Transformada de Laplace-Stieltjes

La transformada de Laplace-Stieltjes , llamada así por Pierre-Simon Laplace y Thomas Joannes Stieltjes , es una transformada integral similar a la transformada de Laplace . Para funciones con valores reales , es la transformada de Laplace de una medida de Stieltjes , sin embargo, a menudo se define para funciones con valores en un espacio de Banach . Es útil en varias áreas de las matemáticas , incluido el análisis funcional y ciertas áreas de probabilidad teórica y aplicada .

Funciones de valor real

La transformada de Laplace-Stieltjes de una función de valor real g viene dada por una integral de Lebesgue-Stieltjes de la forma

${\displaystyle \int e^{-sx}\,dg(x)}$

para s un número complejo . Al igual que con la transformada de Laplace habitual, se obtiene una transformada ligeramente diferente dependiendo del dominio de integración, y para definir la integral, también es necesario exigir que g sea de variación acotada en la región de integración. Los más comunes son:

• La transformada de Laplace-Stieltjes bilateral (o de dos caras) viene dada por
  $${\displaystyle \{{\mathcal {L}}^{*}g\}(s)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-sx}\,dg(x).}$$
• La transformada unilateral (unilateral) de Laplace-Stieltjes viene dada por
  $${\displaystyle \{{\mathcal {L}}^{*}g\}(s)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{-\varepsilon }^{\infty }e^{-sx}\,dg(x).}$$
  El límite es necesario para garantizar que la transformada capture un posible salto en g ( x ) en x = 0 , como es necesario para que la transformada de Laplace de la función delta de Dirac tenga sentido .
• Se pueden considerar transformaciones más generales integrando sobre un contorno en el plano complejo ; ver Zhavrid 2001.

Por tanto, la transformada de Laplace-Stieltjes en el caso de una función con valores escalares se considera un caso especial de la transformada de Laplace de una medida de Stieltjes . Esto es,

${\displaystyle {\mathcal {L}}^{*}g={\mathcal {L}}(dg).}$

En particular, comparte muchas propiedades con la transformada de Laplace habitual. Por ejemplo, el teorema de convolución se cumple:

${\displaystyle \{{\mathcal {L}}^{*}(g*h)\}(s)=\{{\mathcal {L}}^{*}g\}(s)\{{\mathcal {L}}^{*}h\}(s).}$

A menudo sólo se consideran los valores reales de la variable s , aunque si la integral existe como una integral de Lebesgue adecuada para un valor real dado s = σ , entonces también existe para todos los complejos s con re( s ) ≥ σ .

La transformada de Laplace-Stieltjes aparece naturalmente en el siguiente contexto. Si X es una variable aleatoria con función de distribución acumulativa F , entonces la transformada de Laplace-Stieltjes viene dada por la expectativa :

${\displaystyle \{{\mathcal {L}}^{*}F\}(s)=\mathrm {E} \left[e^{-sX}\right].}$

Por lo tanto, la transformada de Laplace-Stieltjes de la función de distribución acumulativa de una variable aleatoria real es igual a la función generadora de momento de la variable aleatoria , pero con el signo del argumento invertido.

Medidas vectoriales

Mientras que la transformada de Laplace-Stieltjes de una función de valor real es un caso especial de la transformada de Laplace de una medida aplicada a la medida de Stieltjes asociada, la transformada de Laplace convencional no puede manejar medidas vectoriales : medidas con valores en un espacio de Banach . Sin embargo, estos son importantes en relación con el estudio de los semigrupos que surgen en las ecuaciones diferenciales parciales , el análisis armónico y la teoría de la probabilidad . Los semigrupos más importantes son, respectivamente, el semigrupo de calor , el semigrupo de Riemann-Liouville y el movimiento browniano y otros procesos infinitamente divisibles .

Sea g una función de [0,∞) a un espacio de Banach X de variación fuertemente acotada en cada intervalo finito. Esto significa que, por cada subintervalo fijo [0, T ] se tiene

${\displaystyle \sup \sum _{i}\left\|g(t_{i})-g(t_{i+1})\right\|_{X}<\infty }$

donde el supremo se toma sobre todas las particiones de [0, T ]

${\displaystyle 0=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{n}=T.}$

La integral de Stieltjes con respecto a la medida vectorial dg

${\displaystyle \int _{0}^{T}e^{-st}dg(t)}$

se define como una integral de Riemann-Stieltjes . De hecho, si π es la partición etiquetada del intervalo [0, T ] con subdivisión 0 = t ₀ ≤ t ₁ ≤ ... ≤ t _n = T , puntos distinguidos y tamaño de malla, la integral de Riemann-Stieltjes se define como el valor del limite ${\displaystyle \tau _{i}\in [t_{i},t_{i+1}]}$ ${\displaystyle |\pi |=\max \left|t_{i}-t_{i+1}\right|,}$

${\displaystyle \lim _{|\pi |\to 0}\sum _{i=0}^{n-1}e^{-s\tau _{i}}\left[g(t_{i+1})-g(t_{i})\right]}$

tomado en la topología en X . La hipótesis de una variación fuertemente acotada garantiza la convergencia.

Si en la topología de X el límite

${\displaystyle \lim _{T\to \infty }\int _{0}^{T}e^{-st}dg(t)}$

existe, entonces el valor de este límite es la transformada de Laplace-Stieltjes de g .

Transformaciones relacionadas

La transformada de Laplace-Stieltjes está estrechamente relacionada con otras transformadas integrales , incluidas la transformada de Fourier y la transformada de Laplace . En particular, tenga en cuenta lo siguiente:

• Si g tiene derivada g' entonces la transformada de Laplace-Stieltjes de g es la transformada de Laplace de g′ .
  $${\displaystyle \{{\mathcal {L}}^{*}g\}(s)=\{{\mathcal {L}}g'\}(s),}$$
• Podemos obtener la transformada de Fourier-Stieltjes de g (y, según la nota anterior, la transformada de Fourier de g′ ) mediante
  $${\displaystyle \{{\mathcal {F}}^{*}g\}(s)=\{{\mathcal {L}}^{*}g\}(is),\qquad s\in \mathbb {R} .}$$

Distribuciones de probabilidad

Si X es una variable aleatoria continua con función de distribución acumulativa F ( t ), entonces los momentos de X se pueden calcular usando ^[1]

${\displaystyle \operatorname {E} [X^{n}]=(-1)^{n}\left.{\frac {d^{n}\{{\mathcal {L}}^{*}F\}(s)}{ds^{n}}}\right|_{s=0}.}$

Distribución exponencial

Para una variable aleatoria Y distribuida exponencialmente con parámetro de tasa λ , el LST es,

${\displaystyle {\widetilde {Y}}(s)=\{{\mathcal {L}}^{*}F_{Y}\}(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}\lambda e^{-\lambda t}dt={\frac {\lambda }{\lambda +s}}}$

a partir de lo cual los primeros tres momentos se pueden calcular como 1/ λ , 2/ λ ² y 6/ λ ³ .

Distribución de Erlang

Para Z con distribución de Erlang (que es la suma de n distribuciones exponenciales) usamos el hecho de que la distribución de probabilidad de la suma de variables aleatorias independientes es igual a la convolución de sus distribuciones de probabilidad . Así que si

${\displaystyle Z=Y_{1}+\cdots +Y_{n}}$

con Y _i independiente entonces

${\displaystyle {\widetilde {Z}}(s)={\widetilde {Y}}_{1}(s)\cdots {\widetilde {Y}}_{n}(s)}$

por lo tanto, en el caso de que Z tenga una distribución Erlang,

${\displaystyle {\widetilde {Z}}(s)=\left({\frac {\lambda }{\lambda +s}}\right)^{n}.}$

Distribución uniforme

Para U con distribución uniforme en el intervalo ( a , b ), la transformación viene dada por

${\displaystyle {\widetilde {U}}(s)=\int _{a}^{b}e^{-st}{\frac {1}{b-a}}dt={\frac {e^{-sa}-e^{-sb}}{s(b-a)}}.}$

Referencias

1. Harchol-Balter, M. (2012). "Análisis de transformación". Modelado y Diseño de Rendimiento de Sistemas Informáticos . págs. 433–449. doi :10.1017/CBO9781139226424.032. ISBN 9781139226424.

• Apostol, TM (1957), Análisis matemático (1.ª ed.), Reading, MA: Addison-Wesley; 2ª ed. (1974) ISBN 0-201-00288-4 . 
• Apostol, TM (1997), Funciones modulares y series de Dirichlet en teoría de números (2ª ed.), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-97127-0.
• Grimmett, GR; Stirzaker, DR (2001), Probabilidad y procesos aleatorios (3.ª ed.), Oxford: Oxford University Press, ISBN 0-19-857222-0.
• Hille, Einar ; Phillips, Ralph S. (1974), Análisis funcional y semigrupos , Providence, RI: American Mathematical Society , MR  0423094.
• Zhavrid, NS (2001) [1994], "Transformada de Laplace", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press.