Teorema Tauberiano de Hardy-Littlewood

En análisis matemático , el teorema tauberiano de Hardy-Littlewood es un teorema tauberiano que relaciona las asintóticas de las sumas parciales de una serie con las asintóticas de su sumatoria de Abel . De esta forma, el teorema afirma que si la secuencia es tal que existe una equivalencia asintótica ${\displaystyle a_{n}\geq 0}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}e^{-ny}\sim {\frac {1}{y}}\ {\text{as}}\ y\downarrow 0}$

entonces también existe una equivalencia asintótica

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}a_{k}\sim n}$

como . La formulación integral del teorema relaciona de manera análoga las asintóticas de la función de distribución acumulativa de una función con las asintóticas de su transformada de Laplace . ${\displaystyle n\to \infty }$

El teorema fue demostrado en 1914 por GH Hardy y JE Littlewood . ^{[1] : 226} En 1930, Jovan Karamata dio una prueba nueva y mucho más sencilla. ^{[1] : 226}

Declaración del teorema

Formulación en serie

Esta formulación es de Titchmarsh. ^{[1] : 226} Supongamos que para todos , y tenemos ${\displaystyle a_{n}\geq 0}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\sim {\frac {1}{1-x}}\ {\text{as}}\ x\uparrow 1.}$

Entonces como tenemos ${\displaystyle n\to \infty }$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}a_{k}\sim n.}$

El teorema a veces se cita en formas equivalentes, donde en lugar de requerir , requerimos o requerimos alguna constante . ^{[2] : 155} El teorema a veces se cita en otra formulación equivalente (mediante el cambio de variable ). ^{[2] : 155} Si, ${\displaystyle a_{n}\geq 0}$ ${\displaystyle a_{n}=O(1)}$ ${\displaystyle a_{n}\geq -K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle x=1/e^{y}}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}e^{-ny}\sim {\frac {1}{y}}\ {\text{as}}\ y\downarrow 0}$

entonces

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}a_{k}\sim n.}$

Formulación integral

La siguiente formulación más general es de Feller. ^{[3] : 445} Considere una función de variación acotada con valor real . ^[4] La transformada de Laplace-Stieltjes está definida por la integral de Stieltjes ${\displaystyle F:[0,\infty )\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle \omega (s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}\,dF(t).}$

El teorema relaciona las asintóticas de ω con las de de la siguiente manera. Si es un número real no negativo, entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \rho }$

• ${\displaystyle \omega (s)\sim Cs^{-\rho },\quad {\rm {{as\ }s\to 0}}}$
• ${\displaystyle F(t)\sim {\frac {C}{\Gamma (\rho +1)}}t^{\rho },\ {\text{as}}\ t\to \infty .}$

Aquí se denota la función Gamma . Se obtiene el teorema de las series como caso especial tomando y como una función constante por partes con valor entre y . ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \rho =1}$ ${\displaystyle F(t)}$ ${\displaystyle \textstyle {\sum _{k=0}^{n}a_{k}}}$ ${\displaystyle t=n}$ ${\displaystyle t=n+1}$

Es posible una ligera mejora. Según la definición de función que varía lentamente , varía lentamente en el infinito si y así ${\displaystyle L(x)}$

${\displaystyle {\frac {L(tx)}{L(x)}}\to 1,\quad x\to \infty }$

para cada . Sea una función que varía lentamente en el infinito y . Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes ${\displaystyle t>0}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \rho \geq 0}$

• ${\displaystyle \omega (s)\sim s^{-\rho }L(s^{-1}),\quad {\text{as}}\ s\to 0}$
• ${\displaystyle F(t)\sim {\frac {1}{\Gamma (\rho +1)}}t^{\rho }L(t),\quad {\text{as}}\ t\to \infty .}$

La prueba de Karamata

Karamata (1930) encontró una prueba breve del teorema considerando funciones tales que ${\displaystyle g}$

${\displaystyle \lim _{x\to 1}(1-x)\sum a_{n}x^{n}g(x^{n})=\int _{0}^{1}g(t)dt}$

Un cálculo sencillo muestra que todos los monomios tienen esta propiedad y, por tanto, también la tienen todos los polinomios . Esto se puede extender a una función con discontinuidades simples (escalonadas) aproximandola mediante polinomios desde arriba y desde abajo (usando el teorema de aproximación de Weierstrass y un poco de manipulación adicional) y usando el hecho de que los coeficientes son positivos. En particular, la función dada por if y else tiene esta propiedad. Pero entonces, para la suma is y la integral de is , de donde se sigue inmediatamente el teorema de Hardy-Littlewood. ${\displaystyle g(x)=x^{k}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle g(t)=1/t}$ ${\displaystyle 1/e<t<1}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x=e^{-1/N}}$ ${\displaystyle \sum a_{n}x^{n}g(x^{n})}$ ${\displaystyle a_{0}+\cdots +a_{N}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle 1}$

Ejemplos

Coeficientes no positivos

El teorema puede fallar sin la condición de que los coeficientes no sean negativos. Por ejemplo, la función

${\displaystyle {\frac {1}{(1+x)^{2}(1-x)}}=1-x+2x^{2}-2x^{3}+3x^{4}-3x^{5}+\cdots }$

es asintótica con as , pero las sumas parciales de sus coeficientes son 1, 0, 2, 0, 3, 0, 4, ... y no son asintóticas con ninguna función lineal. ${\displaystyle 1/4(1-x)}$ ${\displaystyle x\to 1}$

Extensión de Littlewood del teorema de Tauber

En 1911, Littlewood demostró una extensión del inverso de Tauber del teorema de Abel . Littlewood mostró lo siguiente: Si y tenemos ${\displaystyle a_{n}=O(1/n)}$

${\displaystyle \sum a_{n}x^{n}\to s\ {\text{as}}\ x\uparrow 1}$

entonces

${\displaystyle \sum a_{n}=s.}$

Esto ocurrió históricamente antes del teorema Tauberiano de Hardy-Littlewood, pero puede demostrarse como una simple aplicación del mismo. ^{[1] : 233–235}

Teorema de los números primos

En 1915, Hardy y Littlewood desarrollaron una prueba del teorema de los números primos basada en su teorema de Tauber; ellos demostraron

${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }\Lambda (n)e^{-ny}\sim {\frac {1}{y}},}$

¿Dónde está la función de von Mangoldt y luego concluir? ${\displaystyle \Lambda }$

${\displaystyle \sum _{n\leq x}\Lambda (n)\sim x,}$

una forma equivalente del teorema de los números primos. ^{[5] : 34–35  [6] : 302–307} Littlewood desarrolló una prueba más simple, todavía basada en este teorema de Tauber, en 1971. ^{[6] : 307–309}

Notas

1. Titchmarsh, CE (1939). La teoría de las funciones (2ª ed.). Oxford: Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 0-19-853349-7.
2. Hardy, GH (1991) [1949]. Serie Divergente . Providencia, Rhode Island: AMS Chelsea. ISBN 0-8284-0334-1.
3. Feller, William (1971). Una introducción a la teoría de la probabilidad y sus aplicaciones. vol. II . Segunda edicion. Nueva York: John Wiley & Sons . SEÑOR  0270403.
4. La variación acotada solo se requiere localmente: en cada subintervalo acotado de . Sin embargo, se requieren supuestos adicionales más complicados sobre la convergencia de la transformada de Laplace-Stieltjes. Véase Shubin, MA (1987). Operadores pseudodiferenciales y teoría espectral . Serie Springer en Matemáticas Soviéticas. Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN ${\displaystyle [0,\infty )}$ 978-3-540-13621-7. SEÑOR  0883081.
5. Hardy, GH (1999) [1940]. Ramanujan: Doce conferencias sobre temas sugeridos por su vida y obra . Providencia: AMS Chelsea Publishing. ISBN 978-0-8218-2023-0.
6. Narkiewicz, Władysław (2000). El desarrollo de la teoría de los números primos . Berlín: Springer-Verlag. ISBN 3-540-66289-8.

• Karamata, J. (diciembre de 1930). "Über die Hardy-Littlewoodschen Umkehrungen des Abelschen Stetigkeitssatzes". Mathematische Zeitschrift (en alemán). 32 (1): 319–320. doi :10.1007/BF01194636.

enlaces externos

• "Teoremas de Tauber", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Teorema Tauberiano de Hardy-Littlewood". MundoMatemático .