En matemáticas, un cuerpo de clase de rayos es una extensión abeliana de un cuerpo global asociado con un grupo de clases de rayos de clases ideales o clases idele . Toda extensión abeliana finita de un cuerpo numérico está contenida en uno de sus cuerpos de clase de rayos.
El término "grupo de clases de rayos" es una traducción del término alemán "Strahlklassengruppe". Aquí "Strahl" significa rayo en alemán y a menudo significa la línea real positiva que aparece en las condiciones de positividad que definen los grupos de clases de rayos. Hasse (1926, p. 6) usa "Strahl" para referirse a un determinado grupo de ideales definidos mediante condiciones de positividad y usa "Strahlklasse" para referirse a una clase lateral de este grupo.
Hay dos nociones ligeramente diferentes de lo que es un campo de clase de rayo, ya que los autores difieren en cómo se tratan los primos infinitos.
Weber introdujo los grupos de clases de rayos en 1897. Takagi demostró la existencia de los campos de clases de rayos correspondientes alrededor de 1920. Chevalley reformuló la definición de grupos de clases de rayos en términos de ideales en 1933.
Si m es un ideal del anillo de números enteros de un cuerpo de números K y S es un subconjunto de los lugares reales, entonces el grupo de clase de rayos de m y S es el grupo cociente
donde I m es el grupo de ideales fraccionarios coprimos con m , y el "rayo" P m es el grupo de ideales principales generados por elementos a con a ≡ 1 módulo m que son positivos en los lugares de S . Cuando S consiste en todos los lugares reales, de modo que a está restringido a ser totalmente positivo, el grupo se denomina grupo de clase de rayos estrechos de m . Algunos autores usan el término "grupo de clase de rayos" para significar "grupo de clase de rayos estrechos".
Un campo de clase de rayos de K es la extensión abeliana de K asociada a un grupo de clase de rayos por la teoría de campos de clases, y su grupo de Galois es isomorfo al grupo de clase de rayos correspondiente. La prueba de la existencia de un campo de clase de rayos de un grupo de clase de rayos dado es larga e indirecta y, en general, no se conoce una manera sencilla de construirlo (aunque se conocen construcciones explícitas en algunos casos especiales, como los campos cuadráticos imaginarios).
Chevalley redefinió el grupo de clase de rayos de un ideal m y un conjunto S de lugares reales como el cociente del grupo de clase ideal por imagen del grupo
donde U p viene dado por:
Algunos autores utilizan una definición más general, donde se permite que el grupo U p sea todos los números reales distintos de cero para ciertos lugares reales p .
Los grupos de clases de rayos definidos mediante ideales son naturalmente isomorfos a los definidos mediante ideales. A veces son más fáciles de manejar teóricamente porque son todos cocientes de un solo grupo y, por lo tanto, más fáciles de comparar.
El campo de clase de rayo de un grupo de clase de rayo es la extensión abeliana (única) L de K tal que la norma del grupo de clase ideal C L de L es la imagen de en el grupo de clase ideal de K.
Si K es el campo de los números racionales , m es un entero racional distinto de cero y S comprende el lugar arquimediano de K , entonces el grupo de clases de rayos de ( m ) y S es isomorfo al grupo de unidades de Z / m Z , y el campo de clases de rayos es el campo generado por las raíces m -ésimas de la unidad . El campo de clases de rayos para ( m ) y el conjunto vacío de lugares es su subcampo totalmente real máximo: el campo .
El campo de clase de Hilbert es el campo de clase de rayo correspondiente al ideal unitario y al conjunto vacío de lugares reales, por lo que es el campo de clase de rayo más pequeño. El campo de clase de Hilbert estrecho es el campo de clase de rayo correspondiente al ideal unitario y al conjunto de todos los lugares reales, por lo que es el campo de clase de rayo estrecho más pequeño.
