Prueba de Wiles del último teorema de Fermat

1995 publication in mathematics

Sir Andrew John Wiles

La demostración de Wiles del último teorema de Fermat es una demostración del matemático británico Sir Andrew Wiles de un caso especial del teorema de modularidad para curvas elípticas . Junto con el teorema de Ribet , proporciona una demostración del último teorema de Fermat . Casi todos los matemáticos vivos de la época creían que tanto el último teorema de Fermat como el teorema de modularidad eran imposibles de demostrar utilizando el conocimiento previo. ^{[1] : 203–205, 223, 226}

Wiles anunció por primera vez su demostración el 23 de junio de 1993 en una conferencia en Cambridge titulada "Formas modulares, curvas elípticas y representaciones de Galois". ^[2] Sin embargo, en septiembre de 1993 se descubrió que la demostración contenía un error. Un año después, el 19 de septiembre de 1994, en lo que él llamaría "el momento más importante de [su] vida laboral", Wiles se topó con una revelación que le permitió corregir la demostración a satisfacción de la comunidad matemática. La demostración corregida se publicó en 1995. ^[3]

La prueba de Wiles utiliza muchas técnicas de la geometría algebraica y la teoría de números , y tiene muchas ramificaciones en estas ramas de las matemáticas. También utiliza construcciones estándar de la geometría algebraica moderna, como la categoría de esquemas , ideas teóricas de números significativos de la teoría de Iwasawa y otras técnicas del siglo XX que no estaban disponibles para Fermat. El método de la prueba de identificación de un anillo de deformación con un álgebra de Hecke (ahora conocido como teorema R=T ) para demostrar teoremas de elevación de modularidad ha sido un desarrollo influyente en la teoría algebraica de números .

En conjunto, los dos artículos que contienen la prueba tienen 129 páginas, ^{[4] [5]} y consumieron más de siete años del tiempo de investigación de Wiles. John Coates describió la prueba como uno de los mayores logros de la teoría de números, y John Conway la llamó "la prueba del siglo [XX]". ^[6] El camino de Wiles para demostrar el Último Teorema de Fermat, mediante la demostración del teorema de modularidad para el caso especial de curvas elípticas semiestables , estableció poderosas técnicas de elevación de la modularidad y abrió enfoques completamente nuevos para muchos otros problemas. Por demostrar el Último Teorema de Fermat, fue nombrado caballero y recibió otros honores como el Premio Abel 2016. Al anunciar que Wiles había ganado el Premio Abel, la Academia Noruega de Ciencias y Letras describió su logro como una "prueba asombrosa". ^[3]

Precursores de la prueba de Wiles

El último teorema de Fermat y los avances hasta 1980

El último teorema de Fermat , formulado en 1637, establece que no hay tres números enteros positivos a , b y c que puedan satisfacer la ecuación

${\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}}$

si n es un entero mayor que dos ( n > 2).

Con el tiempo, esta simple afirmación se convirtió en una de las afirmaciones no demostradas más famosas de las matemáticas. Entre su publicación y la solución final de Andrew Wiles más de 350 años después, muchos matemáticos y aficionados intentaron demostrar esta afirmación, ya sea para todos los valores de n > 2 o para casos específicos. Esto estimuló el desarrollo de áreas completamente nuevas dentro de la teoría de números . Finalmente, se encontraron pruebas para todos los valores de n hasta alrededor de 4 millones, primero a mano y luego por computadora. Sin embargo, no se encontró ninguna prueba general que fuera válida para todos los valores posibles de n , ni siquiera una pista de cómo se podría llevar a cabo tal prueba.

La conjetura de Taniyama-Shimura-Weil

Aparte de todo lo relacionado con el último teorema de Fermat, en los años 1950 y 1960 el matemático japonés Goro Shimura , basándose en las ideas planteadas por Yutaka Taniyama , conjeturó que podría existir una conexión entre las curvas elípticas y las formas modulares . Se trataba de objetos matemáticos sin ninguna conexión conocida entre ellos. Taniyama y Shimura plantearon la cuestión de si, sin que los matemáticos lo supieran, los dos tipos de objetos eran en realidad objetos matemáticos idénticos, solo vistos de formas diferentes.

Ellos conjeturaron que cada curva elíptica racional también es modular . Esto se conoció como la conjetura de Taniyama-Shimura. En Occidente, esta conjetura se hizo conocida a través de un artículo de 1967 de André Weil , quien proporcionó evidencia conceptual de ella; por lo tanto, a veces se la llama conjetura de Taniyama-Shimura-Weil.

Hacia 1980, se había acumulado mucha evidencia para formular conjeturas sobre las curvas elípticas y se habían escrito muchos artículos que examinaban las consecuencias si la conjetura fuera cierta, pero la conjetura en sí no estaba probada y generalmente se consideraba inaccesible, lo que significa que los matemáticos creían que una prueba de la conjetura era probablemente imposible usando el conocimiento actual.

Durante décadas, la conjetura siguió siendo un problema importante pero no resuelto en matemáticas. Unos 50 años después de su primera propuesta, la conjetura finalmente fue demostrada y rebautizada como teorema de modularidad , en gran medida como resultado del trabajo de Andrew Wiles que se describe a continuación.

Curva de Frey

En otra rama de desarrollo separada, a finales de la década de 1960, Yves Hellegouarch propuso la idea de asociar soluciones hipotéticas ( a , b , c ) de la ecuación de Fermat con un objeto matemático completamente diferente: una curva elíptica. ^[7] La ​​curva consiste en todos los puntos en el plano cuyas coordenadas ( x ,  y ) satisfacen la relación

${\displaystyle y^{2}=x(x-a^{n})(x+b^{n}).}$

Una curva elíptica de este tipo gozaría de propiedades muy especiales debido a la aparición de altas potencias de números enteros en su ecuación y al hecho de que a ⁿ  +  b ⁿ = c ⁿ sería también una n -ésima potencia.

En 1982-1985, Gerhard Frey llamó la atención sobre las propiedades inusuales de esta misma curva, ahora llamada curva de Frey . Demostró que era probable que la curva pudiera vincular a Fermat y Taniyama, ya que cualquier contraejemplo al Último Teorema de Fermat probablemente también implicaría que existía una curva elíptica que no era modular . Frey demostró que había buenas razones para creer que cualquier conjunto de números ( a , b , c , n ) capaz de refutar el Último Teorema de Fermat probablemente también podría usarse para refutar la conjetura de Taniyama–Shimura–Weil. Por lo tanto, si la conjetura de Taniyama–Shimura–Weil fuera cierta, no podría existir ningún conjunto de números capaz de refutar a Fermat, por lo que el Último Teorema de Fermat también tendría que ser cierto.

La conjetura dice que cada curva elíptica con coeficientes racionales puede construirse de una manera completamente diferente, no dando su ecuación sino usando funciones modulares para parametrizar las coordenadas x e y de los puntos sobre ella. Así, según la conjetura, cualquier curva elíptica sobre Q tendría que ser una curva elíptica modular , pero si existiera una solución a la ecuación de Fermat con a , b , c y n no nulos mayores que 2, la curva correspondiente no sería modular, lo que daría lugar a una contradicción. Si se pudiera demostrar el vínculo identificado por Frey, entonces, a su vez, significaría que una refutación del Último Teorema de Fermat refutaría la conjetura de Taniyama–Shimura–Weil o, por contraposición, una prueba de esta última probaría también la primera. ^[8]

Teorema de Ribet

Para completar este vínculo, era necesario demostrar que la intuición de Frey era correcta: que una curva de Frey, si existía, no podía ser modular. En 1985, Jean-Pierre Serre proporcionó una prueba parcial de que una curva de Frey no podía ser modular. Serre no proporcionó una prueba completa de su propuesta; la parte faltante (que Serre había notado tempranamente ^{[9] : 1} ) se conoció como la conjetura épsilon (a veces escrita ε-conjetura; ahora conocida como teorema de Ribet ). El principal interés de Serre estaba en una conjetura aún más ambiciosa, la conjetura de Serre sobre las representaciones modulares de Galois , que implicaría la conjetura de Taniyama–Shimura–Weil. Sin embargo, su prueba parcial estuvo cerca de confirmar el vínculo entre Fermat y Taniyama.

En el verano de 1986, Ken Ribet logró demostrar la conjetura de épsilon, conocida actualmente como teorema de Ribet . Su artículo se publicó en 1990. Al hacerlo, Ribet demostró finalmente el vínculo entre los dos teoremas al confirmar, como Frey había sugerido, que una prueba de la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil para los tipos de curvas elípticas que Frey había identificado, junto con el teorema de Ribet, también demostraría el último teorema de Fermat.

En términos matemáticos, el teorema de Ribet mostró que si la representación de Galois asociada a una curva elíptica tiene ciertas propiedades (que tiene la curva de Frey), entonces esa curva no puede ser modular, en el sentido de que no puede existir una forma modular que dé lugar a la misma representación de Galois. ^[10]

Situación previa a la prueba de Wiles

Siguiendo los desarrollos relacionados con la curva de Frey y su vínculo con Fermat y Taniyama, una prueba del último teorema de Fermat se seguiría de una prueba de la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil, o al menos una prueba de la conjetura para los tipos de curvas elípticas que incluían la ecuación de Frey (conocidas como curvas elípticas semiestables ).

• A partir del Teorema de Ribet y la curva de Frey, cualesquiera 4 números que puedan usarse para refutar el Último Teorema de Fermat también podrían usarse para construir una curva elíptica semiestable ("curva de Frey") que nunca podría ser modular;
• Pero si la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil también fuera cierta para las curvas elípticas semiestables, entonces, por definición, cada curva de Frey que existiera debía ser modular.
• La contradicción sólo podía tener una respuesta : si el teorema de Ribet y la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil para curvas semiestables fueran ambos ciertos, entonces significaría que no podría haber ninguna solución para la ecuación de Fermat, porque entonces no habría curvas de Frey en absoluto, lo que significa que no existirían contradicciones. Esto demostraría finalmente el Último Teorema de Fermat.

Sin embargo, a pesar del progreso realizado por Serre y Ribet, este enfoque de Fermat también fue considerado ampliamente inutilizable, ya que casi todos los matemáticos vieron la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil como completamente inaccesible para probar con el conocimiento actual. ^{[1] : 203–205, 223, 226} Por ejemplo, el ex supervisor de Wiles, John Coates, afirmó que parecía "imposible de probar realmente", ^{[1] : 226} y Ken Ribet se consideró a sí mismo "uno de la gran mayoría de personas que creían que [era] completamente inaccesible". ^{[1] : 223}

Andrés Wiles

Al enterarse de la prueba de la conjetura épsilon de Ribet en 1986, el matemático inglés Andrew Wiles, que había estudiado curvas elípticas y tenía una fascinación infantil con Fermat, decidió comenzar a trabajar en secreto para lograr una prueba de la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil, ya que ahora era profesionalmente justificable, ^[11] así como por el atractivo objetivo de demostrar un problema de tan larga data.

Ribet comentó más tarde que "Andrew Wiles fue probablemente una de las pocas personas en la Tierra que tuvo la audacia de soñar que realmente se puede ir y demostrarlo". ^{[1] : 223}

Anuncio y desarrollos posteriores

Wiles presentó inicialmente su demostración en 1993. Finalmente, se aceptó como correcta y se publicó en 1995, tras la corrección de un sutil error en una parte de su artículo original. Su trabajo se amplió hasta una demostración completa del teorema de modularidad durante los seis años siguientes, gracias a otros autores que se basaron en el trabajo de Wiles.

Anuncio y prueba final (1993-1995)

Del 21 al 23 de junio de 1993, Wiles anunció y presentó su prueba de la conjetura de Taniyama-Shimura para curvas elípticas semiestables, y por lo tanto del Último Teorema de Fermat, a lo largo de tres conferencias pronunciadas en el Instituto Isaac Newton de Ciencias Matemáticas en Cambridge, Inglaterra . ^[2] Hubo una cantidad relativamente grande de cobertura de prensa posteriormente. ^[12]

Tras el anuncio, Nick Katz fue designado como uno de los árbitros encargados de revisar el manuscrito de Wiles. En el curso de su revisión, le formuló a Wiles una serie de preguntas aclaratorias que le llevaron a reconocer que la prueba contenía una laguna. Había un error en una parte crítica de la prueba que daba un límite para el orden de un grupo particular: el sistema de Euler utilizado para extender el método de Kolyvagin y Flach estaba incompleto. El error no habría hecho que su trabajo fuera inútil: cada parte del trabajo de Wiles era muy significativa e innovadora por sí misma, al igual que los muchos desarrollos y técnicas que había creado en el curso de su trabajo, y solo una parte se vio afectada. ^{[1] : 289, 296–297} Sin embargo, sin probar esta parte, no había una prueba real del Último Teorema de Fermat.

Wiles pasó casi un año intentando reparar su prueba, inicialmente por sí mismo y luego en colaboración con su ex alumno Richard Taylor , sin éxito. ^{[13] [14] [15]} A finales de 1993, se habían extendido rumores de que bajo escrutinio, la prueba de Wiles había fallado, pero no se sabía cuán gravemente. Los matemáticos estaban empezando a presionar a Wiles para que revelara su trabajo, estuviera completo o no, para que la comunidad en general pudiera explorar y utilizar lo que había logrado. En lugar de ser solucionado, el problema, que originalmente había parecido menor, ahora parecía muy significativo, mucho más serio y menos fácil de resolver. ^[16]

Wiles afirma que en la mañana del 19 de septiembre de 1994, estaba a punto de darse por vencido y estaba casi resignado a aceptar que había fracasado y a publicar su trabajo para que otros pudieran seguir trabajando sobre él y encontrar el error. Afirma que estaba echando un último vistazo para tratar de entender las razones fundamentales por las que su enfoque no podía funcionar, cuando de repente tuvo la idea de que la razón específica por la que el enfoque de Kolyvagin-Flach no funcionaría directamente también significaba que su intento original de utilizar la teoría de Iwawawa podría funcionar si lo reforzaba utilizando la experiencia adquirida con el enfoque de Kolyvagin-Flach desde entonces. Cada uno era inadecuado por sí mismo, pero corregir un enfoque con herramientas del otro resolvería el problema y produciría una fórmula de número de clase (CNF) válida para todos los casos que no estuvieran ya probados por su artículo arbitrado: ^{[13] [17]}

Estaba sentado en mi escritorio examinando el método Kolyvagin-Flach. No es que creyera que podía hacerlo funcionar, pero pensé que al menos podía explicar por qué no funcionaba. De repente tuve una revelación increíble. Me di cuenta de que el método Kolyvagin-Flach no estaba funcionando, pero era todo lo que necesitaba para que funcionara mi teoría original de Iwasawa de tres años antes. Así que de las cenizas del método Kolyvagin-Flach pareció surgir la verdadera respuesta al problema. Era tan indescriptiblemente hermoso; era tan simple y tan elegante. No podía entender cómo lo había pasado por alto y me quedé mirándolo con incredulidad durante veinte minutos. Luego, durante el día, caminaba por el departamento y volvía una y otra vez a mi escritorio para ver si todavía estaba allí. Todavía estaba allí. No podía contenerme, estaba tan emocionado. Fue el momento más importante de mi vida laboral. Nada de lo que vuelva a hacer significará tanto.

—Andrew  Wiles, citado por Simon Singh ^[18]

El 6 de octubre, Wiles pidió a tres colegas (incluido Gerd Faltings ) que revisaran su nueva prueba, ^[19] y el 24 de octubre de 1994, Wiles presentó dos manuscritos, "Curvas elípticas modulares y el último teorema de Fermat" ^[4] y "Propiedades teóricas de anillos de ciertas álgebras de Hecke", ^[5] el segundo de los cuales Wiles había escrito con Taylor y demostraba que se cumplían ciertas condiciones que eran necesarias para justificar el paso corregido en el artículo principal.

Los dos artículos fueron examinados y finalmente publicados como la totalidad de la edición de mayo de 1995 de Annals of Mathematics . La nueva prueba fue ampliamente analizada y se aceptó como probablemente correcta en sus componentes principales. ^{[6] [10] [11]} Estos artículos establecieron el teorema de modularidad para curvas elípticas semiestables, el último paso para demostrar el último teorema de Fermat, 358 años después de que se conjeturara.

Desarrollos posteriores

Fermat afirmó haber "descubierto una prueba verdaderamente maravillosa de esto, que este margen es demasiado estrecho para contener". ^{[20] [21]} La prueba de Wiles es muy compleja e incorpora el trabajo de tantos otros especialistas que se sugirió en 1994 que solo un pequeño número de personas eran capaces de comprender completamente en ese momento todos los detalles de lo que había hecho. ^{[2] [22]} La complejidad de la prueba de Wiles motivó una conferencia de 10 días en la Universidad de Boston ; el libro de actas de conferencias resultante tuvo como objetivo hacer que la gama completa de temas requeridos fuera accesible a los estudiantes de posgrado en teoría de números. ^[9]

Como se señaló anteriormente, Wiles demostró la conjetura de Taniyama–Shimura–Weil para el caso especial de curvas elípticas semiestables, en lugar de para todas las curvas elípticas. Durante los años siguientes, Christophe Breuil , Brian Conrad , Fred Diamond y Richard Taylor (a veces abreviado como "BCDT") llevaron el trabajo más allá, y finalmente demostraron la conjetura de Taniyama–Shimura–Weil para todas las curvas elípticas en un artículo de 2001. ^[23] Ahora probada, la conjetura pasó a conocerse como el teorema de modularidad .

En 2005, el informático holandés Jan Bergstra planteó el problema de formalizar la prueba de Wiles de tal manera que pudiera ser verificada por computadora . ^[24]

Resumen de la prueba de Wiles

Wiles demostró el teorema de modularidad para curvas elípticas semiestables, del que se desprende el último teorema de Fermat mediante la demostración por contradicción . En este método de demostración, se supone lo opuesto de lo que se quiere demostrar y se demuestra que, si fuera cierto, se crearía una contradicción. La contradicción demuestra que la suposición (que la conclusión es errónea) debe haber sido incorrecta, lo que requiere que la conclusión se mantenga.

La prueba se divide en dos partes: en la primera, Wiles demuestra un resultado general sobre los " ascensores ", conocido como "teorema de elevación por modularidad". Esta primera parte le permite demostrar resultados sobre curvas elípticas al convertirlos en problemas sobre representaciones de Galois de curvas elípticas. Luego utiliza este resultado para demostrar que todas las curvas semiestables son modulares, al demostrar que las representaciones de Galois de estas curvas son modulares.

Detalle matemático de la prueba de Wiles

Descripción general

Wiles optó por intentar hacer coincidir las curvas elípticas con un conjunto contable de formas modulares. Descubrió que este enfoque directo no funcionaba, por lo que transformó el problema haciendo coincidir las representaciones de Galois de las curvas elípticas con formas modulares. Wiles denomina esta coincidencia (o mapeo) como, más específicamente, un homomorfismo de anillo :

${\displaystyle R_{n}\rightarrow \mathbf {T} _{n}.}$

${\displaystyle R}$es un anillo de deformación y es un anillo de Hecke . ${\displaystyle \mathbf {T} }$

Wiles tuvo la idea de que en muchos casos este homomorfismo de anillo podría ser un isomorfismo de anillo (Conjetura 2.16 en el Capítulo 2, §3 del artículo de 1995 ^[4] ). Se dio cuenta de que la función entre y es un isomorfismo si y solo si dos grupos abelianos que aparecen en la teoría son finitos y tienen la misma cardinalidad . Esto a veces se conoce como el "criterio numérico". Dado este resultado, el último teorema de Fermat se reduce a la afirmación de que dos grupos tienen el mismo orden. Gran parte del texto de la prueba conduce a temas y teoremas relacionados con la teoría de anillos y la teoría de conmutación . El objetivo de Wiles era verificar que la función es un isomorfismo y, en última instancia, que . Al tratar las deformaciones, Wiles definió cuatro casos, siendo el caso de deformación plana el que requería más esfuerzo para demostrarse y se trató en un artículo separado en el mismo volumen titulado "Propiedades teóricas de anillos de ciertas álgebras de Hecke". ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathbf {T} }$ ${\displaystyle R\rightarrow \mathbf {T} }$ ${\displaystyle R=\mathbf {T} }$

Gerd Faltings , en su boletín, da el siguiente diagrama conmutativo (p. 745):

o , en última instancia, que , indica una intersección completa . Como Wiles no podía demostrarlo directamente, lo hizo mediante ascensores . ${\displaystyle R=\mathbf {T} }$ ${\displaystyle R=\mathbf {T} }$ ${\displaystyle \mathbf {Z} _{3},\mathbf {F} _{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {T} /{\mathfrak {m}}}$

Para realizar esta comparación, Wiles tuvo que crear una fórmula de número de clase (CNF). Primero intentó usar la teoría de Iwasawa horizontal , pero esa parte de su trabajo tenía un problema sin resolver, de modo que no pudo crear una CNF. A fines del verano de 1991, se enteró de un sistema de Euler desarrollado recientemente por Victor Kolyvagin y Matthias Flach que parecía "hecho a medida" para la parte inductiva de su prueba, que podría usarse para crear una CNF, por lo que Wiles dejó de lado su trabajo de Iwasawa y comenzó a trabajar para extender el trabajo de Kolyvagin y Flach, con el fin de crear la CNF que su prueba requeriría. ^[25] Para la primavera de 1993, su trabajo había cubierto todas las familias de curvas elípticas, excepto unas pocas, y a principios de 1993, Wiles estaba lo suficientemente seguro de su éxito cercano como para dejarle saber su secreto a un colega de confianza. Como su trabajo dependía en gran medida del uso del método Kolyvagin-Flach, que era nuevo para las matemáticas y para Wiles, y que él también había ampliado, en enero de 1993 le pidió a su colega de Princeton, Nick Katz , que lo ayudara a revisar su trabajo para detectar errores sutiles. Su conclusión en ese momento fue que las técnicas que utilizó Wiles parecían funcionar correctamente. ^{[1] : 261–265  [26]}

Más tarde se descubrió que el uso de Kolyvagin–Flach por parte de Wiles fue el punto de falla en la presentación de la prueba original, y finalmente tuvo que volver a la teoría de Iwasawa y a colaborar con Richard Taylor para solucionarlo. En mayo de 1993, mientras leía un artículo de Mazur, Wiles tuvo la idea de que el cambio 3/5 resolvería los problemas finales y luego cubriría todas las curvas elípticas.

Enfoque general y estrategia

Dada una curva elíptica sobre el cuerpo de los números racionales , para cada potencia prima , existe un homomorfismo del grupo absoluto de Galois ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ ${\displaystyle E({\bar {\mathbf {Q} }})}$ ${\displaystyle \ell ^{n}}$

${\displaystyle \operatorname {Gal} ({\bar {\mathbf {Q} }}/\mathbf {Q} )}$

a

${\displaystyle \operatorname {GL} _{2}(\mathbf {Z} /\ell ^{n}\mathbf {Z} ),}$

el grupo de matrices invertibles de 2 por 2 cuyos elementos son enteros módulo . Esto se debe a que , los puntos de sobre , forman un grupo abeliano sobre el que actúa ; el subgrupo de elementos tales que es justamente , y un automorfismo de este grupo es una matriz del tipo descrito. ${\displaystyle \ell ^{n}}$ ${\displaystyle E({\bar {\mathbf {Q} }})}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\bar {\mathbf {Q} }}}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} ({\bar {\mathbf {Q} }}/\mathbf {Q} )}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \ell ^{n}x=0}$ ${\displaystyle (\mathbf {Z} /\ell ^{n}\mathbf {Z} )^{2}}$

Menos obvio es que dada una forma modular de un cierto tipo especial, una forma propia de Hecke con valores propios en , también se obtiene un homomorfismo ${\displaystyle \mathbf {Q} }$

${\displaystyle \operatorname {Gal} ({\bar {\mathbf {Q} }}/\mathbf {Q} )\rightarrow \operatorname {GL} _{2}(\mathbf {Z} /\ell ^{n}\mathbf {Z} ).}$

This goes back to Eichler and Shimura. The idea is that the Galois group acts first on the modular curve on which the modular form is defined, thence on the Jacobian variety of the curve, and finally on the points of ${\displaystyle \ell ^{n}}$ power order on that Jacobian. The resulting representation is not usually 2-dimensional, but the Hecke operators cut out a 2-dimensional piece. It is easy to demonstrate that these representations come from some elliptic curve but the converse is the difficult part to prove.

Instead of trying to go directly from the elliptic curve to the modular form, one can first pass to the ${\displaystyle {\bmod {\ell ^{n}}}}$ representation for some ${\displaystyle \ell }$ and ${\displaystyle n}$, and from that to the modular form. In the case where ${\displaystyle \ell =3}$ and ${\displaystyle n=1}$, results of the Langlands–Tunnell theorem show that the ${\displaystyle {\bmod {3}}}$ representation of any elliptic curve over ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ comes from a modular form. The basic strategy is to use induction on ${\displaystyle n}$ to show that this is true for ${\displaystyle \ell =3}$ and any ${\displaystyle n}$, that ultimately there is a single modular form that works for all n. To do this, one uses a counting argument, comparing the number of ways in which one can lift a ${\displaystyle {\bmod {\ell ^{n}}}}$ Galois representation to one ${\displaystyle {\bmod {\ell ^{n+1}}}}$ and the number of ways in which one can lift a ${\displaystyle {\bmod {\ell ^{n}}}}$ modular form. An essential point is to impose a sufficient set of conditions on the Galois representation; otherwise, there will be too many lifts and most will not be modular. These conditions should be satisfied for the representations coming from modular forms and those coming from elliptic curves.

3–5 trick

If the original ${\displaystyle (\mathrm {mod} \,3)}$ representation has an image which is too small, one runs into trouble with the lifting argument, and in this case, there is a final trick which has since been studied in greater generality in the subsequent work on the Serre modularity conjecture. The idea involves the interplay between the ${\displaystyle (\mathrm {mod} \,3)}$ and ${\displaystyle (\mathrm {mod} \,5)}$ representations. In particular, if the mod-5 Galois representation ${\displaystyle {\overline {\rho }}_{E,5}}$ associated to an semistable elliptic curve E over Q is irreducible, then there is another semistable elliptic curve E' over Q such that its associated mod-5 Galois representation ${\displaystyle {\overline {\rho }}_{E',5}}$ is isomorphic to ${\displaystyle {\overline {\rho }}_{E,5}}$ and such that its associated mod-3 Galois representation ${\displaystyle {\overline {\rho }}_{E,3}}$ is irreducible (and therefore modular by Langlands–Tunnell).^[27]

Structure of Wiles's proof

In his 108-page article published in 1995, Wiles divides the subject matter up into the following chapters (preceded here by page numbers):

Introduction

443

Chapter 1

455 1. Deformations of Galois representations

472 2. Some computations of cohomology groups

475 3. Some results on subgroups of GL₂(k)

Chapter 2

479 1. The Gorenstein property

489 2. Congruences between Hecke rings

503 3. The main conjectures

Chapter 3

517 Estimates for the Selmer group

Chapter 4

525 1. The ordinary CM case

533 2. Calculation of η

Chapter 5

541 Application to elliptic curves

Appendix

545 Gorenstein rings and local complete intersections

Gerd Faltings subsequently provided some simplifications to the 1995 proof, primarily in switching from geometric constructions to rather simpler algebraic ones.^[19][28] The book of the Cornell conference also contained simplifications to the original proof.^[9]

Overviews available in the literature

Wiles's paper is over 100 pages long and often uses the specialised symbols and notations of group theory, algebraic geometry, commutative algebra, and Galois theory. The mathematicians who helped to lay the groundwork for Wiles often created new specialised concepts and technical jargon.

Among the introductory presentations are an email which Ribet sent in 1993;^[29][30] Hesselink's quick review of top-level issues, which gives just the elementary algebra and avoids abstract algebra;^[24] or Daney's web page, which provides a set of his own notes and lists the current books available on the subject. Weston attempts to provide a handy map of some of the relationships between the subjects.^[31] F. Q. Gouvêa's 1994 article "A Marvelous Proof", which reviews some of the required topics, won a Lester R. Ford award from the Mathematical Association of America.^[32][33] Faltings' 5-page technical bulletin on the matter is a quick and technical review of the proof for the non-specialist.^[34] For those in search of a commercially available book to guide them, he recommended that those familiar with abstract algebra read Hellegouarch, then read the Cornell book,^[9] which is claimed to be accessible to "a graduate student in number theory". The Cornell book does not cover the entirety of the Wiles proof.^[12]

See also

• Abstract algebra
• p-adic number
• Semistable curves

References

1. Fermat's Last Theorem, Simon Singh, 1997, ISBN 1-85702-521-0
2. Kolata, Gina (24 June 1993). "At Last, Shout of 'Eureka!' In Age-Old Math Mystery". The New York Times. Archived from the original on 26 July 2023. Retrieved 21 January 2013.
3. "The Abel Prize 2016". Norwegian Academy of Science and Letters. 2016. Archived from the original on 20 May 2020. Retrieved 29 June 2017.
4. Wiles, Andrew (1995). "Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem". Annals of Mathematics. 141 (3): 443–551. CiteSeerX 10.1.1.169.9076. doi:10.2307/2118559. JSTOR 2118559. OCLC 37032255.
5. Taylor R, Wiles A (1995). "Ring theoretic properties of certain Hecke algebras". Annals of Mathematics. 141 (3): 553–572. CiteSeerX 10.1.1.128.531. doi:10.2307/2118560. JSTOR 2118560. OCLC 37032255. Archived from the original on 27 November 2001.
6. "NOVA – Transcripts – The Proof – PBS". PBS. September 2006. Archived from the original on 6 June 2017. Retrieved 29 June 2017.
7. Hellegouarch, Yves (2001). Invitation to the Mathematics of Fermat–Wiles. Academic Press. ISBN 978-0-12-339251-0.
8. Singh, pp. 194–198; Aczel, pp. 109–114.
9. G. Cornell, J. H. Silverman and G. Stevens, Modular forms and Fermat's Last Theorem, ISBN 0-387-94609-8
10. Daney, Charles (13 March 1996). "The Proof of Fermat's Last Theorem". Archived from the original on 10 December 2008. Retrieved 29 June 2017.
11. "Andrew Wiles on Solving Fermat". PBS. 1 November 2000. Archived from the original on 17 March 2016. Retrieved 29 June 2017.
12. Buzzard, Kevin (22 February 1999). "Review of Modular forms and Fermat's Last Theorem, by G. Cornell, J. H. Silverman, and G. Stevens" (PDF). Bulletin of the American Mathematical Society. 36 (2): 261–266. doi:10.1090/S0273-0979-99-00778-8. Archived (PDF) from the original on 11 November 2017. Retrieved 29 June 2017.
13. Singh, pp. 269–277.
14. Kolata, Gina (28 June 1994). "A Year Later, Snag Persists In Math Proof". The New York Times. ISSN 0362-4331. Archived from the original on 26 August 2016. Retrieved 29 June 2017.
15. Kolata, Gina (3 July 1994). "June 26-July 2; A Year Later Fermat's Puzzle Is Still Not Quite Q.E.D." The New York Times. ISSN 0362-4331. Archived from the original on 26 August 2016. Retrieved 29 June 2017.
16. Singh, pp. 175–185.
17. Aczel, pp. 132–134.
18. Singh pp. 186–187 (text condensed).
19. "Fermat's last theorem". MacTutor History of Mathematics. February 1996. Archived from the original on 2 February 2007. Retrieved 29 June 2017.
20. Cornell, Gary; Silverman, Joseph H.; Stevens, Glenn (2013). Modular Forms and Fermat's Last Theorem (illustrated ed.). Springer Science & Business Media. p. 549. ISBN 978-1-4612-1974-3. Archived from the original on 1 March 2023. Retrieved 13 November 2016. Extract of page 549
21. O'Carroll, Eoin (17 August 2011). "Why Pierre de Fermat is the patron saint of unfinished business". The Christian Science Monitor. ISSN 0882-7729. Archived from the original on 8 August 2017. Retrieved 29 June 2017.
22. Granville, Andrew. "History of Fermat's Last Theorem". Archived from the original on 8 August 2017. Retrieved 29 June 2017.
23. Breuil, Christophe; Conrad, Brian; Diamond, Fred; Taylor, Richard (2001). "On the modularity of elliptic curves over 𝐐: Wild 3-adic exercises". Journal of the American Mathematical Society. 14 (4): 843–939. doi:10.1090/S0894-0347-01-00370-8. ISSN 0894-0347.
24. Hesselink, Wim H. (3 April 2008). "Computer verification of Wiles' proof of Fermat's Last Theorem". www.cs.rug.nl. Archived from the original on 18 June 2008. Retrieved 29 June 2017.
25. Singh p.259-262
26. Singh, pp. 239–243; Aczel, pp. 122–125.
27. Chapter 5 of Wiles, Andrew (1995). "Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem" (PDF). Annals of Mathematics. 141 (3): 443–551. CiteSeerX 10.1.1.169.9076. doi:10.2307/2118559. JSTOR 2118559. OCLC 37032255. Archived from the original (PDF) on 10 May 2011. Retrieved 13 March 2009.
28. Malek, Massoud (6 January 1996). "Fermat's Last Theorem". Archived from the original on 26 September 2019. Retrieved 29 June 2017.
29. "sci.math FAQ: Wiles attack". www.faqs.org. Archived from the original on 15 February 2009. Retrieved 29 June 2017.
30. "Fermat's Last Theorem, a Theorem at Last" (PDF). FOCUS. August 1993. Archived (PDF) from the original on 4 August 2016. Retrieved 29 June 2017.
31. Weston, Tom. "Research Summary Topics". people.math.umass.edu. Archived from the original on 20 October 2017. Retrieved 29 June 2017.
32. Gouvêa, Fernando (1994). "A Marvelous Proof". American Mathematical Monthly. 101 (3): 203–222. doi:10.2307/2975598. JSTOR 2975598. Archived from the original on 26 October 2023. Retrieved 29 June 2017.
33. "The Mathematical Association of America's Lester R. Ford Award". Archived from the original on 31 July 2016. Retrieved 29 June 2017.
34. Faltings, Gerd (July 1995). "The Proof of Fermat's Last Theorem by R. Taylor and A. Wiles" (PDF). Notices of the American Mathematical Society. 42 (7): 743–746. Archived (PDF) from the original on 12 September 2019. Retrieved 13 March 2009.

Bibliography

• Aczel, Amir (1 January 1997). Fermat's Last Theorem: Unlocking the Secret of an Ancient Mathematical Problem. Basic Books. ISBN 978-1-56858-077-7. Zbl 0878.11003.
• Coates, John (July 1996). "Wiles Receives NAS Award in Mathematics" (PDF). Notices of the AMS. 43 (7): 760–763. Zbl 1029.01513.
• Cornell, Gary (1 January 1998). Modular Forms and Fermat's Last Theorem. Springer. ISBN 978-0-387-94609-2. Zbl 0878.11004. (Cornell, et al.)
• Daney, Charles (2003). "The Mathematics of Fermat's Last Theorem". Archived from the original on 3 August 2004. Retrieved 5 August 2004.
• Darmon, H. (9 September 2007). "Wiles' theorem and the arithmetic of elliptic curves" (PDF).
• Faltings, Gerd (July 1995). "The Proof of Fermat's Last Theorem by R. Taylor and A. Wiles" (PDF). Notices of the AMS. 42 (7): 743–746. ISSN 0002-9920. Zbl 1047.11510.
• Frey, Gerhard (1986). "Links between stable elliptic curves and certain diophantine equations". Ann. Univ. Sarav. Ser. Math. 1: 1–40. Zbl 0586.10010.
• Hellegouarch, Yves (1 January 2001). Invitation to the Mathematics of Fermat–Wiles. Academic Press. ISBN 978-0-12-339251-0. Zbl 0887.11003. See review
• Mozzochi, Charles (7 December 2000). The Fermat Diary. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-2670-6. Zbl 0955.11002. See also Gouvêa, Fernando Q. (2001). "Review: Wiles's Proof, 1993–1995: The Fermat Diary by C. J. Mozzochi". American Scientist. 89 (3): 281–282. JSTOR 27857485.
• Mozzochi, Charles (6 July 2006). The Fermat Proof. Trafford Publishing. ISBN 978-1-4120-2203-3. Zbl 1104.11001.
• O'Connor, J. J.; Robertson, E. F. (1996). "Fermat's last theorem". Retrieved 5 August 2004.
• van der Poorten, Alfred (1 January 1996). Notes on Fermat's Last Theorem. Wiley. ISBN 978-0-471-06261-5. Zbl 0882.11001.
• Ribenboim, Paulo (1 January 2000). Fermat's Last Theorem for Amateurs. Springer. ISBN 978-0-387-98508-4. Zbl 0920.11016.
• Singh, Simon (October 1998). Fermat's Enigma. New York: Anchor Books. ISBN 978-0-385-49362-8. Zbl 0930.00002.
• Simon Singh "The Whole Story". Archived from the original on 10 May 2011. Edited version of ~2,000-word essay published in Prometheus magazine, describing Andrew Wiles's successful journey.
• Richard Taylor and Andrew Wiles (May 1995). "Ring-theoretic properties of certain Hecke algebras". Annals of Mathematics. 141 (3): 553–572. CiteSeerX 10.1.1.128.531. doi:10.2307/2118560. ISSN 0003-486X. JSTOR 2118560. OCLC 37032255. Zbl 0823.11030.
• Wiles, Andrew (1995). "Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem". Annals of Mathematics. 141 (3): 443–551. CiteSeerX 10.1.1.169.9076. doi:10.2307/2118559. ISSN 0003-486X. JSTOR 2118559. OCLC 37032255. Zbl 0823.11029.

External links

• Weisstein, Eric W. "Fermat's Last Theorem". MathWorld.
• "The Proof". PBS. The title of one edition of the PBS television series NOVA discusses Andrew Wiles's effort to prove Fermat's Last Theorem that broadcast on BBC Horizon and UTV/Documentary as Fermat's Last Theorem (Adobe Flash) (subscription required)
• Wiles, Ribet, Shimura–Taniyama–Weil and Fermat's Last Theorem
• Are mathematicians finally satisfied with Andrew Wiles's proof of Fermat's Last Theorem? Why has this theorem been so difficult to prove?, Scientific American, 21 October 1999
• The Man Who Solved the World’s Hardest Math Problem on YouTube

Explanations of the proof (varying levels)

• Overview of Wiles proof, accessible to non-experts, by Henri Darmon
• Very short summary of the proof by Charles Daney
• 140 page students work-through of the proof, with exercises, by Nigel Boston