema de Tauber") y (Hardy 1949, p. 149): Sigmund (2004, p. 21) atribuye incorrectamente este papel al segundo teorema de Tauber . Véase también el análisis de Chatterji (1984, pp. 169-170 y p. 172).
20. Véase (Hardy 1949, p. 149), Chatterji (1984, p. 169 y p. 172) y (Korevaar 2004, p. 6).
21. Véase (Chatterji 1984, p. 169 teorema B), (Lune 1986, p. 4, §1.2 "Segundo teorema de Tauber") y la observación de Korevaar (2004, p. 11): Hardy (1949, pp. 150-152) demuestra este teorema demostrando uno más general que involucra las integrales de Riemann-Stieltjes .
22. (Chatterji 1984, p. 169 teorema A), (Korevaar 2004, p. 11).
23. Véase por ejemplo (Hardy 1949, p. 150), (Korevaar 2004, p. 11) y (Lune 1986, p. 4, §1.2 "Segundo teorema de Tauber").
24. Según Chatterji (1984, p. 172): véanse también las pruebas de los dos teoremas dadas por Lune (1986, capítulo 1, §§1.1–1.2, pp. 2–7).
25. Nuevamente según Chatterji (1984, p. 172).
26. En palabras de King (2009, p.3), " En retrospectiva, tal vez la transformación debería llevar los nombres de los tres autores mencionados anteriormente ".
27. El análisis presentado sigue de cerca el de King (2009, p. 131), que a su vez sigue el de Tauber (1891, pp. 79-80).
28. Véase también el breve anuncio de investigación (Tauber 1895).
29. Como señala King (2009, p. 131), esta definición no estándar de la parte real e imaginaria del k -ésimo coeficiente complejo de una serie de potencias se introduce deliberadamente para ocultar ("suprimir") la dependencia funcional de φ y ψ en r .
30. Esto significa que φ, ψ  ∈  L 1 .
31. (Rey 2009, pág. 131).

Referencias

Referencias biográficas y generales

• Binder, Christa (1984), "Alfred Tauber (1866-1942). Ein österreichischer Mathematiker", en Chatterji, SD (ed.), Jahrbuch Überblicke Mathematik, Encuestas matemáticas (en alemán), vol. 17, Mannheim : Bibliographisches Institut AG , págs. 151-166, Zbl  0544.01021
• Fischer, Gerd; Hirzebruch, Friedrich ; Scharlau, Winfried; Törnig, Willi, eds. (1990), Ein Jahrhundert Mathematik 1890 – 1990: Festschrift zum Jubiläum der DMV, Dokumente zur Geschichte der Mathematik (en alemán), vol. Banda 6, Braunschweig / Wiesbaden : Friedrich Vieweg & Sohn , págs. XII+830, doi :10.1007/978-3-322-80265-1, ISBN 3-528-06326-2, MR  1085961, Zbl  0706.01002.
• Pinl, Maximiliano; Dick, Auguste (1974), "Kollegen in einer dunklen Zeit. Schluß", Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (en alemán), 75 : 202–203, MR  0476359, Zbl  0281.01013.
• Hlawka, Edmund (2007), "Tauber, Alfred", Complete Dictionary of Scientific Biography , Nueva York: Charles Scribner's Sons , consultado el 27 de febrero de 2016.
• Sigmund, Karl (2004), "Fénix en quiebra: Tauber, Helly y los seguros de vida vieneses", The Mathematical Intelligencer , 26 (2): 21–33, doi :10.1007/bf02985648, MR  2067894, S2CID  121108996, Zbl  0849.01036.

Referencias científicas

• Chatterji, SD (1984), "Teorema de Tauber: algunas observaciones históricas", en Chatterji, SD (ed.), Jahrbuch Überblicke Mathematik, Encuestas matemáticas, vol. 17, Mannheim : Bibliographisches Institut AG , págs. 167-175, Zbl  0555.40008, y también Zbl  0556.01005.
• Hardy, GH (1949), Serie Divergente , Oxford : Clarendon Press , xvi+396, ISBN 978-0-8218-2649-2, LCCN  49005496, MR  0030620, OCLC  808787, 2da edición publicada por Chelsea Publishing Company , 1991, LCCN  91-75377, ISBN 0828403341 . 
• Hardy, GH ; Littlewood, JE (1913), "Teoremas de Tauber sobre series de términos positivos", Messenger of Mathematics , XLII : 191–192, JFM  44.0283.01.
• King, Frederick W. (2009), Transformadas de Hilbert. Volumen 1 , Enciclopedia de matemáticas y sus aplicaciones, vol. 124, Cambridge : Cambridge University Press , pp. xxxviii+858, ISBN 978-0-521-88762-5, MR  2542214, Zbl  1188.44005.
• Korevaar, Jacob (2004), Teoría tauberiana. Un siglo de desarrollos , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 329, Springer-Verlag , págs. xvi+483, doi :10.1007/978-3-662-10225-1, ISBN 3-540-21058-X, MR  2073637, Zbl  1056.40002.
• Lune, J. van de (1986), Una introducción a la teoría tauberiana: de Tauber a Wiener, CWI Syllabus, vol. 12, Amsterdam : CWI , pp. iv+102, ISBN 90-6196-309-5, MR  0882005, Zbl  0636.40002.

Enlaces externos

• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Alfred Tauber", Archivo de Historia de las Matemáticas MacTutor , Universidad de St Andrews
• Alfred Tauber en encyclopedia.com
• Alfred Tauber en el Proyecto de Genealogía Matemática