Teorema de Tauber de Wiener

En análisis matemático , el teorema de Tauber de Wiener es cualquiera de varios resultados relacionados demostrados por Norbert Wiener en 1932. ^[1] Proporcionan una condición necesaria y suficiente bajo la cual cualquier función en o puede ser aproximada por combinaciones lineales de traslaciones de una función dada. ^[2] ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle L^{2}}$

De manera informal, si la transformada de Fourier de una función se anula en un determinado conjunto , la transformada de Fourier de cualquier combinación lineal de traslaciones de también se anula en . Por lo tanto, las combinaciones lineales de traslaciones de no pueden aproximarse a una función cuya transformada de Fourier no se anule en . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Z}$

Los teoremas de Wiener lo precisan, al afirmar que las combinaciones lineales de traducciones de son densas si y sólo si el conjunto cero de la transformada de Fourier de está vacío (en el caso de ) o de medida de Lebesgue cero (en el caso de ). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle L^{2}}$

Gelfand reformuló el teorema de Wiener en términos de C*-álgebras conmutativas , cuando afirma que el espectro del anillo de grupo del grupo de números reales es el grupo dual de . Un resultado similar es cierto cuando se reemplaza por cualquier grupo abeliano localmente compacto . ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Introducción

Un teorema tauberiano típico es el siguiente resultado, para . Si: ${\displaystyle f\in L^{1}(0,\infty )}$

1. ${\displaystyle f(x)=O(1)}$como ${\displaystyle x\to \infty }$
2. ${\displaystyle {\frac {1}{x}}\int _{0}^{\infty }e^{-t/x}f(t)\,dt\to L}$como , ${\displaystyle x\to \infty }$

entonces

${\displaystyle {\frac {1}{x}}\int _{0}^{x}f(t)\,dt\to L.}$

Generalizando, sea una función dada, y sea la proposición ${\displaystyle G(t)}$ ${\displaystyle P_{G}(f)}$

${\displaystyle {\frac {1}{x}}\int _{0}^{\infty }G(t/x)f(t)\,dt\to L.}$

Nótese que una de las hipótesis y la conclusión del teorema de Tauber tiene la forma , respectivamente, con y La segunda hipótesis es una "condición de Tauber". ${\displaystyle P_{G}(f)}$ ${\displaystyle G(t)=e^{-t}}$ ${\displaystyle G(t)=1_{[0,1]}(t).}$

Los teoremas tauberianos de Wiener tienen la siguiente estructura: ^[3]

Si es una función dada tal que , , y , entonces se cumple para todos los "razonables" . ${\displaystyle G_{1}}$ ${\displaystyle W(G_{1})}$ ${\displaystyle P_{G_{1}}(f)}$ ${\displaystyle R(f)}$ ${\displaystyle P_{G_{2}}(f)}$ ${\displaystyle G_{2}}$

Aquí hay una condición "tauberiana" en , y es una condición especial en el núcleo . La potencia del teorema es que se cumple, no para un núcleo en particular , sino para todos los núcleos razonables . ${\displaystyle R(f)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle W(G_{1})}$ ${\displaystyle G_{1}}$ ${\displaystyle P_{G_{2}}(f)}$ ${\displaystyle G_{2}}$ ${\displaystyle G_{2}}$

La condición de Wiener es, en líneas generales, una condición sobre los ceros de la transformada de Fourier de . Por ejemplo, para las funciones de clase , la condición es que la transformada de Fourier no se anule en ninguna parte. A menudo se ve fácilmente que esta condición es una condición necesaria para que se cumpla un teorema de Tauber de este tipo. El punto clave es que esta sencilla condición necesaria también es suficiente. ${\displaystyle G_{2}}$ ${\displaystyle L^{1}}$

La condición enL 1

Sea una función integrable . El intervalo de traslaciones es denso en si y solo si la transformada de Fourier de no tiene ceros reales . ${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle f_{a}(x)=f(x+a)}$ ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle f}$

Reformulación tauberiana

La siguiente afirmación es equivalente al resultado anterior, ^{[ cita requerida ]} y explica por qué el resultado de Wiener es un teorema de Tauber :

Supongamos que la transformada de Fourier de no tiene ceros reales y que la convolución tiende a cero en el infinito para algún . Entonces, la convolución tiende a cero en el infinito para cualquier . ${\displaystyle f\in L^{1}}$ ${\displaystyle f*h}$ ${\displaystyle h\in L^{\infty }}$ ${\displaystyle g*h}$ ${\displaystyle g\in L^{1}}$

De manera más general, si

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }(f*h)(x)=A\int f(x)\,dx}$

Para algunos cuya transformada de Fourier no tiene ceros reales, entonces también ${\displaystyle f\in L^{1}}$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }(g*h)(x)=A\int g(x)\,dx}$

Para cualquier . ${\displaystyle g\in L^{1}}$

Versión discreta

El teorema de Wiener tiene una contraparte en : el lapso de las traslaciones de es denso si y sólo si la serie de Fourier ${\displaystyle l^{1}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle f\in l^{1}(\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle \varphi (\theta )=\sum _{n\in \mathbb {Z} }f(n)e^{-in\theta }\,}$

No tiene ceros reales. Las siguientes afirmaciones son versiones equivalentes de este resultado:

• Supongamos que la serie de Fourier no tiene ceros reales y, para alguna secuencia acotada, la convolución ${\displaystyle f\in l^{1}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle f*h}$

tiende a cero en el infinito. Entonces también tiende a cero en el infinito para cualquier . ${\displaystyle g*h}$ ${\displaystyle g\in l^{1}(\mathbb {Z} )}$

• Sea una función en el círculo unitario con serie de Fourier absolutamente convergente. Entonces tiene serie de Fourier absolutamente convergente ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle 1/\varphi }$

si y solo si no tiene ceros. ${\displaystyle \varphi }$

Gelfand (1941a, 1941b) demostró que esto es equivalente a la siguiente propiedad del álgebra de Wiener , que demostró utilizando la teoría de las álgebras de Banach , dando así una nueva prueba del resultado de Wiener: ${\displaystyle A(\mathbb {T} )}$

• Los ideales máximos de son todos de la forma ${\displaystyle A(\mathbb {T} )}$

${\displaystyle M_{x}=\left\{f\in A(\mathbb {T} )\mid f(x)=0\right\},\quad x\in \mathbb {T} .}$

La condición enL 2

Sea una función integrable al cuadrado . El intervalo de traslaciones es denso en si y solo si los ceros reales de la transformada de Fourier de forman un conjunto de medida de Lebesgue cero . ${\displaystyle f\in L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle f_{a}(x)=f(x+a)}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle f}$

El enunciado paralelo es el siguiente: el lapso de traslaciones de una secuencia es denso si y solo si el conjunto cero de la serie de Fourier ${\displaystyle l^{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle f\in l^{2}(\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle \varphi (\theta )=\sum _{n\in \mathbb {Z} }f(n)e^{-in\theta }}$

tiene cero medida de Lebesgue.

Notas

1. Véase Wiener (1932).
2. ver Rudin (1991).
3. GH Hardy , Serie Divergente, págs. 385-377

Referencias

• Gelfand, I. (1941a), "Normierte Ringe", Rec. Matemáticas. (Mat. Sbornik) , Nouvelle Série, 9 (51): 3–24, SEÑOR  0004726
• Gelfand, I. (1941b), "Über absolut konvergente trigonometrische Reihen und Integrale", Rec. Matemáticas. (Mat. Sbornik) , Nouvelle Série, 9 (51): 51–66, SEÑOR  0004727
• Rudin, W. (1991), Análisis funcional , International Series in Pure and Applied Mathematics, Nueva York: McGraw-Hill, Inc., ISBN 0-07-054236-8, Sr.  1157815
• Wiener, N. (1932), "Teoremas de Tauber", Anales de Matemáticas , 33 (1): 1–100, doi :10.2307/1968102, JSTOR  1968102

Enlaces externos

• Shtern, AI (2001) [1994], "Teorema de Wiener Tauber", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press