Función L de Artin

En matemáticas , una función L de Artin es un tipo de serie de Dirichlet asociada a una representación lineal ρ de un grupo de Galois G. Estas funciones fueron introducidas en 1923 por Emil Artin , en relación con su investigación sobre la teoría de cuerpos de clases . Sus propiedades fundamentales, en particular la conjetura de Artin descrita a continuación, han resultado ser resistentes a una demostración fácil. Uno de los objetivos de la teoría de cuerpos de clases no abeliana propuesta es incorporar la naturaleza analítica compleja de las funciones L de Artin en un marco más amplio, como el proporcionado por las formas automórficas y el programa Langlands . Hasta ahora, solo una pequeña parte de dicha teoría se ha establecido sobre una base sólida.

Definición

Dado , una representación de en un espacio vectorial complejo de dimensión finita , donde es el grupo de Galois de la extensión finita de cuerpos de números, la función de Artin se define por un producto de Euler . Para cada ideal primo en el anillo de enteros de , hay un factor de Euler, que es más fácil de definir en el caso donde no está ramificado en (cierto para casi todos los ). En ese caso, el elemento de Frobenius se define como una clase de conjugación en . Por lo tanto, el polinomio característico de está bien definido. El factor de Euler para es una ligera modificación del polinomio característico, igualmente bien definido, ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L(\rho ,s)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle \mathbf {Frob} ({\mathfrak {p}})}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \rho (\mathbf {Frob} ({\mathfrak {p}}))}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

${\displaystyle \operatorname {charpoly} (\rho (\mathbf {Frob} ({\mathfrak {p}})))^{-1}=\operatorname {det} \left[I-t\rho (\mathbf {Frob} ({\mathfrak {p}}))\right]^{-1},}$

como función racional en t , evaluada en , con una variable compleja en la notación habitual de la función zeta de Riemann . (Aquí N es la norma de campo de un ideal). ${\displaystyle t=N({\mathfrak {p}})^{-s}}$ ${\displaystyle s}$

Cuando se ramifica, e I es el grupo de inercia que es un subgrupo de G , se aplica una construcción similar, pero al subespacio de V fijado (puntualmente) por I . ^{[nota 1]} ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

La función L de Artin es entonces el producto infinito sobre todos los ideales primos de estos factores. Como muestra la reciprocidad de Artin , cuando G es un grupo abeliano, estas funciones L tienen una segunda descripción (como funciones L de Dirichlet cuando K es el cuerpo de números racionales , y como funciones L de Hecke en general). La novedad viene con las funciones G no abelianas y sus representaciones. ${\displaystyle L(\rho ,s)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

Una aplicación es dar factorizaciones de funciones zeta de Dedekind , por ejemplo en el caso de un cuerpo numérico que es Galois sobre los números racionales. De acuerdo con la descomposición de la representación regular en representaciones irreducibles , dicha función zeta se descompone en un producto de funciones L de Artin , para cada representación irreducible de G. Por ejemplo, el caso más simple es cuando G es el grupo simétrico de tres letras. Como G tiene una representación irreducible de grado 2, una función L de Artin para dicha representación aparece, elevada al cuadrado, en la factorización de la función zeta de Dedekind para dicho cuerpo numérico, en un producto con la función zeta de Riemann (para la representación trivial ) y una función L del tipo de Dirichlet para la representación de la signatura.

Más precisamente, para una extensión de Galois de grado n , la factorización ${\displaystyle L/K}$

${\displaystyle \zeta _{L}(s)=L(s,\rho _{\text{regular}})=\prod _{\rho {\text{ Irr rep }}{\text{Gal}}(L/K)}L(\rho ,s)^{\deg(\rho )}}$

se desprende de

${\displaystyle L(\rho ,s)=\prod _{{\mathfrak {p}}\in K}{\frac {1}{\det \left[I-N({\mathfrak {p}})^{-s}\rho (\mathbf {Frob} _{\mathfrak {p}}){|V_{{\mathfrak {p}},\rho }}\right]}}}$

${\displaystyle -\log \det \left[I-N({\mathfrak {p}})^{-s}\rho \left(\mathbf {Frob} _{\mathfrak {p}}\right)\right]=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {{\text{tr}}(\rho (\mathbf {Frob} _{\mathfrak {p}})^{m})}{m}}N({\mathfrak {p}})^{-sm}}$

${\displaystyle \sum _{\rho {\text{ Irr}}}\deg(\rho ){\text{tr}}(\rho (\sigma ))={\begin{cases}n&\sigma =1\\0&\sigma \neq 1\end{cases}}}$

${\displaystyle -\sum _{\rho {\text{ Irr}}}\deg(\rho )\log \det \left[I-N\left({\mathfrak {p}}^{-s}\right)\rho \left(\mathbf {Frob} _{\mathfrak {p}}\right)\right]=n\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {N({\mathfrak {p}})^{-sfm}}{fm}}=-\log \left[\left(1-N({\mathfrak {p}})^{-sf}\right)^{\frac {n}{f}}\right]}$

donde es la multiplicidad de la representación irreducible en la representación regular, f es el orden de y n se reemplaza por n/e en los primos ramificados. ${\displaystyle \deg(\rho )}$ ${\displaystyle \mathbf {Frob} _{\mathfrak {p}}}$

Dado que los caracteres son una base ortonormal de las funciones de clase , después de mostrar algunas propiedades analíticas de las obtenemos el teorema de densidad de Chebotarev como una generalización del teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas . ${\displaystyle L(\rho ,s)}$

Ecuación funcional

Las funciones L de Artin satisfacen una ecuación funcional . La función está relacionada en sus valores con , donde denota la representación conjugada compleja . Más precisamente, L se reemplaza por , que es L multiplicado por ciertos factores gamma , y entonces hay una ecuación de funciones meromórficas ${\displaystyle L(\rho ,s)}$ ${\displaystyle L(\rho ^{*},1-s)}$ ${\displaystyle \rho ^{*}}$ ${\displaystyle \Lambda (\rho ,s)}$

${\displaystyle \Lambda (\rho ,s)=W(\rho )\Lambda (\rho ^{*},1-s)}$,

con un cierto número complejo W (ρ) de valor absoluto 1. Es el número raíz de Artin . Se ha estudiado profundamente con respecto a dos tipos de propiedades. En primer lugar, Robert Langlands y Pierre Deligne establecieron una factorización en constantes locales de Langlands-Deligne ; esto es significativo en relación con las relaciones conjeturales con representaciones automórficas . También el caso de que ρ y ρ* sean representaciones equivalentes es exactamente aquel en el que la ecuación funcional tiene la misma función L en cada lado. Es, algebraicamente hablando, el caso cuando ρ es una representación real o una representación cuaterniónica . El número raíz de Artin es, entonces, +1 o −1. La cuestión de qué signo aparece está vinculada a la teoría del módulo de Galois . ^[1]

La conjetura de Artin

La conjetura de Artin sobre las L-funciones de Artin establece que la L-función de Artin de una representación irreducible no trivial ρ es analítica en todo el plano complejo. ^[2] ${\displaystyle L(\rho ,s)}$

Esto es conocido para representaciones unidimensionales, las funciones L se asocian entonces a caracteres de Hecke —y en particular para las funciones L de Dirichlet . ^[2] De manera más general, Artin demostró que la conjetura de Artin es verdadera para todas las representaciones inducidas a partir de representaciones unidimensionales. Si el grupo de Galois es supersoluble o, de manera más general, monomial , entonces todas las representaciones son de esta forma, por lo que la conjetura de Artin es válida.

André Weil demostró la conjetura de Artin en el caso de campos de funciones .

Las representaciones bidimensionales se clasifican por la naturaleza del subgrupo de la imagen: puede ser cíclico, diedro, tetraédrico, octaédrico o icosaédrico. La conjetura de Artin para el caso cíclico o diedro se desprende fácilmente del trabajo de Erich Hecke . Langlands utilizó el levantamiento por cambio de base para demostrar el caso tetraédrico, y Jerrold Tunnell extendió su trabajo para cubrir el caso octaédrico; ^[3] Andrew Wiles utilizó estos casos en su prueba de la conjetura de modularidad . Richard Taylor y otros han logrado algunos avances en el caso icosaédrico (no resoluble); este es un área activa de investigación. La conjetura de Artin para representaciones bidimensionales impares e irreducibles se desprende de la prueba de la conjetura de modularidad de Serre , independientemente del subgrupo de la imagen proyectiva.

El teorema de Brauer sobre caracteres inducidos implica que todas las funciones L de Artin son productos de potencias integrales positivas y negativas de funciones L de Hecke y, por lo tanto, son meromórficas en todo el plano complejo.

Langlands (1970) señaló que la conjetura de Artin se desprende de resultados suficientemente fuertes de la filosofía de Langlands , relacionados con las L-funciones asociadas a representaciones automórficas para GL(n) para todo . Más precisamente, las conjeturas de Langlands asocian una representación automórfica del grupo adélico GL _n ( A _Q ) a cada representación irreducible n -dimensional del grupo de Galois, que es una representación cúspide si la representación de Galois es irreducible, de modo que la L-función de Artin de la representación de Galois es la misma que la L-función automórfica de la representación automórfica. La conjetura de Artin se desprende entonces inmediatamente del hecho conocido de que las L-funciones de las representaciones automórficas cúspides son holomorfas. Esta fue una de las principales motivaciones para el trabajo de Langlands. ${\displaystyle n\geq 1}$

La conjetura de Dedekind

Una conjetura más débil (a veces conocida como conjetura de Dedekind) establece que si M / K es una extensión de campos numéricos , entonces el cociente de sus funciones zeta de Dedekind es entero. ${\displaystyle s\mapsto \zeta _{M}(s)/\zeta _{K}(s)}$

El teorema de Aramata-Brauer establece que la conjetura es válida si M / K es Galois.

De manera más general, sea N la clausura de Galois de M sobre K y G el grupo de Galois de N / K. El cociente es igual a las L-funciones de Artin asociadas a la representación natural asociada a la acción de G sobre la incrustación compleja de K -invariantes de M. Por lo tanto, la conjetura de Artin implica la conjetura de Dedekind. ${\displaystyle s\mapsto \zeta _{M}(s)/\zeta _{K}(s)}$

La conjetura fue probada cuando G es un grupo resoluble , independientemente por Koji Uchida y RW van der Waall en 1975. ^[4]

Véase también

• Función L equivalente

Notas

1. Podría decirse que es más correcto pensar en las coinvariantes , el espacio cociente más grande fijado por I , en lugar de las invariantes, pero el resultado aquí será el mismo. Cf. Función L de Hasse-Weil para una situación similar.

Referencias

1. Perlis 2001.
2. Martinet 1977, pág. 18.
3. Prasad y Yogananda 2000, pág. 9.
4. Prasad y Yogananda 2000, pág. 4.

Bibliografía

• Artín, E. (1923). "Über un nuevo arte de L Reihen". Hamb. Matemáticas. Abh . 3 .Reimpreso en sus obras completas, ISBN 0-387-90686-X . Traducción al inglés en Artin L-Functions: A Historical Approach de N. Snyder. 
• Artin, Emil (1930), "Zur Theorie der L-Reihen mit allgemeinen Gruppencharakteren.", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg (en alemán), 8 : 292–306, doi :10.1007/BF02941010, JFM  56.0173.02, S2CID  120987633
• Tunnell, Jerrold (1981). "Conjetura de Artin para representaciones de tipo octaédrico". Bull. Amer. Math. Soc . NS 5 (2): 173–175. doi : 10.1090/S0273-0979-1981-14936-3 .
• Gelbart, Stephen (1977). "Formas automórficas y la conjetura de Artin". Funciones modulares de una variable, VI (Proc. Second Internat. Conf., Univ. Bonn., Bonn, 1976) . Lecture Notes in Math. Vol. 627. Berlín: Springer. págs. 241–276.
• Langlands, Robert (1967). "Carta al profesor Weil".
• Langlands, Robert P. (1970). "Problemas en la teoría de formas automórficas". Lecciones de análisis y aplicaciones modernas, III. Lecture Notes in Math. Vol. 170. Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . págs. 18–61. doi :10.1007/BFb0079065. ISBN . 978-3-540-05284-5.Sr. 0302614  .
• Martinet, J. (1977). "Teoría de caracteres y funciones L de Artin". En Fröhlich, A. (ed.). Campos numéricos algebraicos, Proc. Symp. London Math. Soc., Univ. Durham 1975. Academic Press. págs. 1–87. ISBN 0-12-268960-7.Zbl 0359.12015  .
• Perlis, R. (2001) [1994], "Números de raíz de Artin", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Prasad, Dipendra; Yogananda, CS (2000). "Un informe sobre la conjetura de holomorfía de Artin". En Bambah, RP; Dumir, VC; Hans-Gill, RJ (eds.). Teoría de números (PDF) . Birkhäuser Basel. págs. 301–314. doi :10.1007/978-3-0348-7023-8_16. ISBN 978-3-0348-7023-8.