En teoría de números , un carácter de Hecke es una generalización de un carácter de Dirichlet , introducido por Erich Hecke para construir una clase de funciones L más grandes que las funciones L de Dirichlet , y un entorno natural para las funciones zeta de Dedekind y algunas otras que tienen ecuaciones funcionales análogas a la de la función zeta de Riemann .
Un carácter de Hecke es un carácter del grupo de clases idele de un cuerpo numérico o de un cuerpo de función global . Corresponde únicamente a un carácter del grupo idele que es trivial en ideles principales , mediante la composición con el mapa de proyección.
Esta definición depende de la definición de carácter, que varía ligeramente entre autores: puede definirse como un homomorfismo a los números complejos distintos de cero (también llamado "cuasicarácter"), o como un homomorfismo al círculo unitario en C ("unitario"). Cualquier cuasicarácter (del grupo de clases idele) puede escribirse de forma única como un carácter unitario multiplicado por una potencia real de la norma, por lo que no hay una gran diferencia entre las dos definiciones.
El conductor de un carácter de Hecke χ es el mayor ideal m tal que χ es un carácter de Hecke módulo m . Aquí decimos que χ es un carácter de Hecke módulo m si χ (considerado como un carácter en el grupo de los ideal) es trivial en el grupo de los ideal finitos cuyo componente v-ádico está en 1 + m O v .
Größencharakter (a menudo escrito Grössencharakter, Grossencharacter, etc.), el origen de un carácter de Hecke, que se remonta a Hecke, fue en términos de
un carácter en ideales fraccionarios . Para un cuerpo de números K , sea m = m f m ∞ un K - módulo , con m f , la "parte finita", siendo un ideal entero de K y m ∞ , la "parte infinita", siendo un producto (formal) de lugares reales de K. Sea I m el grupo de ideales fraccionarios de K relativamente primos a m f y sea P m el subgrupo de ideales fraccionarios principales ( a ) donde a es cercano a 1 en cada lugar de m de acuerdo con las multiplicidades de sus factores: para cada lugar finito v en m f , ord v ( a − 1) es al menos tan grande como el exponente para v en m f , y a es positivo bajo cada incrustación real en m ∞ . Un Größencharakter con módulo m es un homomorfismo de grupo de I m en los números complejos distintos de cero tales que en ideales ( a ) en P m su valor es igual al valor en a de un homomorfismo continuo a los números complejos distintos de cero a partir del producto de los grupos multiplicativos de todas las completitudes arquimedianas de K donde cada componente local del homomorfismo tiene la misma parte real (en el exponente). (Aquí incrustamos a en el producto de las completitudes arquimedianas de K usando incrustaciones correspondientes a los diversos lugares arquimedianos en K .) Por lo tanto, un Größencharakter puede definirse en el grupo de clases de rayos módulo m , que es el cociente I m / P m .
Estrictamente hablando, Hecke hizo la estipulación sobre el comportamiento en base a ideales principales para aquellos que admitían un generador totalmente positivo. Por lo tanto, en términos de la definición dada anteriormente, en realidad solo trabajó con módulos donde aparecían todos los lugares reales. El papel de la parte infinita m ∞ ahora queda subsumido bajo la noción de un tipo infinito.
Ambas son esencialmente la misma noción que tiene una correspondencia 1 a 1. La definición ideal es mucho más complicada que la idélica, y la motivación de Hecke para su definición fue construir funciones L (a veces denominadas funciones L de Hecke ) [1] que extienden la noción de una función L de Dirichlet de los racionales a otros cuerpos numéricos. Para un Größencharakter χ, su función L se define como la serie de Dirichlet.
realizado sobre ideales integrales primos entre sí respecto del módulo m del Größencharakter. La notación N(I) significa la norma ideal . La condición de parte real común que gobierna el comportamiento de Größencharakter en los subgrupos P m implica que estas series de Dirichlet son absolutamente convergentes en algún semiplano derecho. Hecke demostró que estas L -funciones tienen una continuación meromórfica en todo el plano complejo, siendo analíticas excepto por un polo simple de orden 1 en s = 1 cuando el carácter es trivial. Para Größencharakter primitivo (definido en relación con un módulo de manera similar a los caracteres primitivos de Dirichlet), Hecke demostró que estas L -funciones satisfacen una ecuación funcional que relaciona los valores de la L -función de un carácter y la L -función de su carácter complejo conjugado.
Considérese un carácter ψ del grupo de clases ideal, tomado como una función en el círculo unitario que es 1 en ideales principales y en un conjunto finito excepcional S que contiene todos los lugares infinitos. Entonces ψ genera un carácter χ del grupo ideal I S , el grupo abeliano libre en los ideales primos no en S . [2] Tómese un elemento uniformizador π para cada primo p no en S y defina una función Π de I S a clases ideal asignando cada p a la clase del ideal que es π en la coordenada p y 1 en el resto del conjunto. Sea χ el compuesto de Π y ψ. Entonces χ está bien definido como un carácter en el grupo ideal. [3]
En la dirección opuesta, dado un carácter admisible χ de I S corresponde un carácter único de clase ideal ψ. [4] Aquí admisible se refiere a la existencia de un módulo m basado en el conjunto S tal que el carácter χ es 1 en los ideales que son 1 módulo m . [5]
Los caracteres son 'grandes' en el sentido de que el tipo infinito, cuando está presente de forma no trivial, significa que estos caracteres no son de orden finito. Los caracteres de Hecke de orden finito se explican todos, en cierto sentido, por la teoría de cuerpos de clases : sus L -funciones son L -funciones de Artin , como lo demuestra la reciprocidad de Artin . Pero incluso un cuerpo tan simple como el cuerpo gaussiano tiene caracteres de Hecke que van más allá del orden finito de una manera seria (ver el ejemplo a continuación). Los desarrollos posteriores en la teoría de la multiplicación compleja indicaron que el lugar apropiado de los caracteres 'grandes' era proporcionar las L -funciones de Hasse-Weil para una clase importante de variedades algebraicas (o incluso motivos ).
La prueba original de Hecke de la ecuación funcional para L ( s , χ ) utilizó una función theta explícita . La disertación doctoral de Princeton de 1950 de John Tate , escrita bajo la supervisión de Emil Artin , aplicó la dualidad de Pontryagin sistemáticamente, para eliminar la necesidad de cualquier función especial. Una teoría similar fue desarrollada independientemente por Kenkichi Iwasawa que fue el tema de su charla ICM de 1950. Una reformulación posterior en un seminario de Bourbaki por Weil 1966 mostró que partes de la prueba de Tate podrían expresarse mediante la teoría de la distribución : el espacio de distribuciones (para funciones de prueba de Schwartz-Bruhat ) en el grupo de Adele de K que se transforma bajo la acción de los ideal por un χ dado tiene dimensión 1.
Un carácter algebraico de Hecke es un carácter de Hecke que toma valores algebraicos : fueron introducidos por Weil en 1947 bajo el nombre de tipo A 0 . Dichos caracteres aparecen en la teoría de cuerpos de clases y en la teoría de la multiplicación compleja . [6]
En efecto, sea E una curva elíptica definida sobre un cuerpo de números F con multiplicación compleja por el cuerpo cuadrático imaginario K , y supongamos que K está contenido en F . Entonces existe un carácter algebraico de Hecke χ para F , con conjunto excepcional S el conjunto de primos de mala reducción de E junto con los lugares infinitos. Este carácter tiene la propiedad de que para un ideal primo p de buena reducción , el valor χ( p ) es una raíz del polinomio característico del endomorfismo de Frobenius . En consecuencia, la función zeta de Hasse–Weil para E es un producto de dos series de Dirichlet, para χ y su conjugado complejo. [7]
