El teorema de modularidad (anteriormente llamado conjetura de Taniyama-Shimura , conjetura de Taniyama-Shimura-Weil o conjetura de modularidad para curvas elípticas ) establece que las curvas elípticas sobre el campo de los números racionales están relacionadas con las formas modulares de una manera particular. Andrew Wiles y Richard Taylor demostraron el teorema de modularidad para curvas elípticas semiestables , lo que fue suficiente para implicar el Último Teorema de Fermat . Más tarde, una serie de artículos de los antiguos alumnos de Wiles Brian Conrad , Fred Diamond y Richard Taylor , que culminaron en un artículo conjunto con Christophe Breuil , ampliaron las técnicas de Wiles para demostrar el teorema de modularidad completo en 2001.
El teorema establece que cualquier curva elíptica sobre puede obtenerse mediante una aplicación racional con coeficientes enteros a partir de la curva modular clásica X 0 ( N ) para algún entero N ; esta es una curva con coeficientes enteros con una definición explícita. Esta aplicación se llama parametrización modular de nivel N . Si N es el entero más pequeño para el cual se puede encontrar dicha parametrización (que por el propio teorema de modularidad ahora se sabe que es un número llamado conductor ), entonces la parametrización puede definirse en términos de una aplicación generada por un tipo particular de forma modular de peso dos y nivel N , una nueva forma normalizada con q -expansión entera, seguida si es necesario por una isogenia .
El teorema de modularidad implica una afirmación analítica estrechamente relacionada:
A cada curva elíptica E podemos adjuntar una serie L correspondiente . La serie L es una serie de Dirichlet , comúnmente escrita
La función generadora de los coeficientes a n es entonces
Si hacemos la sustitución
vemos que hemos escrito la expansión de Fourier de una función f ( E , τ ) de la variable compleja τ , por lo que los coeficientes de la serie q también se consideran como los coeficientes de Fourier de f . La función obtenida de esta manera es, notablemente, una forma de cúspide de peso dos y nivel N y también es una forma propia (un vector propio de todos los operadores de Hecke ); esta es la conjetura de Hasse-Weil , que se desprende del teorema de modularidad.
Algunas formas modulares de peso dos, a su vez, corresponden a diferenciales holomorfas para una curva elíptica. El jacobiano de la curva modular puede (hasta la isogenia) escribirse como un producto de variedades abelianas irreducibles , correspondientes a formas propias de Hecke de peso 2. Los factores unidimensionales son curvas elípticas (también puede haber factores de dimensiones superiores, por lo que no todas las formas propias de Hecke corresponden a curvas elípticas racionales). La curva obtenida al encontrar la forma de cúspide correspondiente y luego construir una curva a partir de ella, es isógena a la curva original (pero no, en general, isomorfa a ella).
Yutaka Taniyama [1] formuló una versión preliminar (ligeramente incorrecta) de la conjetura en el simposio internacional de 1955 sobre teoría algebraica de números en Tokio y Nikkō . Goro Shimura y Taniyama trabajaron para mejorar su rigor hasta 1957. André Weil [2] redescubrió la conjetura y demostró en 1967 que se seguiría de las ecuaciones funcionales (conjeturadas) para algunas series L torcidas de la curva elíptica; esta fue la primera evidencia seria de que la conjetura podría ser cierta. Weil también demostró que el conductor de la curva elíptica debería ser el nivel de la forma modular correspondiente. La conjetura de Taniyama–Shimura–Weil se convirtió en parte del programa Langlands . [3] [4]
La conjetura atrajo un considerable interés cuando Gerhard Frey [5] sugirió en 1986 que implicaba el Último Teorema de Fermat . Lo hizo intentando demostrar que cualquier contraejemplo del Último Teorema de Fermat implicaría la existencia de al menos una curva elíptica no modular. Este argumento se completó en 1987 cuando Jean-Pierre Serre [6] identificó un eslabón perdido (ahora conocido como la conjetura de épsilon o teorema de Ribet) en el trabajo original de Frey, seguido dos años más tarde por la finalización de una prueba de la conjetura de épsilon por parte de Ken Ribet. [7]
Incluso después de ganar una atención seria, la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil fue vista por los matemáticos contemporáneos como extraordinariamente difícil de probar o tal vez incluso inaccesible a la prueba. [8] Por ejemplo, el supervisor de doctorado de Wiles, John Coates, afirma que parecía "imposible de probar realmente", y Ken Ribet se consideró a sí mismo "uno de la gran mayoría de personas que creían que [ella] era completamente inaccesible".
En 1995, Andrew Wiles, con algo de ayuda de Richard Taylor , demostró la conjetura de Taniyama–Shimura–Weil para todas las curvas elípticas semiestables . Wiles utilizó esto para demostrar el último teorema de Fermat, [9] y la conjetura de Taniyama–Shimura–Weil completa fue finalmente demostrada por Diamond, [10] Conrad, Diamond y Taylor; y Breuil, Conrad, Diamond y Taylor; basándose en el trabajo de Wiles, fueron trabajando poco a poco en los casos restantes hasta que se demostró el resultado completo en 1999. [11] [12] Una vez demostrada por completo, la conjetura se conoció como el teorema de modularidad.
Del teorema de modularidad se desprenden varios teoremas de la teoría de números similares al último teorema de Fermat. Por ejemplo: ningún cubo puede escribirse como suma de dos potencias n -ésimas coprimas , n ≥ 3 . [a]
El teorema de modularidad es un caso especial de conjeturas más generales debidas a Robert Langlands . El programa Langlands busca adjuntar una forma automórfica o una representación automórfica (una generalización adecuada de una forma modular) a objetos más generales de geometría algebraica aritmética, como por ejemplo a cada curva elíptica sobre un cuerpo de números . La mayoría de los casos de estas conjeturas extendidas aún no han sido demostrados.
En 2013, Freitas, Le Hung y Siksek demostraron que las curvas elípticas definidas sobre campos cuadráticos reales son modulares. [13]
Por ejemplo, [14] [15] [16] la curva elíptica y 2 − y = x 3 − x , con discriminante (y conductor) 37, está asociada a la forma
Para números primos l distintos de 37, se puede verificar la propiedad sobre los coeficientes. Así, para l = 3 , hay 6 soluciones de la ecuación módulo 3: (0, 0) , (0, 1) , (1, 0) , (1, 1) , (2, 0) , (2, 1) ; por lo tanto, a (3) = 3 − 6 = −3 .
La conjetura, que se remonta a la década de 1950, fue completamente demostrada en 1999 utilizando las ideas de Andrew Wiles , quien la demostró en 1994 para una gran familia de curvas elípticas. [17]
Existen varias formulaciones de la conjetura. Demostrar que son equivalentes fue uno de los principales retos de la teoría de números en la segunda mitad del siglo XX. La modularidad de una curva elíptica E del conductor N puede expresarse también diciendo que existe una función racional no constante definida sobre ℚ , desde la curva modular X 0 ( N ) hasta E . En particular, los puntos de E pueden parametrizarse mediante funciones modulares .
Por ejemplo, una parametrización modular de la curva y 2 − y = x 3 − x viene dada por [18]
donde, como arriba, q = e 2 πiz . Las funciones x ( z ) e y ( z ) son modulares de peso 0 y nivel 37; en otras palabras, son meromórficas , definidas en el semiplano superior Im( z ) > 0 y satisfacen
y lo mismo para y ( z ) , para todos los números enteros a , b , c , d con ad − bc = 1 y 37 | c .
Otra formulación se basa en la comparación de las representaciones de Galois asociadas por un lado a las curvas elípticas y por otro a las formas modulares. Esta última formulación se ha utilizado en la demostración de la conjetura. El manejo del nivel de las formas (y la conexión con el conductor de la curva) es particularmente delicado.
La aplicación más espectacular de la conjetura es la demostración del Último Teorema de Fermat (TLF). Supongamos que para un primo p ≥ 5 , la ecuación de Fermat
tiene una solución con números enteros distintos de cero, por lo tanto, un contraejemplo de FLT. Entonces, como Yves Hellegouarch fue el primero en notar, [19] la curva elíptica
de discriminante
no puede ser modular. [7] Por lo tanto, la prueba de la conjetura de Taniyama–Shimura–Weil para esta familia de curvas elípticas (llamadas curvas de Hellegouarch–Frey) implica FLT. La prueba del vínculo entre estas dos afirmaciones, basada en una idea de Gerhard Frey (1985), es difícil y técnica. Fue establecida por Kenneth Ribet en 1987. [20]
